四川省南充市第七中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

四川省南充市第七中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列三个不等式中，恒成立的个数有

①

②

③.

A．3

B.2

C.1

D.0参考答案：B当时，①不成立。由，得所以成立，所以②横成立。③恒成立，所以选B.2.在正方体中，M为的中点,0为底面ABCD的中心,P为棱的中点,则直线OP与直线AM所成的角是A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.下列命题中正确的是(

)（1）已知为纯虚数的充要条件（2）当是非零实数时，恒成立（3）复数的实部和虚部都是（4）设的共轭复数为，若A.（1）（2）

B.（1）（3）

C.（2）（3）

D.（2）（4）参考答案：C略4.设sin，则sin2=

A．

B．

D．

D．参考答案：5.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(

)A．8

B．

C．

D．参考答案：C几何体是正方体截去一个三棱台，6.等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，设Sn是数列{an}的前n项和，则S10的值为（）A．110 B．90 C．55 D．45参考答案：A【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程，求出首项，由此能求出S10．【解答】解：∵等差数列{an}的公差为2，a2，a4，a8成等比数列，∴，∴（a1+3×2）2=（a1+2）（a1+7×2），解得a1=2，设Sn是数列{an}的前n项和，则S10=10a1+=10×2+=110．故选：A．7.“”是“”恒成立的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A设成立；反之，，故选A.

8.定义域是R上的函数满足，当时，若时，有解，则实数t的取值范围是A. B. C. D.参考答案：【知识点】分段函数的应用．B10B

解析：∵定义域是R上的函数满足，

又∵当时，；

∴

由分段函数可求得，；

故，

解得，；故选B．【思路点拨】由及当时，可化简得当时，的解析式；转化得，从而解得的取值范围．9.已知球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由条件：S﹣OAB为棱长为3的正四面体，由此能求出S﹣ABC的体积．【解答】解：∵球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，∴由条件：S﹣OAB为棱长为3的正四面体，其体积为=，同理，故棱锥S﹣ABC的体积为．故选：D．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查几何体的表面积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．10.设平面⊥平面，直线命题：“∥”；命题：“⊥”，则命题成立是命题成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，若，且，则的大小为

．参考答案：12.已知直线f过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则该双曲线的离心率的取值范围是_________.参考答案：13.执行如右图所示的程序框图，若输出结果是i=3，则正整数的最大值为

▲

．参考答案：314.若f（x）=asinx+3cosx是偶函数，则实数a=

．参考答案：0考点：偶函数．分析：若偶函数f（x）的定义域为I，则?x∈I，都有f（﹣x）=f（x）．根据f（﹣x）=f（x）恒成立解决本题．解答： 解：∵f（x）=asinx+3cosx是偶函数∴f（﹣x）=f（x），即asin（﹣x）+3cos（﹣x）=asinx+3cosx恒成立．∴﹣asinx+3cosx=asinx+3cosx恒成立．∴2asinx=0恒成立．∴a=0．故答案为：0．点评：函数奇偶性等性质的问题是考试最常见的问题之一，考查的基本思想方法有数形结合、特殊值法、定义法．但在各种方法中，数形结合、特殊值法往往是解决问题最便捷的方法，而定义法永远是最可靠的方法．15.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.参考答案：16.（4分）在区间（0，4）内任取一个实数x，则使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率为．参考答案：【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：先利用不等式求出满足不等式成立的x的取值范围，然后利用几何概型的概率公式求解．解：由题意知0＜x＜4．由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，所以由几何概型的概率公式可得使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率为=，．故答案为：．【点评】：本题主要考查几何概型，要求熟练掌握几何概型的概率求法．17.若实数满足，则的最大值是______________参考答案：本题主要考查了基本不等式的最值问题等，关键是条件的转化与函数的转化。也可能通过参数法，利用三角函数的最值问题来求解。难度较大。方法一：由于1=x2+y2+xy≥2xy+xy=3xy，即xy≤，当且仅当x=y=时xy取得最大值，此时x+y也取得最大值+=；方法二：由x2+y2+xy=1配方得（x+y）2+y2=1，设（θ∈[0，2π）），可得（θ∈[0，2π）），那么x+y=（cosθ－sinθ）+sinθ=cosθ+sinθ=sin（θ+φ），则当sin（θ+φ）=1时，x+y取得最大值；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，对，有恒成立，则实数的取值范围为

．参考答案：【知识点】不等式恒成立问题E8解析：因为，有恒成立，，即，整理可得，令，上式为，所以因为，所以，故答案为【思路点拨】根据题意可得，即，令，整理可得，因为，所以.19.设F1，F2分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆C上的点两点的距离之和等于4．（1）求出椭圆C的方程和焦点坐标.（2）过点P（0，）的直线与椭圆交于两点M、N，若OM⊥ON，求直线MN的方程．参考答案：解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，又点在椭圆上，∴，∴b2=3，∴c2=1，所以椭圆C的方程为．（2）直线MN不与x轴垂直，设直线MN方程为y=kx+，代入椭圆C的方程得（3+4k2）x2+12kx﹣3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，且△＞0成立．又=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+）（kx2+）=﹣﹣+=0，∴16k2=5，k=±，∴MN方程为y=±x+

略20.1（本小题满分12分）已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.参考答案：综上可得，的最小值为5。从而，若即对一切实数恒成立，则的取值范围为(-，5].………………12分解法二：（1）同解法一.………………６分（2）当时，。设.由（当且仅当时等号成立）得，的最小值为5.从而，若即对一切实数恒成立，则的取值范围为(-，5].……12分略21.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD，∠ABC=60°，N为线段PC上一点，CN=3NP，M为AD的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求点N到平面PAB的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）过N作NE∥BC，交PB于点E，连AE，推导出四边形AMNE是平行四边形，从而MN∥AE，由此能证明MN∥平面PAB．（2）连接AC，推导出AC⊥AB，PA⊥AC，从而AC⊥平面PAB，由此能求出N点到平面PAB的距离．【解答】证明：（1）过N作NE∥BC，交PB于点E，连AE，∵CN=3NP，∴EN∥BC且EN=BC，又∵AD∥BC，BC=2AD=4，M为AD的中点，∴AM∥BC且AM=BC，∴EN∥AM且EN=AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，又∵MN?平面PAB，AE?平面PAB，∴MN∥平面PAB．…（6分）解：（2）连接AC，在梯形ABCD中，由BC=2AD=4，AB=CD，∠ABC=60°，得AB=2，∴AC=2，AC⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC．又∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB．又∵CN=3NP，∴N点到平面PAB的距离d=AC=．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求不地，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22.（本小题满分15分）设椭圆：的一个顶点与抛物线：

的焦点重合，

分别是椭圆的左右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．（I）求椭圆的方程；（II）是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；（III）若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．参考答案：解：（I）椭圆