高考物理一轮复习：平抛运动和圆周运动部分 圆周运动的临界问题

圆周运动的临界问题思维导图高考考纲复习目标会对生活中向心力的实例进行分析。

会分析竖直面内和水平面内的圆周运动。

掌握圆周运动两种临界条件模型的处理方法及思维技巧。

知识梳理生活中的圆周运动1.铁路的弯道

内外轨等高

F

提供向心力

铁轨和车轮极

易受损

外轨略高于内轨G与FN的合力F提供向心力减轻了轮缘与外轨的挤压规定速度知识梳理生活中的圆周运动1.铁路的弯道

v=v0时，轮缘与内外轨均无侧压力v>v0时，外轨提供测压力，

与F合共同提供向心力v_0时，内轨提供测压力，

与F合的合力共同提供向心力

知识梳理生活中的圆周运动2.拱形桥汽车过拱形桥汽车过凹形桥

FN

FN>mg

知识梳理生活中的圆周运动3.航天器中的失重现象

重力全部用来提供向心力

航天器中的人和物处于完全失重状态

例题——火车转弯问题(2016北京朝阳期中，3分)火车转弯时，如果铁路弯道的内外轨一样高，外轨对轮缘(如图a所示)挤压的弹力F提供了火车转弯的向心力(如图b所示)，但是靠这种办法得到向心力，铁轨和车轮极易受损。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨(如图c所示)，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，以下说法中正确的是()A.该弯道的半径R=

B.当火车质量改变时，规定的行驶速度也将改变

C.当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压

D.当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压

C例题——火车转弯问题（2013全国高考理综）(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处（

）

A.路面外侧高、内侧低

B.车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动

C.车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动

D.当路面结冰时，与未结冰时相比，vc

的值变小

提示：恰好没有向内外两侧滑动的趋势说明没有摩擦力。

解析

当汽车行驶的速度为vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高、内侧低，选项A正确.当速度稍大于vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确.同样，速度稍小于vc时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误.vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误.

AC练习（2013贵阳）在高速公路的拐弯处，路面造的外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ。设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，θ应等于（

）

B例题——拱形桥问题假设一辆质量m=2.0t的小轿车，驶过半径R=90m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m/

，求：

（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？

（2）若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？

（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？

提示：汽车通过凹形桥和凸形桥时，向心力由重力和桥面的支持力的合力提供。

30m/s

例题——拱形桥问题一辆满载的卡车在起伏的公路上匀速行驶，如图所示，由于轮胎过热，容易爆胎。爆胎可能性最大的地段是（

）

A.A处

B.B处

C.C处

D.D处

提示：爆胎可能性最大的地段为轮胎与地

面挤压力的最大处。

解析在A、C两点有：mg-F=

，F=mg-

D最大，即D处最容易爆胎.D例题——航天器中的失重现象人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，下列说法中正确的有（

）

A.可以用天平测量物体的质量

B.可以用水银气压计测舱内的气压

C.可以用弹簧测力计测拉力

D.在卫星内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为零，但重物仍受地球的引力

提示：处在人造卫星中的物体处于完全失重状态，此时依靠重力工作的仪器不能使用或不能正常使用。

CD

知识梳理水平面上圆周运动的临界问题

静摩擦力大小有范围，方向可以改变。

如图，物块a放在水平转动的圆盘上，随圆盘一起做匀速圆周运动。试分析随着圆盘角速度ω的增加，a的运动状态及对应的受力情况。（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

ω较小时，静摩擦力提供向心力ω增大到某一时刻，静摩擦力达到最大

ω继续增大，静摩擦力已不能提供其所需的向心力，物块将开始发生滑动，做离心运动。知识梳理水平面上圆周运动的临界问题

静摩擦力大小有范围，方向可以改变。

如图，物块a放在水平转动的圆盘上，随圆盘一起做匀速圆周运动。试分析随着圆盘角速度ω的增加，a的运动状态及对应的受力情况。（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

ω较小时，静摩擦力提供向心力

ω增大到某一值，ac、bc恰好都伸直ω继续增大，bc绳上的拉力逐渐增大，ac绳上拉力不变ω继续增大至某一值，bc绳断裂；之后ac绳与竖直方向的夹角开始逐渐变大知识梳理水平面上圆周运动的临界问题

如图，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向。一条绳一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个小球（视为质点），小球以速率v绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动。试分析随着v的增加，小球的受力情况如何变化。

v较小时，小球除受到重力和绳子的拉力外，还受到圆锥面

的支持力。v增大至某一值，小球刚好对锥面没有压力。此时重力和拉

力的合力提供向心力。v继续增大，小球离开锥面飘起来，且v越大，绳与圆锥轴线的夹角越大。Fmg例题——静摩擦力产生的临界问题(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴OO′的距离为2l，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（

）

A.b一定比a先开始滑动

B.a、b所受的摩擦力始终相等

C.

