工程电磁场的数理基础二

1.5场向量的微分方程-波动方程MAXWELL微分方程组，在数学上多重耦合、多变量、求解困难.一般先导出由单个场向量所给定的解耦的微分方程。由MAXWELL方程组导出由场向量H、B、E、D或J所满足的偏微分方程。H的导出方程：

对于线性、均匀且各向同性媒质，设场域中无自由电荷，则由式（1-1）取旋度，并以：J=gE

代入，便得由于

代入（1-27），即得同理可证

式（1-28）、（1-29）就是由一个场分量（H、B、E、D）所描述的一般齐次波动方程。

在特定情况下，基于以上各场分量的导出方程可进一步分别归结为：(1)理想介质（g=0）中的电磁波方程（波动方程）

(2)良导电媒质（g>>we）中的涡流方程（扩散或热传导方程）

(3)正弦稳态时变场中的涡流方程（相量形式的扩散或热传导方程）

(4)没有自由电荷分布区域中的静电场方程（拉普拉斯方程）

(5)没有传导电流分布区域中的恒定磁场方程（拉普拉斯方程）

1.6位函数的微分方程

---位函数和波方程一个场向量的微分方程对应于三个标量微分方程。即在任一场点上，待求的自由度数是三个，因此离散化后的自由度数是相当可观的。为减少待求自由度数，提高计算效率，同时，也为了简化概念，构造简便的数学模型，引入和应用各种电磁场位函数。(有源）位函数引入多种辅助函数，即位函数（如电位），然后由源（如电荷）求位函数，再由位函数计算电场或磁场。位函数有：矢量位A，标量位f，赫兹（Herz）矢量位P位函数定义如下(周希朗）可以证明，位函数满足以下形式的微分方程因上各式的解为波函数，因此也称它们为波（动）方程。在无无源源无无耗耗区区，，赫赫兹兹位位满满足足以以下下方方程程由赫赫兹兹位位计计算算电电场场和和磁磁场场的的公公式式为为在直直角角坐坐标标系系中中，，矢矢量量位位的的三三个个分分量量均均满满足足波波动动方方程程；；在柱柱坐坐标标系系中中，，矢矢量量位位的的z分分量量满满足足波波动动方方程程；；在球球坐坐标标系系中中，，矢矢量量位位的的所所有有分分量量均均无无法法满满足足波波方方程程。。故在在球球坐坐标标系系中中，，引引入入德德拜拜（（Deby））位位，，动动态态场场中中的的动动态态位位方方程程由任任意意向向量量旋旋度度的的散散度度与与任任意意标标量量梯梯度度的的旋旋度度均均恒恒等等于于零零，，对对动动态态电电磁磁场场，，可可验验证证有有以上上两两式式分分别别定定义义了了：：动态态向向量量位位函函数数A(r,t)动态态标标量量位位函函数数j(r,t)它们们自自动动满满足足MAXWELL方方程程组组中中（（1-3））和和（（1-2））。。但须须知知，，引引入入位位函函数数表表示示场场量量B和和E，，含含有有任任意意性性的的成成分分。。因为为如如果果令令则可可给给出出同同样样的的B和和E。。位函函数数按按照照式式（（1-37））和和（（1-38））的的变变换换，，称称为为规范范变变换换，而而保保持持B和和E不不变变性性，，则则称称为为规范范不不变变性性。由于于存存在在这这一一规规范范不不变变性性，，所所以以对对应应于于一一组组B和和E的的值值，，可可以以有有无无穷穷多多组组A和和j的取取值值，，即即位位函函数数不不是是唯唯一一的的。。任意意性性可可以以导导致致随随意意规规定定，，要要采采用用规规范范对对A的的散散度度施加加约约束束条条件件。规范范的的选选择择原原则则：１））唯一一地确确定定相相应应的的位位函函数数值值，，２））可可简化化相应应的的位位函函数数方方程程。。