【高考数学】2022-2023学年北京市朝阳区专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析

高考模仿试卷第页码7页/总NUMPAGES总页数49页高考模仿试卷【高考数学】2022-2023学年北京市朝阳区专项突破仿真模拟试题（一模）第I卷（选一选）请点击修正第I卷的文字阐明评卷人得分一、单选题1．已知集合A={x|0<x<3}，且A∩B={1}，则集合B可以是（

）A．{x|x<1}B．{x|x≤1}C．{-1，0，1}D．{x∈Z|x≥1}2．已知复数（其中），则上面结论正确的是（

）A．B．C．D．在复平面上，对应的点在直线上3．下列函数中，定义域为的偶函数是（

）A．B．C．D．4．若，且，则下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．5．已知抛物线，为坐标原点，过其焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，则中点到轴的距离为（

）A．B．C．D．6．已知边长为2的正方形，设为平面内任一点，则“”是“点在正方形及内部”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设函数在的图象大致如图所示，则的最小正周期为（

）A．B．C．D．8．已知直线l被圆C：所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（

）A．B．C．D．9．若，则（

）A．B．C．D．10．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个表示图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一程度面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到程度面的高度差约为（）（

）A．346B．373C．446D．473第II卷（非选一选）请点击修正第II卷的文字阐明评卷人得分二、填空题11．若的展开式中的常数项为-20，则a=_________．12．已知，，成等比数列，且，则_______．13．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=___________：①：②当时，；③是偶函数．14．设棱长为2的正方体，是中点，点、分别是棱、上的动点，给出以下四个结论：①存在；②存在平面；③存在有数个等腰三角形；④三棱锥的体积的取值范围是.则一切结论正确的序号是______.评卷人得分三、双空题15．设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为______.评卷人得分四、解答题16．已知函数()，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：（1）的值；（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．条件①：的值为2；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按个解答计分．17．从2008年的冬季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间志愿不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京共录用赛会志愿者18000多人.中先生志愿服务曾经纳入先生综合素质评价体系，为了解中先生参加志愿服务所用工夫，某市教委从全市抽取部分高二先生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用工夫，把工夫段按照，，，，分成5组，把抽取的600名先生参加志愿服务工夫的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组工夫区间的平均值，估计这600名高二先生上学期参加志愿服务工夫的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；(2)若一个学期参加志愿服务的工夫不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二先生上学期参加志愿服务工夫的概率，从全市一切高二先生中随机抽取3名先生，设本学期这3名先生中达到“预期合格”的人数为，求的分布列并求数学期望；(3)用每一个小矩形的中点值代替每一组工夫区间的平均值，把工夫段在的数据组成新样本组A，其方差记为，把工夫段在的数据组成新样本组B，其方差记为，原来600个样本数据的方差记为，试比较，，的大小（结论不要求证明）.18．如图，矩形和梯形，，平面平面，且，过的平面交平面于．(1)求证：与相交；(2)当为中点时，求点到平面的距离：(3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．19．已知椭圆C：（a>b>0）上一点P到两个焦点的距离之和为4，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左右顶点分别为A、B，当P不与A、B重合时，直线AP，BP分别交直线x=4于点M、N，证明：以MN为直径的圆过右焦点F．20．设函数（）.(1)当时，①求曲线在点处的切线方程；②求函数的最小值.(2)设函数，证明：当时，函数至少有一个零点.21．素数又称质数，是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在多年前，欧几里德就在《几何本来》中证明了素数是有限的．在这之后，数学家们不断地探求素数的规律与性质，并取得了明显成果．中国数学家陈景润证明了“”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研讨上的里程碑，在国际数学界惹起了惊动．如何筛选出素数、判断一个数能否为素数，是陈旧的、基本的，但至今仍遭到人们注重的成绩．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出．年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表，具体构造的方法如下：中位于第行第列的数记为，首项为且公差为的等差数列的第项恰好为，其中；．请同窗们阅读以上材料，回答下列成绩.(1)求；(2)证明：；(3)证明：①若在中，则不是素数；②若不在中，则是素数．第页码17页/总NUMPAGES总页数49页答案：1．C【分析】根据集合交集的运算，将选项逐一代入进行排除即可.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：C2．D【分析】根据共轭复数判断A，根据复数代数方式的乘法运算判断B，根据复数模的计算公式判断C，根据复数的几何意义判断D；【详解】解：由于，，所以，故A错误；，故B错误；，故C错误；复数在复平面内所对应的点的坐标为位于直线上，故D正确；故选：D3．D【分析】根据函数的奇偶性的定义及判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A，根据指数函数的性质知，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，函数满足为偶函数，但定义域为，不为，不符合题意；对于C，函数为偶函数，但定义域为，不为，不符合题意；对于D，函数，定义域为，且满足为偶函数，符合题意.故选：D.4．C【分析】取即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的.【详解】取满足，且，此时，A错误；取满足，且，此时，B错误；可得，C正确；取满足，且，此时，D错误.故选：C.5．B【分析】根据抛物线的定义求的横坐标之和，然后得中点的横坐标【详解】设，，，由抛物线定义得：，故中点的横坐标为故选：B6．B【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算可证明必要不充分性.【详解】解：必要性证明：边长为2的正方形，设为正方形及内部任意一点，以A为原点建立直角坐标系如图：由题意可知（）则，故“”是“点在正方形及内部”的必要条件；充分性证明：若，则，但是可以为任意值，故点P不一定在正方形及内部.所以“”是“点在正方形及内部”的不充分条件.故“”是“点在正方形及内部”的必要非充分条件.故选：B7．A【分析】根据图象先判断出周期的大致范围，再根据图象过点可求解出，与周期的关系可得结果.【详解】由图象可知，，，解得.设函数的最小正周期为，易知，当且仅当时符合题意，此时,故选：A.8．C【分析】由题意知可以得到原点到直线的距离小于等于1，即直线上有一点到原点的距离小于等于1，故直线一定圆面内的点，再画出图象，图象分析即可．【详解】解：直线被圆所截的弦长不小于2，圆心到直线的距离小于或等于1，故直线一定圆面内的点，在平面直角坐标系中分别画出，