是b开始滑动的临界角速度D.

时，a所受摩擦力的大小为kmg提示：静摩擦力大小有范围。分析同时刻ab的受力情况时需考虑它们所需向心力的大小关系。

AC例题——静摩擦力产生的临界问题解析因圆盘从静止开始绕轴缓慢加速转动，在某一时刻，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则由牛顿第二定律可得Ff＝m

R，由于小木块b的轨道半径大于a的轨道半径，故b做圆周运动需要的向心力较大，选项B错误；因为两木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，选项A正确；

当b刚刚开始滑动时，由牛顿第二定理可得kmg=

，可得

，选项C正确；当a开始滑动时，由牛顿第二定理可得kmg=

，可得

，而

，故小木块a未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力提供，

即

，选项D错误.例题——静摩擦力产生的临界问题(多选)(2018·新疆喀什质检)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心。已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑。今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB。若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（

）

A.滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3

B.滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9

C.转速增加后，滑块B先发生滑动

D.转速增加后，两滑块一起发生滑动

提示：静摩擦力大小有范围。分析同时刻AB的受力情况时需考虑它们所需向心力的大小关系。

ABC例题——静摩擦力产生的临界问题解析假设轮盘乙的半径为R，由题意可知两轮盘边缘的线速度大小相等，有ω甲·3R＝ω乙R，得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，A正确；滑块相对轮盘滑动前，根据an＝

r得A、B的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9，B正确；据题意可得滑块A、B的最大静摩擦力分别为FfA＝μmAg，FfB＝μmBg，最大静摩擦力之比为FfA∶FfB＝mA∶mB，滑块相对轮盘滑动前所受的静摩擦力之比为FfA′∶FfB′＝(mAaA)∶(mBaB)＝mA∶(4.5mB)，综上分析可得滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，C正确，D错误.

例题——静摩擦力产生的临界问题(2017安徽皖南八校一模)(多选)如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是()

A.B对A的摩擦力一定为3μmg

B.A与B间的摩擦力大于C与转台间的摩擦力

C.转台的角速度一定满足

D.转台的角速度一定满足

提示：ABC做圆周运动的向心力均由各自受到的静摩擦力提供，而静摩擦力大小有范围。分析物体是否滑动的关键是判断其所受最大静摩擦力是否能够提供其所需的向心力。

BC例题——静摩擦力产生的临界问题解析：A、对A受力分析，受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，有f=（3m）

r≤μ（3m）g．故A错误．B、由于A与C转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力有m×1.5r

＜3mr

即C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力，故B正确；

C、对AB整体，有：（3m+2m）

r≤μ（3m+2m）g…①对物体C，

有：m

（1.5r）≤μmg…②对物体A，

有：3m

r≤μ（3m）g…③联立①②③

解得：ω≤

所以C正确D错误．例题——静摩擦力产生的临界问题(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（

）

提示：AB两物体的向心力由摩擦力和绳子拉力的合力提供。

A.当w>

时，A、B相当于转盘会滑动

B.当w>

，绳子一定有弹力

C.w在

范围内增大时，B所受摩擦力变大

D.w在0ABD例题——静摩擦力产生的临界问题解析：当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对滑动，

Kmg+Kmg=

，解得：

，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：

，解得

，可知当

时，绳子有弹力，B项正确；当

时，B已达到最大静摩擦力，则

，B受到的摩擦力不变，C项错误；w在

范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以

，当w增大时，静摩擦力也增大，D项正确.例题——静摩擦力产生的临界问题（2015-睢宁县校级-模拟）如图所示，水平圆盘可绕过圆心的竖直轴转动，质量相等的A、B两物体静置于水平圆盘的同一直径上。A距竖直轴2L，用长恰为3L的轻绳连接（轻绳不可伸长）。现使圆盘绕轴匀速转动，两物块始终相对于圆盘静止，则（）

A.

