《合情推理与演绎推理》试卷（）

《合情推理与演绎推理》试卷知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1、通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。；；；．例2、已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________________．例3、某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为．（填入中的某个字母）例4、已知，考察下列式子：；；.我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为_____________．

演练方阵A档（巩固专练）1．下列说法正确的是()A．类比推理是由特殊到一般的推理B．演绎推理是特殊到一般的推理C．归纳推理是个别到一般的推理D．合情推理可以作为证明的步骤2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提错误D．使用了“三段论”，但小前提错误3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则PB．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4．设n为正整数，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，经计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，观察上述结果，可推测出一般结论()A．f(2n)>eq\f(2n＋1,2) B．f(n2)≥eq\f(n＋2,2)C．f(2n)≥eq\f(n＋2,2) D．以上都不对5．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．6．已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积．7．在平面直角坐标系中，直线一般方程为，圆心在的圆的一般方程为；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在的球的一般方程为______________________．8．对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，则,若的分解中最小的数是73，则的值为．

9．（1）已知等差数列，（），求证：仍为等差数列；（2）已知等比数列，（），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．10．（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；（2）已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．

B档（提升精练）1．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误2．若点P是正四面体A－BCD的面BCD上一点，且P到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A－BCD的高为h，则()A．h>h1＋h2＋h3 B．h＝h1＋h2＋h3C．h<h1＋h2＋h3 D．h1，h2，h3与h的关系不定3．下图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是()A．25 B．66C．91 D．1204．观察下列数表规律则从数2022到2022的箭头方向是()5．把正有理数排序：eq\f(1,1)，eq\f(2,1)，eq\f(1,2)，eq\f(3,1)，eq\f(2,2)，eq\f(1,3)，eq\f(4,1)，eq\f(3,2)，eq\f(2,3)，eq\f(1,4)，…，则数eq\f(1989,1949)所在的位置序号是___________．6．已知等差数列{an}中，a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，那么等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式___________成立．7．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为_____________．8．下图中的线段规则排列，试猜想第8个图形中的线段条数为________．

9．将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足，当且仅当时等号成立。（1）若定义在(0，＋∞)上的函数∈M，试比较与大小.（2）设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.．10．观察下列等式：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝eq\f(3,4)；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝eq\f(3,4).由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？并证明你的猜想．

C档（跨越导练）1．观察下列等式：根据上述规律，第五个等式为．．2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为，类似的在空间中，若两个正四面体的棱长比为，则它们体积比为．3．观察下列各式;则的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625D．4．设函数观察：根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，．5．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝(eq\f(1,3))x是指数函数(小前提)，所以y＝(eq\f(1,3))x是增函数(结论)”，上面推理的错误是()A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错6．在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，……这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图所示)则第n个三角形数为()A．n\f(1,2)n(n＋1)C．n2－1\f(1,2)n(n－1)7．设f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)＝()A．－sinxB．－cosxC．sinxD．cosx8．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．9．下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图．(1)数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)．顶点数边数区域数(a)463(b)(c)(d)(2)观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某个平面图有2022个顶点，且围成了2022个区域，试根据以上关系确定这个平面图的边数．10．将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了n＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．

合情推理与演绎推理答案典题探究例1．解析：猜想：证明：左边===右边例2．解析：原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法，即正四面体的内切球的半径是高例3．解析：因都为正数，故分子越大或分母越小时，S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多例4．演练方阵A档（巩固专练）1．C2．C3．B4．C5．6．7．；8．答案：9．[解析]（1），，为等差数列为常数，所以仍为等差数列；（2）类比命题：若为等比数列，（），，则为等比数列证明：，为常数，为等比数列10．答案：（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；（2）；B档（提升精练）1．A2．B3．C4．B5．解析：从所给有理数的排序规律可以发现，它们是由分子与分母的和依次为2,3,4，…的分数段“拼”成的．因为分数eq\f(1989,1949)的分子、分母和为3938，所以归纳推理可知，它是第3937段的第1949个数．故序号为(1＋2＋…＋3936)＋1949＝7749965.答案：77499656．解析：这是一个由等差数列与等比数列类比的题目，由于二者的参照物不同，因此我们要先进行分析，从二者的本质即数列的结构找到突破口，如下表所示：特征等差数列等比数列运算符号和(差)积(商)通项anbn公差(比)dq前n项和SnTn特殊项01等式结构左边n项，右边19－n项左边n项，右边17－n项符号转换加法乘法减法除法关键词a10＝0b9＝1由题设，若ak＝0，那么有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2k－1－n(n<2k－1，n∈N*)成立．由等差数列与等比数列的加乘转换性质，我们可以类比得出这样的结论：b1b2·…·bn＝b1b2·…·b2k－1－n(n<2k－1，n∈N*)成立．结合本题k＝9，得2k－1－n＝17－n，故本题应填：b1b2·…·bn＝b1b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)．答案：b1b2·…·bn＝b1b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)7．解析：观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152.答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)8．解析：图形①～④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中的线段条数应为28＋1－3＝509.答案：5099．解析：(1)对于，令得<(2),所以g(x)∈M10．解：由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为eq\f(3,4).猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝eq\f(3,4)，也可直接写成sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4).下面进行证明：左边＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos(2α＋60°),2)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos2αcos60°－sin2αsin60°,2)＋sinα(cosα·cos30°－sinαsin30°)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)cos2α－eq\f(\r(3),4)sin2α＋eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(1－cos2α,4)＝eq\f(3,4)＝右边．故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4).C档（跨越导练）1．解析：根据前三个式子特点可以发现：所以第五个式子应该为答案：2．解析：答案：3．解析：可以发现其以4为周期，所以末四位数应为8125答案：D4．解析：观察式子特点可知分子应为，而分母应为答案：5．A6．B7．C8．解：如图(1)所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).如图(2)，连接BE交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(