、、的图象如下所示：对于A：对于B：对于C对于D：图象可知，在四个选项中只要这个点一定在椭圆内或椭圆上，与椭圆一定有公共点故选：C．9．A【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.本题考查对数式的大小的判断成绩，解题关键是能够经过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.10．B【分析】经过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．【详解】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．由于，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故选：B．本题关键点在于如何正确将的长度经过作辅助线的方式转化为．11．【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，列出方程，求出的值.【详解】的展开式的通项公式为，令，解得：，，解得.故12．4【分析】利用等比中项可得＝16，对数运算性质可得结果.【详解】解：依题意，得：＝16，所以，＝4故答案为4本题考查了等比数列的性质，对数的运算性质，考查计算能力.13．（答案不）【分析】根据幂函数的性质条件可得所求的.【详解】取，则，满足①，，时有，满足②，的定义域为，又，故是偶函数，满足③.故（答案不）14．③④【分析】正方体的性质，利用棱锥的体积公式以及空间向量的坐标运算逐一判断即可.【详解】对于①：取中点P，当点N在上挪动时，直线平面，同时当点M在直线AB上挪动时平面，由于，故与不可能平行，①错误.对于②：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，所以，，,设，，所以，，，设平面的法向量为，则即，令得，所以，所以，故与平面不垂直，②错误.对于③：令即，化简得，即，，，由于，所以该式在的范围中存在有数组解，故阐明有有数组可使，故③正确.对于④：根据等体积性质可知，所以该三棱锥高可以看作，所以体积的取值范围即底面积的取值范围，根据点M地位的变化可知，当点M在A点时最小，当点M在B点时，计算得，，所以，故④正确.故③④15．

