时间序列的平稳性和单位根检验李子奈

§8.1时间序列平稳性和单位根检验

StationaryTimeSerialandUnitRootTest一、时间序列的平稳性二、单整序列三、单位根检验经典时间序列分析模型：包括MA、AR、ARMA模型平稳时间序列模型分析时间序列自身的变化规律现代时间序列分析模型：分析时间序列之间的结构关系单位根检验、协整检验是核心内容现代宏观计量经济学的主要内容一、时间序列的平稳性

StationaryTimeSeries⒈问题的提出经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据（time-seriesdata)；截面数据(cross-sectionaldata)平行/面板数据（paneldata/time-seriescross-sectiondata)

时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致性”要求——被破怀。数据非平稳，往往导致出现“虚假回归”（SpuriousRegression）问题。表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性。例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。2、平稳性的定义假定某个时间序列是由某一随机过程（stochasticprocess）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1,2,…）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：

均值E(Xt)=是与时间t无关的常数；

方差Var(Xt)=2是与时间t无关的常数；

协方差Cov(Xt,Xt+k)=k

是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationarystochasticprocess）。宽平稳、广义平稳白噪声（whitenoise）过程是平稳的：

Xt=t

，t~N(0,2)随机游走（randomwalk）过程是非平稳的：

Xt=Xt-1+t，t~N(0,2)Var(Xt)=t2随机游走的一阶差分（firstdifference）是平稳的：Xt=Xt-Xt-1=t，t~N(0,2)如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。二、平稳性的图示判断说明本节的概念是重要的，属于经典时间序列分析。在实际应用研究中，一般直接采用单位根检验，图示判断应用较少。建议作为自学内容。三、平稳性的单位根检验