A物块所受摩擦力一定指向圆心

B.

B物体所受摩擦力一定指向圆心

C.

A物块所受摩擦力一定背离圆心

D.

B物块所受摩擦力一定背离圆心

提示：AB两物体的向心力由摩擦力和绳子拉力的合力提供。A例题——静摩擦力产生的临界问题解：AB都做匀速圆周运动，合外力提供向心力，则

对A有：

对B有：

，

当角速度较小时，静摩擦力可以提供向心力，这时，绳子拉力为零，AB所受摩擦力都指向圆心，随着角速度增大，A先达到最大静摩擦力，绳子开始拉直且有作用力，所以A的摩擦力方向一定指向圆心，此时B还没有达到最大静摩擦力，B需要的向心力较小，此时B受到的摩擦力方向可以背离圆心，当绳子拉力正好提供向心力时，B物块不受摩擦力，故A正确。

例题——静摩擦力产生的临界问题（2018长沙雅礼中学三模）（多选）如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO’转动。三个物体与圆盘的动摩擦因数相同，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力。三个物体与轴O共线且OA=OB=BC=r，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力。当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，则对于这个过程，下列说法正确的是（）

A.A、B两个物体同时达到最大静摩擦力

B.B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变，A物体

所受的静摩擦力先增大后减小再增大

C.当

时整体会发生滑动

D.当

，在ω增大的过程中BC间的拉力不断增大提示：随着角速度的增大，静摩擦力逐渐增大，至静摩擦力不能提供向心力时，此时绳上会产生拉力与静摩擦力一起提供向心力。

例题——静摩擦力产生的临界问题解析：当圆盘转速增大时，静摩擦力提供向心力，三个物体的角速度相等，由F0=m

r，由于C的半径最大，质量最大，故C所需要的向心力增大最快，最先达到最大静摩擦力，此时

，解得

，当C的摩擦力达到最大摩擦力之后，细线BC开始开始提供拉力，B的摩擦力增大时，且细线BC的拉力大于A、B整体的摩擦力时物体将会出现相对滑动，此时A与B还受到细线的拉力，对C有

，此时A、B整体有

，解得

，当

时整体的会发生滑动，故A错误，B、C正确，当

时，C所受摩擦力沿着半径向里，且没有出现滑动，故在w增大的过程中，由于向心力F=T+f不断增大，故B、C间的拉力不断赠的大，故D正确。规律总结与摩擦力有关的临界极值问题

物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。

如果只是摩擦力提供向心力

最大静摩擦力Fm静摩擦力的方向一定指向圆心如果除摩擦力以外还有其他力其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。

如绳两端连接物体随水平面转动练习解析：当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmgcos30°－mgsin30°＝m

r得ω＝1.0rad/s，故选项C正确.C例题——与绳或弹簧连接的物体的临界问题(多选)(2018·江西吉安模拟)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（

）A.a绳的张力不可能为零

B.a绳的张力随角速度的增大而增大

C.当角速度ω>

，b绳将出现弹力

D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化

AC提示：角速度较小时，a伸直b未伸直；随着角速度的增大，b逐渐伸直；b伸直后其上的拉力逐渐增大。

例题——与绳或弹簧连接的物体的临界问题解析：A、小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A正确．B、根据竖直方向上平衡得，Fasinθ=mg，解得

，可知a绳的拉力不变，故B错误．C、当b绳拉力为零时，有：

mgcotθ=ml

，解得可知当角速度

时，b绳出现弹力．故C错误．D、由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误．

例题——与绳或弹簧连接的物体的临界问题（2018襄阳期中调研）如图所示，水平转台上的小物体A、B通过轻弹簧连接，并随转台一起匀速转动，A、B的质量分别为m、2m，A、B与转台的动摩擦因数均为μ，A、B离转台中心的距离分别为1.5r、r，已知弹簧的原长为1.5r，劲度系数为k，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法中正确的是（

）

A.

当B受到的摩擦力为0时，转台转动的角速度为

B.

当A受到的摩擦力为0时，转台转动的角速度为

C.

若转台转动的角速度为

，则A不动，B刚好要滑动

D.

