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文档简介
4.3二次型的概念一、二次型二、二次型的秩
定义1
含有n个变量的二次齐次多项式叫做n元二次型，当二次型的系数aij
(i,
j=1,2,…,n)都是实数时,称为实二次型.1.二次型的定义
特别地,
只含有平方项的n元二次型称为n元二次型的标准形.二次型的矩阵形式，其中实对称矩阵称A为二次型系数矩阵,A的秩称为二次型的秩.若二次型f是标准形,即其系数矩阵是对角阵.,其中则f的矩阵形式为例1.
写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩.(1)(2)因r(A)=3,故二次型的秩等于3.解:
(1)二次型系数矩阵及矩阵形式分别为例1.
写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩.(1)(2)(2)二次型系数矩阵及矩阵形式分别为因r(B)=2,故二次型的秩等于2.解:
例2
已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2，求c
解一：二次型的系数矩阵为|A|=0,可推知c=3.
解二：r(A)=2于是c-9=-6,可推知c=3.二次曲面的标准方程
1.椭球面x2
a2
+y2
b2
+z2
c2
=1(a>0,b>0,c>0)bacxyzO2.单叶双曲面Oxyzabx2
a2
+y2
b2
z2
c2
=1(a>0,b>0,c>0)二次曲面的标准方程
3.双叶双曲面x2
a2
+y2
b2
z2
c2
=1(a>0,b>0,c>0)Oxyzc二次曲面的标准方程
4.二次锥面x2
a2
+y2
b2
z2
c2
=0(a>0,b>0,c>0)Oxyz二次曲面的标准方程
5.椭圆抛物面x2
a2
+y2
b2
=2z(a>0,b>0)Oxyz二次曲面的标准方程
Oxyz6.双曲抛物面x2
a2
y2
b2
=2z(a>0,b>0)(马鞍面)二次曲面的标准方程
7.椭圆柱面x2
a2
+y2
b2
=1(a>0,b>0)双曲柱面x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)zyOxyOxzzyOx抛物柱面x2=2py(p>0)二次曲面的标准方程
O
x
y
ax2+2bxy+cy2=1
abbcO
x
y
x2
25+
y2
9=1
351/25001/9二次曲线ax2+bxy+cy2=1m(x')2+n(y'
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