（unitroottest）1、DF检验（Dicky-FullerTest）通过上式判判断Xt是否有单位位根,就是时间序序列平稳性性的单位根检验验。随机游走，，非平稳对该式回归归，如果确确实发现ρ=1，则称随机机变量Xt有一个单位根。等价于通过过该式判断断是否存在在δ=0。一般检验模模型零假设H0：=0备择假设H1：<0可通过OLS法下的t检验完成。。但是，在零零假设（序序列非平稳稳）下，即即使在大样样本下t统计量也是是有偏误的的（向下偏偏倚），通通常的t检验无法使使用。Dicky和Fuller于1976年提出了这这一情形下下t统计量服从从的分布（（这时的t统计量称为为统计量），即DF分布。由于t统计量的向向下偏倚性性，它呈现现围绕小于于零均值的的偏态分布布。如果t<临界值，则则拒绝零假假设H0：=0，认为时间间序列不存存在单位根根，是平稳稳的。单尾检验2、ADF检验（AugmentDickey-Fullertest）为什么将DF检验扩展为为ADF检验？DF检验假定时时间序列是是由具有白白噪声随机机误差项的的一阶自回回归过程AR(1)生成的。。但在实实际检验验中，时时间序列列可能由由更高阶阶的自回回归过程程生成，，或者随随机误差差项并非非是白噪噪声，用用OLS法进行估估计均会会表现出出随机误误差项出出现自相相关，导导致DF检验无效效。如果时间间序列含含有明显显的随时时间变化化的某种种趋势（（如上升升或下降降），也也容易导导致DF检验中的的自相关关随机误误差项问问题。ADF检验模型型零假设H0：=0备择假设设H1：<0模型1模型2模型3检验过程程实际检验验时从模模型3开始，然然后模型型2、模型1。何时检验验拒绝零零假设，，即原序序列不存存在单位位根，为为平稳序序列，何何时停止止检验。。否则，就就要继续续检验，，直到检检验完模模型1为止。检验原理理与DF检验相同同，只是是对模型型1、2、3进行检验验时，有有各自相相应的临临界值表表。检验模型型滞后项项阶数的的确定：：以随机项项不存在在序列相相关为准准则。一个简单单的检验验过程：：同时估计计出上述述三个模模型的适适当形式式，然后后通过ADF临界值表表检验零零假设H0：=0。只要其中中有一个个模型的的检验结结果拒绝绝了零假假设，就就可以认认为时间间序列是是平稳的的；当三个模模型的检检验结果果都不能能拒绝零零假设时时，则认认为时间间序列是是非平稳稳的。3、例：检检验1978-2000年间中国国支出法法GDP时间序列列的平稳稳性例检验1978~2006年间中国国实际支支出法国国内生产产总值GDPC时间序列列的平稳稳性。下面演示示的是检检验1978~2000年间中国国支出法法国内生生产总值值GDPC时间序列列的平稳稳性。方法原理理和过程程是一样样的，例例可以作为为同学的的练习。。首先检验验模型3，经过偿偿试，模模型3取2阶滞后：：需进一步步检验模模型2。LM（1）=0.92，LM（2）=4.16系数的t>临界值，，不能拒拒绝存在在单位根根的零假假设。时间T的t统计量小小于ADF临界值，，因此不能拒绝绝不存在在趋势项项的零假假设。小于5%显著性水水平下自自由度分分别为1与2的2分布的临临界值，，可见不不存在自自相关性性，因此此该模型型的设定定是正确确的。检验模型型2，经试验验，模型型2中滞后项项取2阶：常数项的的t统计量小小于AFD分布表中中的临界界值，不能拒绝绝不存常常数项的的零假设设。LM检验表明明模型残残差不存存在自相相关性，，因此该该模型的的设定是是正确的的。GDPt-1参数值的的t统计量为为正值，，大于临临界值，，不能拒绝绝存在单单位根的的零假设设。需进一步步检验模模型1。检验模型型1，经试验验，模型型1中滞后项项取2阶：GDPt-1参数值的的t统计量为为正值，，大于临临界值，，不能拒绝绝存在单单位根的的零假设设。LM检验表明明模型残残差项不不存在自自相关性性，因此此模型的的设定是是正确的的。可断定中中国支出出法GDP时间序列列是非平平稳的。。ADF检验在Eviews中的实现现ADF检验在Eviews中的实现现ADF检验在Eviews中的实现现—检验GDPPADF检验在Eviews中的实现现—检验GDPP从GDPP(-1)的参数值值看，其其t统计量的值值大于临界界值，不能能拒绝存在在单位根的的零假设。。同时，由由于时间项项T的t统计量也小小于ADF分布表中的的临界值，，因此不能能拒绝不存存在趋势项项的零假设设。需进一一步检验模模型2。ADF检验在Eviews中的实现—检验GDPPADF检验在Eviews中的实现—检验GDPP从GDPP(-1)的参数值看看，其t统计量的值值大于临界界值，不能能拒绝存在在单位根的的零假设。。同时，由由于常数项项的t统计量也小小于ADF分布表中的的临界值，，因此不能能拒绝不存存在趋势项项的零假设设。需进一一步检验模模型1。ADF检验在Eviews中的实现—检验GDPPADF检验在Eviews中的实现—GDPP从GDPP(-1)的参数值看看，其t统计量的值值大于临界界值，不能能拒绝存在在单位根的的零假设。。至此，可可断定GDPP时间序列是是非平稳的的。ADF检验在Eviews中的实现—检验△GDPP从△GDPP(-1)的参数值看看，其t统计量的值值大于临界界值，不能能拒绝存在在单位根的的零假设。。同时，由由于时间项项项T的t统计量也小小于AFD分布表中的的临界值，，因此不能能拒绝不存存在趋势项项的零假设设。需进一一步检验模模型2。在1%置信度下。。从△GDPP(-1)的参数值看看，其统计计量的值大大于临界值值，不能拒拒绝存在单单位根的零零假设。同同时，由于于常数项的的t统计量也小小于AFD分布表中的的临界值，，因此不能能拒绝不存存在趋势项项的零假设设。需进一一步检验模模型1。从△GDPP(-1)的参数值看看，其统计计量的值大大于临界值值，不能拒拒绝存在单单位根的零零假设。至至此，可断断定△GDPP时间序列是是非平稳的的。ADF检验在Eviews中的实现—检验△2GDPP从△2GDPP(-1)的参数值看看，其统计计量的值小小于临界值值，拒绝存存在单位根根的零假设设。至此，，可断定△△2GDPP时间序列是是平稳的。。GDPP是I(2)过程。*4、平稳性检检验的其它它方法PP检验（Phillips-Perron）检验模型中中不引入滞滞后项，以以避免自由由度损失降降低检验效效力。