第十一章时间序列

第十一章时间序列分析南京财经大学统计学系本章内容第一节时间序列的有关概念一、构成因素二、数学模型第二节时间序列的因素分析一、图形描述二、长期趋势分析三、季节变动分析四、循环变动分析第三节平稳时间序列分析一、平稳时间序列概述二、ARMA模型的识别三、模型参数的估计时间序列把某种现象发展变化的指标数值按一定时间顺序排列起来形成的数列，称为时间序列（数列），有时也称为动态数列。任何一个时间序列都具有两个基本要素：一是现象所属的时间、二是与时间所对应的指标值时间序列的构成要素长期趋势(longTrend)季节变动(SeasonalFluctuation)循环变动(CyclicalVariation)不规则变动(IrregularRandomVariation)时间序列的数学模型乘法模型：Y=T×S×C×I加法模型：Y=T+S+C+I图形描述

作图是显示统计数据基本变动规律最简单、最直观的方法，根据图我们可以识别：平稳时间序列非平稳时间序列仅包含长期趋势的时间序列既包含长期趋势、又包括季节变动的时间序列平稳时间序列非平稳时间序列仅包含长期趋势既包含长期趋势，又包含季节变动一、移动平均法法二、趋势线法长期趋势分分析移动平均法法移动平均法法例题图移动平均法法特点①移动平均均对原数列列有修匀作作用，平均均的时距数数越大，对对数列修匀匀作用越强强。②如果移动动奇数项，，则只需移移动一次，，且损失资资料N-1项；如果果移动偶数数项，则需需移动两次次，损失资资料为N项项。③当数列包包含季节变变动时，移移动平均时时距项数N应与季节节变动长度度一致。④适宜对数数据进行修修匀，但不不适宜进行行预测。图趋势线法例5注意：对时时间标号t的设定，，可以设为为1，2，，3……也也可以设为为对称情形形，如果序序列有奇数数项可设为为…，-3，-2，，-1，0，1，2，3，……如果序列有有偶数项可可设为…，，-5，-3，-1，1，3，5，……例6某某企业各年年份销售额额EXCEL(CH12-例例6课件））考虑如下问问题数据中是否否含趋势测定长期趋趋势线性方方程的系数数时刻序列列t为定义义-7,-6,…0,1…7预测1998年的销销售额一、季节变动及及其测定目目的二、季节变动分分析的原理理与方法三、季节变动的的调整季节变动分分析一、季节变变动及其测测定目的季节变动是是指客观现现象因受自自然因素或或社会因素素影响，而而形成的有有规律的周周期性变动动。季节变变动在现实实生活中经经常会遇到到，如商业业活动中的的“销售旺旺季”和““销售淡季季”、农产产品和以农农产品为原原料的某些些工业生产产的产量和和销售量、、旅游业的的“旅游旺旺季”和““旅游淡季季”，等等等。一、季节变变动及其测测定目的所谓季节变变动不仅仅仅是指随一一年中四季季而变动，，而是泛指指有规律的的、按一定定周期（年年、季、月月、周、日日）重复出出现的变化化。季节变变动的原因因通常与自自然条件有有关，同时时也可能是是由于生产产条件、节节假日、风风俗习惯等等社会经济济因素所致致。季节变变动常会给给人们的社社会经济生生活带来某某种影响，，如会影响响某些商品品的生产、、销售与库库存。一、季节变动动及其测定目目的我们测定季节节变动的意义义主要在于认认识规律、分分析过去、预预测未来。其其目的一是通通过分析与测测定过去的季季节变动规律律，为当前的的决策提供依依据；二是为为了对未来现现象季节变动动作出预测，，以便提前作作出合理的安安排：三是为为了当需要不不包含季节变变动因素的数数据时，能够够消除季节变变动对数列的的影响，以便便更好地分析析其他因素。。二、季节变动动分析的原理理与方法测定季节变动动的方法很多多，从是否考考虑长期趋势势的影响看可可分为两种：：一是不考虑虑长期趋势的的影响，根据据原始时间序序列直接去测测定季节变动动；二是根据据剔除长期趋趋势后的数据据测定季节变变动。原始资料平均均法趋势剔除法原始资料平均均法例题注意例6注意事项运用此方法的的基本假定是是原时间序列列没有明显的的长期趋势和和循环变动，，通过各年同同期数据的平平均，可以消消除不规则变变动，而且当当平均的期间间与循环周期期基本一致时时，也在一定定程度上消除除了循环波动动。当时间序序列存在明显显的长期趋势势时，会使季季节变动的分分析不准确，，如存在明显显的上升趋势势时，年末季季节变动指数数会远高于年年初季节变动动指数；当存存在明显的下下降趋势时，，年末的季节节指数会远低低于年初的季季节指数。所所以只有当数数列的长期趋趋势和循环变变动不明显时时，运用原始始资料平均法法才比较比轮轮合适。趋势剔除法如果数列包含含有明显的上上升（下降））趋势或循环环变动，为了了更准确地计计算季节指数数，就应当首首先设法从数数列中消除趋趋势因素，然然后再用平均均的方法消除除不规则变动动，从而较准准确地分解出出季节变动成成分。数列的的长期趋势可可用移动平均均法或趋势方方程拟合法测测定。