四川省绵阳市平通中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析

四川省绵阳市平通中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=30°，△ABC的面积为，且sinA+sinC=2sinB，则b的值为（）A．4+2 B．4﹣2 C．﹣1 D．+1参考答案：D先根据三角形面积公式求得ac的值，利用正弦定理及题设中sinA+sinC=2sinB，可知a+c的值，代入到余弦定理中求得b．解：由已知可得：acsin30°=，解得：ac=6，又sinA+sinC=2sinB，由正弦定理可得：a+c=2b，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=4b2﹣12﹣6，∴解得：b2=4+2，∴b=1+．故选：D．2.（09年宜昌一中10月月考文）等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.已知集合A＝{1，2，a－1}，B＝{0，3，a2＋1}，若，则实数a的值为

（

）A．0

B．±1

C．－1

D．1参考答案：C略4.（5分）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（） A． c＜b＜a B． c＜a＜b C． b＜a＜c D． b＜c＜a参考答案：A考点： 不等式比较大小．专题： 不等式的解法及应用．分析： 由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系解答： 解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8=20.8，1.2＞0.8＞0，∴a＞b＞20=1．再由c=2log52=log54＜log55=1，可得a＞b＞c，故选A．点评： 本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．5.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且，，，则a的值为（

）A. B.4 C. D.参考答案：C【分析】利用正弦定理，二倍角公式结合已知可得，整理得a＝6cosB，由余弦定理可解得a的值.【详解】在△ABC中，∵A＝2B，，b＝3，c＝1，可得，整理得a＝6cosB，∴由余弦定理可得：a＝6，∴a＝2，故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及二倍角正弦公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．6.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（

）A．65

B．176

C．183

D．184参考答案：D7.设函数的图象关于直线及直线对称，且时，，则

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略8.复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限 参考答案：A9.已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则（

）A．0

B．2018

C.4036

D．4037参考答案：D因为函数既是二次函数又是幂函数，所以，因此，因此选D.10.二项式的展开式中有理项共有（

）A．1项

B．2项

C．3项

D．4项

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设

分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列，则的长为

．参考答案：12.对，，使，则的取值范围是

．

参考答案：略13.若，则实数的取值范围是

。参考答案：原不等式等价为，即，所以，即，解得.14.已知A,B,C三点在同一条直线上，O为直线外一点，若,其中p,q,rR，则

．参考答案：015.已知平面向量，且，则

.参考答案：

16.函数的定义域是

;参考答案：略17.已知集合，则集合

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO中点.（1）若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；（2）若，求证：CG⊥平面PBD.参考答案：（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）连接，根据线面平行的性质定理可知，又为中点，可证得结论；（2）利用线面垂直的性质可知，正方形可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，根据线面垂直性质可知，根据等腰三角形三线合一可知，根据线面垂直判定定理可证得结论.【详解】（1）连接，由四边形是正方形知，为中点平面，面，面面为中点

为的中点（2）在四棱锥中，四边形是正方形

为中点

又底面，底面

而四边形是正方形

平面，

平面又平面

平面，平面【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面位置关系的证明问题，涉及到线面平行性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于常规题型.

19.某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，和（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为（其中），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，参考答案：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合；（Ⅱ）；（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.【分析】（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型；（Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线方程；（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值.【详解】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．（Ⅱ）对两边取对数，得，即由表中数据得：，∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，令，得，且当时，,单调递增；当时，,单调递减．所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.【点睛】本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.20.（1）求函数y=x（a﹣2x）（x＞0，a为大于2x的常数）的最大值；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，a2+b2+c2=4，求ab+bc+ac的最大值．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）由x＞0，a＞2x，y=x（a﹣2x）=×2x（a﹣2x），运用基本不等式即可得到所求最大值；（2）运用重要不等式，推出2ab+2bc+2ac≤2（a2+b2+c2），即可得到所求最大值．【解答】解：（1）∵x＞0，a＞2x，∴y=x（a﹣2x）=×2x（a﹣2x）≤=，当且仅当x=时取等号，故函数的最大值为．（2）∵a2+b2+c2=4，∴2ab+2bc+2ac≤（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）=2（a2+b2+c2）=8，∴ab+bc+ac≤4，当且仅当a=b=c时，取得等号，∴ab+bc+ac的最大值为4．21.如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明AD∥BC，推出AD∥平面FBC，然后证明平AD∥MN．（Ⅱ）证明AD⊥CD，结合AD⊥FC，说明AD⊥平面CDEF，然后证明平面ADMN⊥平面CDEF．（Ⅲ）说明DA，DC，DE两两互相垂直，建立空间直角坐标系D﹣xyz，不妨设EF=ED=1，求出相关的坐标，求出平面FBC的法向量，平面ADE的法向量，通过向量的数量积求解二面角A﹣l﹣B的平面角的大小即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，[]所以AD∥平面FBC．[]又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，所以AD∥MN．（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD．因为AD⊥FC，所以AD⊥平面CDEF．所以平面ADMN⊥平面CDEF．（Ⅲ）解：因为EA⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面ADE，所以CD⊥DE．由（Ⅱ）得AD⊥平面CDEF，所以AD⊥DE．所以DA，DC，DE两两互相垂直．建立空间直角坐标系D﹣xyz．不妨设EF=ED=1，则CD=2，设AD=a（a＞0）．由题意得，A（a，0，0），B（a，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，1），F（0，1，1）．所以=（a，0，0），=（0，﹣1，1）．设平面FBC的法向量为=（x，y，z），则即令z=1，则y=1．所以=（0，1，1）．又平面ADE的法向量为=（0，2，0），所以==．因为二面角A﹣l﹣B的平面角是锐角，所以二