转台转动的角速度为

，则B不动，A刚好要滑动

提示：对A、B，它们所受的摩擦力和弹簧的弹力的合力提供向心力。

D例题——与绳或弹簧连接的物体的临界问题解析：因为A、B离转台中心的距离分别为1.5r、r，已知弹簧的原长1.5r，所以弹簧伸长量为△I=r，由于A、B随转台一起匀速转动，可知角速度相同，A.当B受到的摩擦力为0时，弹簧弹力提供向心力，由于牛顿第二定理得

，解得

，故A错误；B.当A受到的摩擦力为0时，弹簧弹力提供A的向心力，由于牛顿第二定理得

，解得

，故B错误；C.当B刚好要滑动时，对B由摩擦力与弹簧弹力提供向心力，由牛顿第二定理得

，解得

，故C错误；D.当A刚好滑动时对A摩擦力与弹簧弹力提供向心力，由牛顿第二定理得

，解得

，故D正确.例题——与绳或弹簧连接的物体的临界问题(2015江苏单科)一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上。套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L。装置静止时，弹簧长为3/2L。转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。求:

(1)弹簧的劲度系数k;

(2)AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度ω0;

提示：通过铰链连接的杆其处于稳定状态时，力必定沿杆方向。例题——与绳或弹簧连接的物体的临界问题（1）装置静止时，设OA、AB杆中的弹力分别为F1、T1、OA杆与转轴的夹角

.

小环受到弹簧的弹力，

小球受力平衡：

小球受力平衡：

解得：

（2）设OA、AB杆中的弹力分别为F2、T2、OA杆与转轴的夹角为

，弹簧长度为x.

小环受到弹簧的弹力：

小球受力平衡：

得：

对小球：

解得：

答：（1）弹簧的劲度系数k为

；

（2）AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度w0为（2018·陕西师大附中三模）(多选)如图所示，物体M用两根长度相等不可伸长的线系在竖直杆上，它们随竖直杆转动，当转动角速度变化时，各力变化的情况为(

)

A.ω只有超过某一数值时，线AM的张力才出现

B.线BM的张力随ω的增大而增大

C.不论ω如何变化，线BM的张力总大于线AM的张力

D.当ω增大到某个值，总会出现线AM的张力大于线BM

的张力的情况

ABC例题——与绳或弹簧连接的物体的临界问题练习试题分析：设BM盛与竖直方向的夹角为

，AM绳于竖直方向的夹角为

，对物体M行受力分析，根据向心力公式则有：

A、当w较小时，BM绳在水平方向的分量可以提供向心力，此时AM绳没有力，当w增大到某值时，BM绳在水平方向的分量不足以提供向心力，此时绳子AM才有力的作用，故A正确；B、w的增大，所需的向心力增大绳子BM和AM的力都增大，故B正确；C、D、当AM绳子没有拉直时，AM绳拉力等于零，BM绳肯定有拉力，当AM绳拉直时，

，由

式可知，绳BM的张力一定大于绳子AM的张力，故C正确，D错误；故选ABC.①②①例题——圆锥面上的临界问题如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动。

（1）当

时，求细线对小球的

拉力大小;提示：随着线速度的增加，小球与圆锥体之间的作用力会发生变化。需要先求出临界线速度。

例题——圆锥面上的临界问题解析：小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力FN＝0，如图甲所示，设此时小球的线速度为v0，则解得因v1<v0，FN≠0，对小球受力分析，如图乙所示，有

FTcos30°＋FNsin30°＝mg解得例题——圆锥面上的临界问题（2）当v2=

时，求细线对小球的拉力大小.提示：需要先根据临界线速度判断小球是否飞离圆锥体。

解析:

因为v2>v0，小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图丙所示，有解得规律总结与弹力有关的临界极值问题

绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。

压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。

练习(2018湖北四地七校联考)如图所示，长为l=1m的绳子下端连着质量为m=1kg的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直，绳子与竖直方向夹角为60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上。问:(g=10m/

)

(1)当球以ω1=4rad/s做圆锥摆运动时，绳子的张力T1为多大?桌面受到的压力N1为多大?

(2)当球以ω2=6rad/s做圆锥摆运动时，绳子的张力T2及桌面受到的压力N2各为多大?

