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实变函数期末考试卷A附件一东南大学考试卷（A卷）课程名称实变函数数学系考试学期考试形式11-12-2得分考试时间长适用专业闭卷度120分钟（开卷、半开卷请在此写明考试可带哪些资料）题目得分一二三四五六七八总分批阅人自觉遵守考场纪律如考试作弊此答卷无效一.(10分)试叙述可数集的定义，并分别给出一个可数集合和一个不可数集的例子。二.(10分)叙述勒贝格外测度的定义，并证明可数集的外测度为零.三.(10分)设是可测集，证明存在的一列单调增加的闭子集列使得.四.(10分)(1)试给出有界闭区间上有界函数Riemann可积的充分必要条件。(2)给出一个Lebesgue可积但Riemann不可积的例子。五.(10分)(1)叙述依测度收敛的定义。(2)若在上，上几乎处处相等。,,证明和在六.(10分)叙述有界变差函数和绝对连续函数的定义，并分别给出一个例子。七.(10分)设在上Lebesgue可积。如果,证明存在子列在上几乎处处收敛于零。八.(10分)(1)试叙述Fatou引理;(2)求下列极限：九．设在是上Lebesgue可积。(1)若上的有界可测函数，证明在上是Lebesgue可积的。成立.证明(2)如果对上的任意有界可测函数，总有在上几乎处处为零。(3)如果对任意连续函数总有成立，证明上述(2)中结论仍然成立。十.(10分）设(1)证明:在上Lebesgue可积。令。是有界连续

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