2023年湖南省湘潭市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年湖南省湘潭市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.若y(x-1)=x2-1，则y'(x)等于（）A.2x+2B.x(x+1)C.x(x-1)D.2x-1

2.

3.

4.

5.

6.

7.过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的平面方程为()．

A.x+y+z=1

B.2x+y+z=1

C.x+2y+z=1

D.x+y+2z=1

8.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为（）A.A.2B.-2C.3D.-39.A.A.-(1/2)B.1/2C.-1D.210.设f(x)=e3x，则在x=0处的二阶导数f"(0)=A.A.3B.6C.9D.9e

11.刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用四个力，此四个边恰好组成封闭的力多边形。则()

A.力系平衡

B.力系有合力

C.力系的合力偶矩等于平行四边形ABCD的面积

D.力系的合力偶矩等于负的平行四边形ABCD的面积的2倍

12.若f(x)为[a，b]上的连续函数，（）。A.小于0B.大于0C.等于0D.不确定

13.

14.

15.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线y=f(x)的所有切线中()．A.A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴16.A.sin(2x－1)＋C

B.

C.－sin(2x－1)＋C

D.

17.

18.A.A.

B.

C.

D.

19.设二元函数z=xy，则点P0(0，0)A.为z的驻点，但不为极值点B.为z的驻点，且为极大值点C.为z的驻点，且为极小值点D.不为z的驻点，也不为极值点

20.方程x2+y2-z2=0表示的二次曲面是（）。

A.球面B.旋转抛物面C.圆柱面D.圆锥面二、填空题(20题)21.

22.23.幂级数的收敛区间为______．24.25.交换二重积分次序=______．26.

27.

28.直线的方向向量为________。

29.

30.

31.

32.33.34.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。35.36.37.过点M0(1，-2，0)且与直线垂直的平面方程为______．

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.42.

43.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

44.

45.

46.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．47.48.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．49.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．50.证明：51.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．52.求微分方程的通解．53.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

54.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

55.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．56.57.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

58.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

59.

60.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则四、解答题(10题)61.62.设

63.

64.计算∫tanxdx．65.求，其中区域D是由曲线y=1+x2与y=0，x=0，x=1所围成．

66.

67.68.证明：

69.

70.

确定a，b使得f(x)在x=0可导。五、高等数学(0题)71.设函数f(x)=x.sinx，则

=()

A.0

B.-1

C.1

D.

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A因f(x-1)=x2-1，故f(x)=(x+1)2-1=x2+2x，则f'(x)=2x+2.

2.B解析：

3.D

4.B

5.A解析：

6.C

7.A设所求平面方程为．由于点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)都在平面上，将它们的坐标分别代入所设平面方程，可得方程组

故选A．

8.C点(-1，0)在曲线y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由导数的几何意义可知，曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为3，所以选C．

9.A

10.Cf(x)=e3x，f'(x)=3e3x，f"(x)=9e3x，f"(0)=9，因此选C。

11.D

12.C

13.D

14.D解析：

15.A本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义．

由题设条件可知f(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．这表明曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线必定平行于x轴，可知A正确，C不正确．

如果曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线平行于y轴，其中ξ∈(0，1)，这条切线的斜率为∞，这表明f'(ξ)=∞为无穷大，此时说明f(x)在点x=ξ不可导．因此可知B，D都不正确．

本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选A．

有些考生选B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误．

16.B本题考查的知识点为不定积分换元积分法。

因此选B。

17.B

18.Dy=cos3x，则y'=-sin3x*(3x)'=-3sin3x。因此选D。

19.A

20.D因方程可化为，z2=x2+y2，由方程可知它表示的是圆锥面.

21.y=2x+122.e．

本题考查的知识点为极限的运算．

23.(-2，2)；本题考查的知识点为幂级数的收敛区间．

由于所给级数为不缺项情形，

可知收敛半径，收敛区间为(-2，2)．

24.

25.本题考查的知识点为交换二重积分次序．

积分区域D：0≤x≤1，x2≤y≤x

积分区域D也可以表示为0≤y≤1，y≤x≤，因此

26.1．

本题考查的知识点为函数连续性的概念．

27.28.直线l的方向向量为

29.-exsiny

30.

31.y

32.答案：1

33.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数计算．

34.35.

36.本题考查的知识点为定积分计算．

可以利用变量替换，令u=2x，则du=2dx，当x=0时，a=0；当x=1时，u=2．因此

或利用凑微分法

本题中考生常在最后由于粗心而出现错误．如

这里中丢掉第二项．37.3(x-1)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5)本题考查的知识点为平面与直线的方程．

由题设条件可知应该利用点法式方程来确定所求平面方程．

所给直线l的方向向量s=(3，-1，1)．若所求平面π垂直于直线l，则平面π的法向量n∥s，不妨取n=s=(3，-1，1)．则由平面的点法式方程可知

3(x-1)-[y-(-2)]+(z-0)=0，

即3(x-1)-(y+2)+z=0

为所求平面方程．

或写为3x-y+z-5=0．

上述两个结果都正确，前者3(x-1)-(y+2)z=0称为平面的点法式方程，而后者3x-y+z-5=0称为平面的一般式方程．

38.11解析：

39.

40.1

41.

42.

则

43.

44.由一阶线性微分方程通解公式有

45.46.函数的定义域为

注意

47.

48.

49.

50.

51.

52.53.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

54.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％55.由二重积分物理意义知

56.

57.

列表：

说明

58.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

59.

60.由等价无穷小量的定义可知

61.

62.本题考查的知识点为参数方程形式的函数的求导．

只需依公式，先分别求出即可．

63.

64.

；本题考查的知识点为定积分的换元积分法．65.积分区域D如图1-4所示。D可以表示为0≤x≤1，0≤y≤1+x2本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序。如果将二重积分化为先对x后对y的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序。

66.67.将方程两端关于x求导，得

68.

69.

70.

①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可导一定连续∴a+b=1