3

【分析】由条件确定的关系由此求离心率，再经过求求渐近线方程.【详解】双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，由于双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，所以，所以离心率，所以，所以双曲线C的渐近线方程为：，故3；.16．选择见解析；（1）；（2）单调增区间为．【分析】（1）选择①：利用三角恒等变换化简函数解析式，进而根据最值求得的值；选择②：代入直接求解即可；（2）根据三角函数伸缩平移变换可得函数解析式，进而求得其单调递增区间.【详解】解：（1）选择①：由于所以，其中，所以，又由于，所以．选择②：，所以．（①不写不扣分，②每个值计算正确各给一分）（2）由于所以则，，所以函数的单调增区间为(一个都没写的扣一分)17．(1)平均数：4.35，75百分位数：5.25；(2)分布列见解析，；(3).【分析】（1）用每一组的中点值乘以频率相加即得平均数，根据百分位数概念计算即可得第75百分位数的一个估计值；（2）由题可得，服从二项分布，可根据公式求出分布列；（3）根据前3组数据、后3组数据以及全体数据的离散程度进行判定(1)平均数等于，前3组频率和，加上第4组得，所以75百分位数：；(2)由题可知“预期合格”的概率，从全市一切高二先生中随机抽取3名先生，设本学期这3名先生中达到“预期合格”的人数为，则服从二项分布，的分布列为：X0123P0.0080.0960.3840.512.(3)由频率分布直方图可以看出，前3组数据比后3组数据更集中一些，所以，而这两组数据相比全体数据都要集中一些，所以.18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）利用线面平行的判定定理，证得平面，在由线面平行的性质定理，得到，，且，即可求解；所以直线与相交.（2）以为原点，以为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和，向量的距离公式，即可求解；（3）由，求得，得到，进而求得平面的法向量，以及平面平面的法向量为，向量夹角公式列出方程，求得的值，即可求解.(1)证明：由于矩形，所以，且又由于平面，平面，所以平面，又由过的平面交平面与，由线面平行的性质定理，可得，又由，所以，且，所以直线与相交.(2)解：由平面平面，其交线为，且，平面，所以平面，又由四边形的矩形，以为原点，以为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由于，可得，则，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，由于，所以点到平面的距离为.(3)解：设，由于，即，其中，则，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设平面与平面的夹角为，由于平面，可设平面的法向量为，所以，记得或（舍去），所以.19．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据条件，列出关于的式子，即可求解；（2）解法一：首先设，利用类似关系，求得坐标间的关系，并且证明；解法二：首先设直线方程，与抛物线方程联立，求得点的坐标，可用表示，利用坐标表示数量积.(1)由题干可得，，所以，即椭圆的方程；(2)解法一：设，由于直线交直线于点，所以，则，同理，则，由于异于轴两侧，因此异号，所以，又由于，所以，即，以为直径的圆过右焦点；解法二：设直线方程，，，，得，即，由于直线交直线于点，即，由于直线交直线于点，则由三点共线，得，即，所以，即，以为直径的圆过右焦点.20．(1)①；②(2)证明见解析【分析】（1）①利用求导求出切线的斜率，然后写出直线方程；②求导后分析函数的单调性可求得最小值；（2）对参数进行分类讨论，利用倒数来分析函数的单调性来确定函数的零点.(1)解：由题意得：函数定义域为，当时①所以曲线在点处的切线方程是.②令，当即函数递减区间为；当时，即函数递增区间为所以函数的最小值；(2)由于令，①时，，函数在定义域上单调递增，至少有一个零点；②时，，令，得，令，得所以函数在区间单调递减，在区间单调递增则函数在时有最小值，此时函数无零点.③时，，令，得或令，得所以函数在区间单调递增，在区间单调递减由于函数，所以，且在区间上恒成立.所以函数在区间上至少有一个零点.综上，当时，函数至少有一个零点.21．(1)(2)证明见解析(3)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）先求出和，根据等差数列即可求解；（2）先求和，再求出，，代入等差数列公式求解即可；（3）先假设在中，得到，所以不是素数；再假设不在中，利用反证法，为合数，令，，，得到，可知在中，假设不成立即可求解.(1)根据题意：，，.(2)，公差，，，公差，，故．(3)①若在中，由（2）可知，存在，使得．，所以不是素数．②若不在中，反证法：假设为合数．不妨令，这里，皆为大于的奇数（这是由于为奇数）．令，（其中为正整数），则．由（2）得中数的通项公式，可知在中，这与已知矛盾，所以假设不成立，从而为素数．【高考数学】2022-2023学年北京市朝阳区专项突破仿真模拟试题（二模）第I卷（选一选）请点击修正第I卷的文字阐明评卷人得分一、单选题1．若复数（其中i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（