通常常，，对对自自由由空空间间中中的的动动态态电电磁磁场场，，引引入入如如下下的的洛仑仑兹兹规规范范：由此此可可导导出出简简单单而而且且对对称称的的位位函函数数方方程程组组上两式式是分分别关关于动动态向向量位位A和和动态态标量量位j的非齐次次波动动方程程，常称称为达朗贝贝尔方方程。这两个个方程程和式式（1-39））（洛仑兹兹规范范）一起起构成成了与与MAXWELL方方程组组等价的一个个方程程组。。对于时谐电电磁场场，场空空间中中各场场点的的动态态位A(r,t)和和j(r,t)也也可分分别再再用复复相量量表示示为和和，，而相相应的的达朗朗贝尔尔方程程的相相量形形式就就成为为式中：：，，称为为相位位速度度；w为正弦弦激励励的角角频率率。1.6.2磁准静态态场中中的动态位位方程程对于磁磁准静静态场场，在在忽略位位移电电流的前提提下，，式（（1-39）即即成为为上式A的散散度是是施加加的约约束条条件，，被称称为库仑规规范。相应地地，式式（1-40））也就就简化化为但注意意，由由于此此时在在导电电媒质质内伴伴随有有涡流流与集集肤效效应，，因而而无从从预先先给定定截流流导体体内电电流密密度J的分分布。。换句句话说说，不可能依据据式（1-45）直直接求解动动态位A。。分析表明，，在导电媒媒质中流通通的电流都都遵从式（（1-7）），而其中中的电流密密度既应表表征由外源施加的的电流密度度Js，又应表征媒质质内感生的的涡流密度度Je，即代入式（1-36）），可得注意到在静静态极限情情况下上式式将归结为为，因此，可以以对式（1-47））中每一项项的物理意意义作出判判断，即动态标量位位j可看作为自自由电荷系系统（体、、面、线电电荷系统））所产生的的标量位场场，而动态向量位位A则与时变的的电流分布布相联系，，从而可选选择涡流密密度：在以上分析析基础上，，依据基本本方程（1-14）），结合关关系式（1-46））、（1-47），，可得描述述磁准静态场场的动态位方方程为上式兼容了了场域中可可能存在非线性媒质质的一般情情况。若场域中媒媒质为各向同性的的线性媒质质，则引入库库仑规范，，式（1-48）可可简化为对于正弦稳态条条件下的磁准静静态场，动动态位方程程（1-49）的相相量形式即即为解耦情况下下的动态标量位j在设定场空空间电荷密密度r=0的前提提下，应满满足拉普拉拉斯方程，，即1.6.3静态场场中的位函数方程程在静态电场场情况下，根据其基基本方程组组（1-19）、（（1-20），同理理可以定义义式中，标量位函数数j(r)称为为电位函数数。可导得等价价的位函数数方程即泊泊松方程在无电荷分分布的场域域中，位函函数j应满足拉普普拉斯方程程在静态磁场场情况下，根据其基基本方程组组（1-21）、（（1-22），同样样可定义向量磁位函函数A(r)，满足从而等价的的向量磁位位函数的双旋度方程程为若场域中媒媒质为各向同性的的线性媒质质，则计入库仑规范，式（1-56）可可简化为向向量形式的的泊松方程程在无电流区域域中，静态磁磁场的基本本方程（1-21））变成这样，就可可以引入标量磁位函函数jm(r)，而令显然，标量量磁位恒满满足拉普拉拉斯方程补充：（一）波方程的基基本解在均匀、各各向同性区区域，基本本解有平面面波、柱面面波、球面面波。基本术语：：等相面：在在同一时刻刻，空间波波动中相位位相同的点点连成的表表面；等幅面：在在同一时刻刻，空间波波动中振幅幅相同的点点连成的表表面；平面波：等等相面为平平面的波；；均匀平面波波：等相面面和等幅面面重合的平平面波；非均匀平面面波：等相相面与等幅幅面不重合合的平面波波；球面波：等等相面为球球面的波；；柱面波：等等相面为柱柱面的波。。