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文档简介
第五章
一元函数的导数及其应用
5.3.2
函数的极值与最大(小)值(第二课时)
学习目标1.巩固“利用导数求函数的极值的方法”;2.求函数的最值.
一
新课引入如图:f(x)在区间[a,b]内的极值分别是?极大值一定大于极小值吗?f(x)在区间[a,b]内有最大函数值、最小函数值吗?如果有,它是极值吗?
xOyax1b
y=f(x)x2x3x4x5x6二
讲授
新课
函数最大值和最小值的概念:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
那么,称M是函数y=f(x)的最大值;
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
那么,称M是函数y=f(x)的最小值.如上图所示:f(x)的最大值:f(a);f(x)的最小值:f(x3)跟踪练习:
xOyax1b
y=f(x)x2x3x4x5x6xyOaby=f(x)xyOabx2x1x3x4x5y=g(x)最大值:f(b);最小值:f(a)最大值:f(x3);最小值:f(x4)观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象,它们在[a,b]上有最大值、最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么?一般地:
如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值.
小结:闭区间上函数最值需注意:
1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的,函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.
2.函数的极值可以有多个,但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个;
.
3.极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得
;有最值未必有极值;
极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得必定是极值.
4.求闭区间上函数最值时,只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较,就可以求出函数的最大值和最小值.
5.闭区间上函数同时有最大值和最小值.
问题:给定函数的区间不是闭区间,有最值吗?
当函数在区间的端点处无定义时,可能无法求得最值.如上图,函数有最大值,但无最小值.即有单一最值
Oxyaby=f(x)
x0(0.2)2(2,3)3f′(x)-0+f(x)4单调减极小值-
单调增1
x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)单调减极小值0单调增
四课堂小结
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
(1)f(x)在(a,b)内导函数为零的
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