直接采用Newey-West一致估计式式作为调整整因子，修修正一阶自自回归模型型得出的统统计量。一种非参数数检验方法法霍尔工具变变量方法用工具变量量法估计ADF检验模型。。用Xt-k和ΔXt-i-k作为yt-1和ΔXt-i的工具变量量。检验统计量量仍然服从从ADF分布。DF-GLS方法（Elliott,Rothenberg,Stock,ERS）去势（趋势势、均值））。对去势后的的序列进行行ADF型检验。采用GLS估计检验模模型。证明具有更更良好的性性质。KPSS方法（Kwiatkowski,Philips,Schmidt,Shin）检验趋势平平稳非参数检验验方法其它方法LMC(Leybourne,McCabe)Ng-PerronEviews中提供的检检验方法Eviews中提供的滞滞后阶数选选择四、单整、、趋势平稳稳与差分平平稳1、单整（integratedSerial）如果一个时时间序列经经过一次差差分变成平平稳的，就就称原序列列是一阶单整（（integratedof1）序列，记为I(1)。一般地，如如果一个时时间序列经经过d次差分后变变成平稳序序列，则称称原序列是是d阶单整（integratedofd）序列，记为I(d)。例如上述人人均GDP序列，即为为I(2)序列。I(0)代表一平稳稳时间序列列。现实经济生生活中只有有少数经济济指标的时时间序列表表现为平稳稳的，如利利率等;大多数指标标的时间序序列是非平平稳的，例例如，以当当年价表示示的消费额额、收入等等常是2阶单整的，，以不变价价格表示的的消费额、、收入等常常表现为1阶单整。大多数非平平稳的时间间序列一般般可通过一一次或多次次差分的形形式变为平平稳的。但也有一些些时间序列列，无论经经过多少次次差分，都都不能变为为平稳的。。这种序列列被称为非单整的（（non-integrated）。2、趋势平稳稳与差分平平稳随机过过程含有一阶自自回归的随随机过程：：如果ρ=1，β=0，Xt成为一带位位移的随机机游走过程程。根据α的正负，Xt表现出明显显的上升或或下降趋势势。这种趋趋势称为随机性趋势势（stochastictrend）。如果ρ=0，β≠0，Xt成为一带时时间趋势的的随机变化化过程。根根据β的正负，Xt表现出明显显的上升或或下降趋势势。这种趋趋势称为确定性趋势势（deterministictrend）。如果ρ=1，β≠0，则Xt包含有有确定定性与与随机机性两两种趋趋势。。判断一一个非非平稳稳时间间序列列的趋趋势是是随机机性的的还是是确定定性的的，可可通过过ADF检验中中所用用的第第3个模型型进行行。该模型型中已已引入入了表表示确确定性性趋势势的时时间变变量，，即分分离出出了确确定性性趋势势的影影响。。如果检检验结结果表表明所所给时时间序序列有有单位位根，，且时时间变变量前前的参参数显显著为为零，，则该该序列列显示示出随随机性性趋势势；如果没没有单单位根根，且且时间间变量量前的的参数数显著著地异异于零零，则则该序序列显显示出出确定定性趋趋势。。差分平平稳过过程和和趋势势平稳稳过程程具有随随机性性趋势势的时时间序序列通通过差差分的的方法法消除除随机机性趋趋势。。该时时间序序列称称为差分平平稳过过程（（differencestationaryprocess）；具有确确定性性趋势势的时时间序序列通通过除除去趋趋势项项消除除确定定性趋趋势。。该时时间序序列称称为趋势平平稳过过程（（trendstationaryprocess）。9、静夜四四无邻，，荒居旧旧业贫。。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。21:03:3521:03:3521:031/1/20239:03:35PM11、以我独独沈久，，愧君相相见频。。。1月-2321:03:3521:03Jan-2301-Jan-2312、故人江海别别，几度隔山山川。。21:03:3521:03:3521:03Sunday,January1,202313、乍见翻翻疑梦，，相悲各各问年。。。1月-231月-2321:03:3521:03:35January1,202314、他乡生白白发，旧国国见青山。。。01一月月20239:03:35下下午21:03:351月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月239:03下下午1月-2321:03January1,202316、行行动动出出成成果果，，工工作作出出财财富富。。。。2023/1/121:03:3521:03:3501January202317、做前，能能够环视四四周；做时时，你只能能或者最好好沿着以脚脚为起点的的射线向前前。。9:03:35下下午9:03下下午21:03:351月-239、没没有有失失败败，，只只有有暂暂时时停停止止成成功功！！。。1月月-231月月-23Sunday,January1,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有结结果果，，但但是是不不努努力力却却什什么么改改变变也也没没有有。。。。21:03:3521:03:3521:031/1/20239:03:35PM11、成功就是是日复一日日那一点点点小小努力力的积累。。。1月-2321:03:3521:03Jan-2301-Jan-2312、世间成事事，不求其其绝对圆满满，留一份份不足，可可得无限完完美。。21:03:3521:03:3521:03Sunday,January1,202313、不不知知香香积积寺寺，，数数里里入入云云峰峰。。。。1月月-231月月-2321:03:3521:03:35January1,202314、意意志志坚坚强强的的人人能能把把世世界界放放在在手手中中像像泥泥块块一一样样任任意意揉揉捏捏。。01一一月月20239:03:35下下午午21:03:351月月-2315、楚塞三湘湘接，荆门门九派通。。。。一月239:03下下午1月-2321:03January1,202316、少年十五五二十时，，步行夺得得胡马骑。。。2023/1/121:03:3521:03:3501January202317、空空山山新新雨雨后后，，天天气气晚晚来来秋秋。。。。9:03:35下下午午9:03下下午午21:03:351月月-239、杨柳柳散和和风，，青山山澹吾吾虑。。。1月-231月-23