吉林省长春市榆树弓棚中学校2021年高三数学理下学期期末试题含解析

吉林省长春市榆树弓棚中学校2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为A.

B.

C.

D.9

参考答案：D以A点为坐标原点，建立直角坐标系，因为,菱形的边长为2，所以D点坐标为，,因为是中点，所以,设，则点的活动区域为四边形OBCM内（含边界），则，令，得，由线性规划可知，当直线经过点C时，直线的截距最大，此时最大，所以此时最大值为，选D.2.已知向量。则是的

A．充分不必要祭件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则的值为

A．

B．4

C．2

D．参考答案：A4.（5分）过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为（）A．1B．2C．4D．8参考答案：C【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：取AB的中点N，分别过A、B、N作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、M，作出图形，利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|MN|=|AB|，从而可判断圆与准线的位置关系：相切，确定抛物线y2=2px的焦点，设直线AB的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理可得AB的中点M的纵坐标为，由条件即可得到p=4．

解：取AB的中点N，分别过A、B、N作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、M，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圆心N到准线的距离等于半径，即有以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由M的纵坐标为2，即N的纵坐标为2，抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），设直线AB的方程为y=2（x﹣），即x=y+，与抛物线方程y2=2px联立，消去x，得y2﹣py﹣p2=0由韦达定理可得AB的中点N的纵坐标为，即有p=4，故选C．【点评】：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题．5.当时，，则a的取值范围是A．

B．C．

D．参考答案：B6.已知两条直线和互相平行，则等于（

）

A.1或-3

B.-1或3

C.1或3

D.-1或3参考答案：B略7.已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量坐标关系，求出=（﹣3，4），=（5，﹣12），再利用cosθ=求解即可．【解答】解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．8.命题“”的否定是（

）A

B

C

D

参考答案：D9.在中，三内角所对的边是且成等差数列，那么直线与直线的位置关系是

(

)（A）平行

（B）垂直

（C）重合

（D）相交但不垂直参考答案：C10.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是（

）A．且

B．且

C.且

D．且参考答案：D由和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，知：在A中，

且，则与平行或?，故A错误；

在B中，且，则与平行、相交或?，故B错误；

在C中，且，则与平行、相交或?，故C错误；

在D中，且，由线面垂直的判定定理得，故D正确．故选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，当不等式的解集为时，实数的值为

。参考答案：212.平面向量满足，，，，则的最小值为

.参考答案：

【知识点】平面向量数量积的运算．F3解析：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵?=1，?=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．【思路点拨】如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由?=1，?=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn即可得出．13.某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。根据频率分布直方图推测3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_____________________

参考答案：600本题主要考查了频率分布直方图及其数据处理问题，难度较小。根据频率分布直方图知该次数学考试中成绩小于60分的学生数是（0.002+0.006+0.012）×10×3000=600；14.连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2和4，M、N分别为AB、CD的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①MN的最大值为5

②弦AB、CD可能相交于点M③MN的最小值为1

④弦AB、CD可能相交于点N其中真命题为．参考答案：②【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故答案为②．15.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：∴该几何体的体积为23﹣×22×1=8﹣=．故答案为：．16.（4分）（2015?上海模拟）已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=1，公比为q，前n项和为Sn，若，则公比为q的取值范围是．参考答案：（0，1]【考点】：数列的极限．【专题】：计算题．【分析】：根据等比数列的前n项和公式Sn，Sn+1列出关于q的表达式，利用条件，分类讨论然后求解即可得到答案．解：当q=1的情况，Sn+1=（n+1）a1，所以成立，当q≠1是的情况，，所以可以看出当q为小于1的分数的时候成立，故答案为（0，1]．【点评】：本题的考点是数列的极限，此主要考查极限及其运算，其中涉及到等比数列前n项和的求法，要分类讨论求解．属于综合题目有一定的计算量．17.如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为_____参考答案：解析：函数的图像关于点中心对称

由此易得.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图：⊙O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：O，C，D，F四点共圆；（2）求证：PF?PO=PA?PB．参考答案：【考点】相似三角形的判定．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（1）连接OC，OE，证明∠AOC=∠CDE，可得O，C，D，F四点共圆；（2）利用割线定理，结合△PDF∽△POC，即可证明PF?PO=PA?PB．【解答】证明：（1）连接OC，OE，因为=，所以∠AOC=∠AOE=∠COE，…又因为∠CDE=∠COE，则∠AOC=∠CDE，所以O，C，D，F四点共圆．…（2）因为PBA和PDC是⊙O的两条割线，所以PD?DC=PA?PB，…因为O，C，D，F四点共圆，所以∠PDF=∠POC，又因为∠DPF=∠OPC，则△PDF∽△POC，所以，即PF?PO=PD?PC，则PF?PO=PA?PB．…【点评】本题考查四点共圆，考查割线定理，三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．19.已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在区间0,2上为减函数，求实数a的取值范围．参考答案：(1)∵f(x)的图象与h(x)的图象关于A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点B′(x′，y′)，则，∴．∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′＝x′＋＋2，∴2－y＝－x－＋2，∴y＝x＋，即f(x)＝x＋．(2)g(x)＝x2＋ax＋1，∵g(x)在0,2上为减函数，∴－≥2，即a≤－4，∴a的取值范围为(－∞，－4．20.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表： 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 资金单位产品所需资金（百元）空调机洗衣机月资金供应量（百元）成本3020300劳动力（工资）510110单位利润68

参考答案：【考点】简单线性规划的应用． 【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解． 【解答】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y， 由题意有30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均为整数． 由图知直线y=﹣x+P过M（4，9）时，纵截距最大． 这时P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96（百元）． 故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元． 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 21.（本小题满分14分）

设函数

（1）当时，求的极值；

（2）当时，求的单调区间；

（3）当时，对任意的正整数，在区间上总有个数使得成立，试求正整数的最大值。参考答案：解：（1）函数的定义域为

……1分当时，，∴

………………2分由得

随变化如下表：—0+↘极小值↙故，，没有极大值．…………4分（2）由题意，令得，

………………6分若，由得；由得

…………7分若，①当时，，或，；，②当时，③当时，或,;，综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为

……………………10分（3）当时，∵，∴

∴，

………………12分由题意，恒成立。令，且在上单调递增，，因此，而是正整数，故，所以，时，存在，时，对所有满足题意，∴………………14分22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，且曲线C1与C2恰有一个公共点.(Ⅰ)求曲线C1的极坐标方程；(Ⅱ)已知曲线C1上两点A，B满足，求面积的最大值.参考答案：(Ⅰ).(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由题意得曲线为直线，曲线为圆，根