(1)16N2N

(2)36N0知识梳理竖直面上圆周运动的临界问题

杂技演员表演“水流星”节目，我们发现不管演员怎样抡，水都不会从杯里洒出，甚至杯子在竖直面内运动到最高点时，已经杯口朝下，水也不会从杯子里洒出，这是为什么？

在最高点时，杯子及水所受的合力恰好提供向心力知识梳理竖直面上圆周运动的临界问题

1.轻绳模型（无内轨支撑）

质点沿竖直光滑轨

道内侧做圆周运动

知识梳理竖直面上圆周运动的临界问题

1.轻绳模型（无内轨支撑）

最高点：最低点：过最高点的最小速度是多大？当v0时，物体离开圆面做曲线运动知识梳理竖直面上圆周运动的临界问题

2.轻杆模型（有内外轨支撑）

质点被轻杆拉着在竖

直面内做圆周运动质点沿竖直光滑细管

内做圆周运动

知识梳理竖直面上圆周运动的临界问题

2.轻杆模型（有内外轨支撑）

过最高点的最小速度是多大？

v=0当v>v0时，杆对物有向下的拉力

当v0时，杆对物有向上的支持力

例题——轻绳模型(2017广东汕头二模)如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为T，拉力T与速度v的关系如图乙所示，图像中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是 ()

A.数据a与小球的质量有关

B.数据b与圆周轨道半径有关

C.比值

只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关

D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径

提示：在最高点对小球受力分析，确定拉力的表达式，进而结合图象找出相关量。D例题——轻绳模型如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力。则球B在最高点时（

）

A.球B的速度为零

B.球A的速度大小为

C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg

D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg

提示：AB转动的角速度相同。C例题——轻绳模型解析：球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有

，解得

，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小，故

，B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球所受重力和拉力的合力提供向心力，有

，解得F=1.5mg，故C正确，D错误.例题——轻绳模型(2017·河北保定一模)如图所示，半径为R的细圆管(管径可忽略)内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则（

）

A.小球在管顶部时速度大小一定为

B.小球运动到管底部时速度大小可能为

C.小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mg

D.小球运动到管底部时对管壁的压力一定为7mg提示：小球在管顶部时，与管壁的作用力方向可能向上，也可能向下。C例题——轻绳模型规律总结竖直面内圆周运动的两类模型问题

两类模型比较

规律总结竖直面内圆周运动的两类模型问题

两类模型比较

规律总结竖直面内圆周运动的两类模型问题

两类模型比较

练习(2018福建百校联考)图甲中表演的水流星是一项中国传统民间杂技艺术，在一根绳子上系着两个装满水的桶，表演者把它甩动转起来，犹如流星般，而水不会流出来。图乙为水流星的简化示意图，在某次表演中，当桶A在最高点时，桶B恰好在最低点，若演员仅控制住绳的中点O不动，而水桶A、B(均可视为质点)都恰好能通过最高点，已知绳长l=1.6m，两水桶(含水)的质量均为m=0.5kg，不计空气阻力及绳重，取g=10m/

。

(1)求水桶在最高点和最低点的速度大小;

(2)求图示位置时，手对绳子的力的大小。

答案(1)2 m/s2 m/s

(2)30N练习解析：

(1)设最高点的速度为v1，最低点的速度为v2，水桶做圆周运动的半径

R= 

=0.8m(1分)

水桶恰通过最高点时绳上的拉力为零，有:mg=m 

解得:v1=2 m/s

水桶从最高点运动到最低点有:

解得:v2=2 

m/s

(2)绳OA对水桶A的拉力为零，对最低点的桶B受力分析可得FOB-mg=m  

解得:FOB=30N

所以，手对绳子的力的大小为30N

例题——解决变速圆周运动的一般方法（动能定理）（2014课标2理综）如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)从大环的最高处由静止滑下。重力加速度大小为g。当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为（

）

A.Mg－5mg

B.Mg＋mg

C.Mg＋5mg

D.Mg＋10mg

提示：小环从最高点落至最低点的过程中做变速圆周运动，利用动能定理结合牛二定律求解。

C例题——解决变速圆周运动的一般方法（动能定理）设大环半径为，质量为的小环下滑过程中遵守机械能守恒定律，所以

＝mg·2R小环滑到大环的最低点时的速度为