）A．象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合，，则（

）A．B．C．D．3．在中，，，，则（

）A．B．C．D．154．已知为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说确的是（

）A．若，则B．若且，则C．，，则D．若且，则5．函数有（

）A．值B．最小值C．值2D．最小值26．函数的图像与函数的图像的交点个数为（

）A．2B．3C．4D．07．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个分、1个分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数B．平均数C．方差D．极差8．已知、为双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于、两点，若，其中为坐标原点，则的离心率为（

）A．B．C．D．评卷人得分二、多选题9．已知为等差数列，其前项和，若，，则（

）A．公差B．C．D．当且仅当时10．某地建立了农业科技图书馆，供农民借阅，搜集了近5年的借阅数据如下表：年份20162017201820192020年份代码x12345年借阅量y/万册4.95.15.55.75.8根据上表，可得y关于x的线性回归方程为，则（

）A．B．估计近5年借阅量以0.24万册/年的速度增长C．y与x的样本相关系数D．2021年的借阅量一定不少于6.12万册11．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）A．的最小正周期为B．C．在上单调递增D．为奇函数12．已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，是的中点，则（

）A．正四棱台的体积为B．平面平面C．平面D．正四棱台的外接球的表面积为第II卷（非选一选）请点击修正第II卷的文字阐明评卷人得分三、填空题13．若，，则______.14．在教学质量调研测试中，某学校高三有1200名先生，全部先生的数学成绩服从正态分布，若，且，则本次测试数学成绩在80到120之间的先生约有______人.15．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离是___________.16．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．评卷人得分四、解答题17．已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和18．在中，，，是角，，所对的边，，有三个条件：①；②；③，现从上面三个条件中选择两个条件，使得三角形存在.（1）两个条件中能有①吗？阐明理由；（2）请指出这两个条件，并求的面积.19．如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成角为(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.20．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施，试行“”高考新模式.为调研新高考模式下，某校先生选择物理或历史与性别能否有关，统计了该校高三年级800名先生的选科情况，部分数据如下表：性别科目男生女生合计物理300历史150合计400800（1）根据所给数据完成上述表格，并判断能否有99.9%的把握认为该校先生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了进步选择历史科目先生的数学学习兴味，用分层抽样的方法从该类先生中抽取5人，组成数学学习小组.一段工夫后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．已知椭圆的左、右焦点分别为右顶点为过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，所得四边形为菱形，且其面积为.（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点的直线与椭圆交于两点，试求三角形面积的值.22．已知函数（）.（1）当时，试求函数图像在点处的切线方程；（2）若函数有两个极值点、（），且不等式恒成立，试求实数的取值范围.答案：1．A【分析】由复数除法运算求得，得其对应点坐标，从而得所在象限．【详解】，对应点坐标为，在象限．故选：A．2．B【分析】解一元二次不等式得集合，然后由集合的运算法则计算．【详解】由题意，，所以．故选：B．3．C【分析】根据向量的数量积的定义计算．【详解】．故选：C4．D【分析】根据空间直线与平面的地位关系判断．【详解】对于A，或m与n异面，∴A错误；对于B，若或m，n异面，∴B错误；对于C，若或，∴C错误；对于D，∵，∵．