2023年广东省惠州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年广东省惠州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.∫1+∞e-xdx=()

A.-eB.-e-1

C.e-1

D.e

3.设函数f(x)在区间(0，1)内可导，f'(x)＞0，则在(0，1)内f(x)()．A.单调增加B.单调减少C.为常量D.既非单调，也非常量

4.

5.

6.用多头钻床在水平放置的工件上同时钻四个直径相同的孔，如图所示，每个钻头的切屑力偶矩为M1=M2=M3=M4=一15N·m，则工件受到的总切屑力偶矩为()。

A.30N·m，逆时针方向B.30N·m，顺时针方向C.60N·m，逆时针方向D.60N·m，顺时针方向

7.设f(x)在点x0处取得极值，则()

A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0

B.f"(x0)必定不存在

C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0

D.f"(x0)必定存在，不一定为零

8.

9.等于()A.A.

B.

C.

D.

10.

A.0B.2C.4D.8

11.设f(x)=1-cos2x，g(x)=x2，则当x→0时，比较无穷小量f(x)与g(x)，有

A.f(x)对于g(x)是高阶的无穷小量

B.f(x)对于g(x)是低阶的无穷小量

C.f(x)与g(x)为同阶无穷小量，但非等价无穷小量

D.f(x)与g(x)为等价无穷小量

12.

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与a有关

13.

14.

15.若级数在x=-1处收敛，则此级数在x=2处

A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.不能确定16.当α＜x＜b时，f'(x)＜0，f'(x)＞0。则在区间(α，b)内曲线段y=f(x)的图形A.A.沿x轴正向下降且为凹B.沿x轴正向下降且为凸C.沿x轴正向上升且为凹D.沿x轴正向上升且为凸

17.

18.方程x2+2y2+3z2=1表示的二次曲面是

A.圆锥面B.旋转抛物面C.球面D.椭球面

19.

20.

二、填空题(20题)21.22.

23.

24.

25.设z=x3y2，则26.设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为．27.设y＝f(x)在点x＝0处可导，且x＝0为f(x)的极值点，则f(0)＝．

28.

29.30.设，则y'=______。31.幂级数的收敛区间为______．32.33.34.已知当x→0时，-1与x2是等价无穷小，则a=________。

35.

36.

37.

38.曲线y=1-x-x3的拐点是__________。

39.

40.三、计算题(20题)41.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

42.

43.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．44.45.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

46.求曲线在点(1，3)处的切线方程．47.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．48.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则49.求微分方程的通解．50.证明：51.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．52.53.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

54.

55.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．56.

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．59.

60.

四、解答题(10题)61.

(1)切点A的坐标(a，a2)．

(2)过切点A的切线方程。

62.

63.设函数f(x)=x3-3x2-9x，求f(x)的极大值。

64.

65.66.设y=y(x)由方程X2+2y3+2xy+3y-x=1确定，求y'．

67.证明：当时，sinx+tanx≥2x．

68.

69.设y=x2=lnx，求dy。

70.

五、高等数学(0题)71.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

六、解答题(0题)72.求由曲线y2=(x-1)3和直线x=2所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积.

参考答案

1.D

2.C

3.A由于f(x)在(0，1)内有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)内单调增加，故应选A．

4.C解析：

5.C

6.D

7.A若点x0为f(x)的极值点，可能为两种情形之一：(1)若f(x)在点x0处可导，由极值的必要条件可知f"(x0)=0；(2)如f(x)=|x|在点x=0处取得极小值，但f(x)=|x|在点x=0处不可导，这表明在极值点处，函数可能不可导。故选A。

8.D

9.C本题考查的知识点为不定积分基本公式．

由于

可知应选C．

10.A解析：

11.C

12.A

本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念．

13.D

14.B

15.C由题意知，级数收敛半径R≥2，则x=2在收敛域内部，故其为绝对收敛.

16.A由于在(α，b)内f'(x)＜0，可知f(x)单调减少。由于f"(x)＞0，

可知曲线y=f'(x)在(α，b)内为凹，因此选A。

17.A

18.D本题考查了二次曲面的知识点。

19.D解析：

20.D21.

本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解．

二阶线性常系数齐次微分方程求解的－般步骤为：先写出特征方程，求出特征根，再写出方程的通解．

22.

23.y=Cy=C解析：

24.arctanx+C25.12dx+4dy；本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分．

由于z=x3y2可知，均为连续函数，因此

26.y＝f(1)．

本题考查的知识点有两个：－是导数的几何意义，二是求切线方程．

设切点为(x0，f(x0))，则曲线y＝f(x)过该点的切线方程为

y－f(x0)＝f(x0)(x－x0)．

由题意可知x0＝1，且在(1，f(1))处曲线y＝f(x)的切线平行于x轴，因此应有f(x0)＝0，故所求切线方程为

y—f(1)＝0．

本题中考生最常见的错误为：将曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程写为

y－f(x0)＝f(x)(x－x0)

而导致错误．本例中错误地写为

y－f(1)＝f(x)(x－1)．

本例中由于f(x)为抽象函数，－些考生不习惯于写f(1)，有些人误写切线方程为

y－1＝0．27.0．

本题考查的知识点为极值的必要条件．

由于y＝f(x)在点x＝0可导，且x＝0为f(x)的极值点，由极值的必要条件可知有f(0)＝0．

28.11解析：29.本题考查的知识点为用洛必达法则求未定型极限．

30.本题考查的知识点为导数的运算。31.(-2，2)；本题考查的知识点为幂级数的收敛区间．

由于所给级数为不缺项情形，

可知收敛半径，收敛区间为(-2，2)．32.(2x+cosx)dx．

本题考查的知识点为微分运算．

33.34.当x→0时，-1与x2等价，应满足所以当a=2时是等价的。

35.2x-4y+8z-7=0

36.In2

37.2yex+x

38.(01)39.0

40.R

41.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％42.由一阶线性微分方程通解公式有

43.

44.

45.

46.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

47.48.由等价无穷小量的定义可知

49.

50.

51.

52.53.由二重积分物理意义知

54.55.函数的定义域为

注意

56.

则

57.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

58.

列表：

说明

59.

60.

61.本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程．

α=1．

因此A点的坐标为(1，1)．

过A点的切线方程为y一1=2(x一1)或y=2x一1．

本题在利用定积分表示平面图形时，以y为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧．

62.

63.

64.

65.66.解法1将所给方程两端关于x求导，可得2x+6y2·y'+2(y+xy')+3y'-1=0，整理可得

解法2令F(x，y)=x2+2y3+2xy+3y-x-1，则本题考查的知识点为隐函数求导法．

y=y(x)由方程F(x，Y)=0确定，求y'通常有两种方法：

一是将F(x，y)=0两端关于x求导，认定y为中间变量，得到含有y'的方程，从中解出y'．

二是利用隐函数求导公式其中F'x，F'y分别为F(x，y)=0中F(x，y)对第一个位置变元的偏导数与对第二个位置变元的偏导数．

对于一些特殊情形，可以从F(x，y)