平面波在均匀、各各向同性区区域，直角角坐标系中中的波方程程的基本解解为均匀平平面波。平面波的简简单表达式式为式中如略去时间间因子，即即用复矢量量表示，则则平面波电电场为由Maxwell方方程，可得得平面波磁磁场的表达达式相对于传播播方向，均均匀平面波波的电场、、磁场只有有横向分量量，因此称称为横电磁磁波或TEM波。散射问题常常用到角谱谱理想均匀平平面波只在在单一方向向传播，在在角度域只只有一条谱谱。复杂电磁波波可分解为为许多理想想平面波的的集合，表表示成平面面波角谱PWS（planewavespectrum）。。从数学上看看，每个平平面波都是是一个d函数。正如复杂时时间信号经经过Fourier变换可表表示为频谱谱一样，空空间场的平平面波谱概概念非常重重要。柱面波在无源区域域，赫兹位位的波方程程为可以证明有有产生简单理理想柱面波波的源为无无限长电流流线或磁流流线与平面波不不同，式中中电磁波传传播矢量的的方向k和和径向矢量量r的方向向处处相同同。因此球球面波因子子可表示为为球面波在球坐标下下，引用赫赫兹位或德德拜位，通通过球坐标标的波动方方程和分离离变量法可可得到球面面波的解。。一个点源天天线在远区区产生球面面波。设理想点源源处于球坐坐标的原点点，球面波波的基本解解可表示为为可见，电磁磁波的等幅幅面和等相相面重合，，它们分布布在r等于于常数的球球面上。根据能量守守恒定理，，随观察面面与理想点点源间距离离的增加，，场强的振振幅按1/r规律衰衰减。一般来说，，只要等相相面为球面面，电磁波波就是球面面波。实际天线不不是理想天天线，它们们都不能产产生理想均均匀球面波波。故A=A(q,f)是方位角角的函数，，即天线有有方向性。。（二）自由由空间中Maxwell方程程的解--波方程程解的导出出在洛仑兹规规范下，矢量位的矢矢量姆霍兹兹方程为标量位标量量姆霍兹方方程为在某些正交交坐标系下下，矢量姆姆霍兹方程程可简化为为标量姆霍霍兹方程（三个）而标量姆霍霍兹方程的的格林函数数为这里r’代代表源点位位置，r代代表场点位位置。因此有而标量位可可由洛仑兹兹规范得到到也可由标量量位姆霍兹兹方程得到到于是电场E也有两种种表达式：：注意这两种种表达式的的不同。前者的两个个D算子都都是对场点点r，即都都是作用在在格林函数数G上，导导致积分核核奇异点阶阶次很高。。然由于等等效源无需需被作用，，在某些条条件下如计计算远场，，能化简得得到简明的的表达式。。因而此表表达式一般般用于计算算远场。后者的两个个D算子，，一个对场场点r，作作用在格林林函数G上上；一个对对源点r’’，作用在在等效源上上，因而积积分核奇异异点阶次低低于前者，，一般用于于计算近场场。因此也可得得为简洁，引引入两个积积分微分算算子L、K，分别定定义为这样电磁场场E和H可可写成E=ZL(J);H=K(J)这里用相同的方方法或电磁磁对偶原理理可求出等等效磁流产产生的电磁磁场为H=L(J)/Z;E=-K(J)于是根据线线性叠加原原理，电流流和磁流共共同产生的的电磁场为为E=ZL(J)-K(J);H=L(J)/Z+K(J)（三）金属属体散射问问题积分方方程的建立立假设有一个个电磁波Ei、Hi照射到一个个边界为S的金属体体上，此金金属体自然然会产生散散射场。下面介绍如如何建立一一个积分方方程来求解解出散射场场。在S上应用用等效原理理的第一形形式可：散散射场可等等效为由S上的等效效源