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文档简介

第五章

一元函数的导数及其应用

5.3.2

函数的极值与最大（小）值（第二课时）

学习目标1.巩固“利用导数求函数的极值的方法”；2.求函数的最值．

一

新课引入如图：f(x)在区间[a,b]内的极值分别是？极大值一定大于极小值吗？f(x)在区间[a,b]内有最大函数值、最小函数值吗?如果有，它是极值吗？

xOyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6二

讲授

新课

函数最大值和最小值的概念：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值；

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，称M是函数y=f(x)的最小值.如上图所示：f(x)的最大值：f(a)；f(x)的最小值：f(x3)跟踪练习：

xOyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6xyOaby=f(x)xyOabx2x1x3x4x5y=g(x)最大值：f(b);最小值：f(a)最大值：f(x3);最小值：f(x4)观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？一般地：

如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值.

小结：闭区间上函数最值需注意：

1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.

2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个；

.

3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得

；有最值未必有极值；

极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值.

4.求闭区间上函数最值时，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值.

5.闭区间上函数同时有最大值和最小值.

问题：给定函数的区间不是闭区间，有最值吗？

当函数在区间的端点处无定义时，可能无法求得最值.如上图，函数有最大值，但无最小值.即有单一最值

Oxyaby=f(x)

x0(0.2)2(2,3)3f′(x)-0+f(x)4单调减极小值-

单调增1

x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)单调减极小值0单调增

四课堂小结

求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：

(1)f(x)在(a,b)内导函数为零的

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