∵，∴．∴D正确．故选：D．5．D【分析】分离常数后，用基本不等式可解.【详解】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.（方法2）令，，，.将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.故选：D6．C【分析】作出两个函数的图像，由图像可得交点个数．【详解】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，，作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．故选：C．7．A【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大陈列为．则①原始中位数为，去掉分，分，后剩余，中位数仍为，A正确．②原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相反，B不正确③由②易知，C不正确．④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．本题旨在考查先生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.8．D【分析】根据双曲线的性质得到，再根据，即可得到，在中，，设双曲线的半焦距为，即可得到，，再根据双曲线的定义及离心率公式计算可得；【详解】解：依题意由双曲线的对称性可知，又，所以，所以，在中，，设双曲线的半焦距为，所以，，则其离心率；故选：D9．ABC【分析】根据题意，等差数列前项和的公式和性质，逐一判断即可.【详解】由，得，即.因，所以，且，故选项AB正确；因，且，故时，，即，故选项C正确；由，得，即，故D错.故选：ABC.10．ABC【分析】根据回归方程过样本点得，可判断A；由的意义可判断BC；根据的意义可判断D.【详解】，，代入，可得，所以A正确；由于，所以估计每年借阅量的增长量为0.24万册，所以B正确；由于，所以y与x正相关，，所以C正确；把代入得，而6.12万册是预测值，不是值，所以D错误.故选：ABC.11．ABD【分析】首先根据函数的图象求A的值；然后根据求的值；根据图象过点和求出，从而可求出函数，然后再逐一判断选项即可.【详解】由图知，由，得，又由于，所以，由得，又，所以，所以，所以.故，选项A正确；又，所以为函数的一条对称轴，故选项B正确；由，得，由，得，在上单调递减，在上单调递增，故C错误；为奇函数，故D正确.故选：ABD.12．BCD【分析】A.由题意，利用棱台体积公式求解；B.利用线面垂直和面面垂直的判定定理判断；C.取的中点，连接，且，连接，易知四边形是平行四边形，得到，再由，利用面面平行的判定定理判断；D.由球心O在上，分外接球的球心O在正四棱台的内部和内部判断.【详解】如图所示：连接交于点，连接交于点，A.正四棱台的体积为，故错误；B.易知，又，则平面，又平面，所以平面平面，故正确；C.如图所示：取的中点，连接，且，连接，易知，，所以四边形是平行四边形，则，又平面，平面，则平面，又，平面，平面，则平面，又，所以平面平面，则平面，故正确；D.如图所示：若外接球的球心O在正四棱台的内部，则O在上，由于，上下底面边长分别为4，6，则，所以，即无解，则若外接球的球心O在正四棱台的内部，如图所示：所以，解得，所以外接球的表面积为，故正确；故选：BCD13．【分析】由正切值求得角，再计算其他三角函数值．【详解】由于，，所以，所以．故．14．720【分析】根据正态分布曲线的对称性求得概率后可得人数．【详解】由题意，所以．人数为．故720．15．##【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线在顶点处的切线为轴、抛物线的对称轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，即可得解.【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线在顶点处的切线为轴、抛物线的对称轴所在直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设抛物线的标准方程为，则点在该抛物线上，所以，，解得，所以，光源到反射镜顶点的距离为.故答案为.16．【分析】求出导函数，利用，用分离参数法即可求出a的范围.【详解】由于，所以，又函数在上单调递增，所以在恒成立，分离参数可得在恒成立，令，，所以在上单调递增，所以，所以，故答案为.17．(1)；(2)．【分析】（1）设的公比为，根据等差数列的性质列方程求得后可得通项公式；（2）写出，由分组求和法求和．(1)设的公比为（），由于，且，，成等差数列，所以，即，解得，所以；(2)由（1），．18．（1）不能有①，理由见解析；（2）只能选择②和③，.【分析】（1）根据正弦定理由，可得，解得，若条件中有①，可得，则与矛盾；（2）只能选择②和③，由余弦定理得，由，可得