操作步骤书上例题EXCEL操操作操作步骤—乘乘法模型例7三、季节变动动的调整例题例7一、循环变动及其其测定目的二、循环变动的测测定方法（一）直接法（二）剩余法循环变动分析析循环变动分析析-意义循环变动分析析—形式直接法剩余法操作步骤用移动平均法法，得到TC的估计，由由Y/TC,得到仅含季季节变动的序序列，计算季季节指数对原序列建立立趋势方程，，得趋势项T的估计值原始序列Y/TS得CI的数据对CI进行移移动平均得到到C的估计注：剔除趋势势求季节指数数，如果没有有特别要求就就先采用移动动平均法求其其趋势，然后后求季指回总目录回本章目录平稳时间序列列概述平稳时间序列列定义常见时间序列列模型严平稳回总目录回本章目录平稳时间序列列所谓平稳时间间序列，指如如果序列二二阶矩有限限,且满满足如下条件件：对任意整数为为常常数；对任意整数自自协协方差函数仅仅与时间间隔隔有有关，和起止止时刻无无关。即即则称序列为为宽宽平稳（或协协方差平稳，，二阶矩平稳稳）序列当时时，自协协方差函数就就是方差回总目录回本章目录平稳序列图形上来看就就是：(1)序列围围绕常数的长长期均值波动动，称为是均均值回复(MeaningReversion)(2)在每一一时刻，方差差对均值的偏偏离基本相同同，波动程度度大致相等。。回总目目录回本章章目录录最简单单的宽宽平稳稳序列列是白白噪声声，常常记为为，，它它是是构成成其他他序列列的基基石，，一般般白噪噪声的的定义义如下下：对任意意对任意意对不同同的时时刻自回归归模型型（AR：：Auto-regressive））；滑动平平均模模型（（MA：Moving-Average））；自回归归滑动动平均均模型型（ARMA：：Auto-regressiveMoving-Average）。。回总目目录回本章章目录录常见时间序序列模型P阶自回归归模型AR(P)模模型回总目录回本章目录录其中称称为自回回归系数，，为为白噪声序序列上式称为是是p阶自回回归模型，，简记为AR(p)当满满足一定定条件时，，序列是平平稳的零均值时间间序列满满足足如下形式式q阶滑动平平均模型MA(q)模型回总目录回本章目录录其中称称为滑动动平均系数数，为为白噪声声序列上式称为是是q阶滑动动平均模型型，简记为为MA(q)当阶数q有有限时，序序列是平稳稳的零均值时间间序列满满足足如下形式式自回归滑动动平均模型型(ARMA)模型型回总目录回本章目录录其中称称为自回回归系数，，称称为滑滑动平均系系数，为为白噪声声序列上式称为是是p阶自回回归模型－－q阶滑动动平均模型型，简记为为AMMA(p,q).当p=0,AMMA(p,q)－－MA(q)一般ARMA模型的的数学形式式为当满满足一定定条件时，，序列是平平稳的.从从以上定义义中可以看看出,AR模型和MA模型即即为ARMA模型的的特例当q=0,AMMA(p,q)－－MA(p)回总目录回本章目录录ARMA模模型的识别别相关函数定定阶法信息准则定定阶法严平稳回总目录回本章目录录相关函数定定阶法采用ARMA模型对对现有的数数据进行建建模，首要要的问题是是确定模型型的阶数，，即相应的的p,q的的值，对于于ARMA模型的识识别主要是是通过序列列的自相关关函数以及及偏自相关关函数进行行的。序列的自相相关函数度度量了与与之之间的的线性相关关程度，用用表表示，，定义如下下其中表表示序列列的方差回总目录回本章目录录自相关函数数刻画的是是与之间的的线性相关关程度，而而有时候与与之之间之所以以存在相关关关系，可可能是因为为和分别与与它们的中中间部分之之间存在关关系，如果果在给定的的前提提下，对和和之之间的条件件相关关系系进行刻画画，则要通通过偏自相相关函数进进行，所谓谓偏自相关关函数的可可由下面的的递推公式式得到：回总目录回本章目录录对于三类模模型AR,MA,ARMA，它们们各自的自自相关函数数以及偏自自相关函数数特点如下下表所示（（具体推导导可参阅相相关时间序序列分析书书籍）这里的拖尾尾指模型自自相关函数数或偏自相相关函数随随着时滞的的增加呈现现指数衰减减并趋于零零，而截尾尾则是指模模型的自相相关函数或或偏自相关关函数在某某步之后全全部为零。。序列的自自相关函数数和偏自相相关函数所所呈现出的的这些性质质可用于模模型的识别别回总目录回本章目录录回总目录回本章目录录实际中我们们所接触到到的往往是是来自序列列的一组样样本，我们们所计算的的也只能是是样本的偏偏自相关函函数或样本本自相关函函数，分别别记为和和.样本本自相关函函数最常用用的估计方方法如下（（关于样本本偏自相关关函数在在后后面给出））回总目录回本章目录录(1)相关关函数，偏偏自相关函函数定阶法法(2)最优优信息准则则定阶法AIC准则则模型参数的的定阶ARMA模模型的定阶阶，参数估估计主要方法有有:理论上讲，，对于AR(p)序序列的偏自自相关函数数是p步截截尾的，但但实际中我我们所接触触到的往往往是来自序序列的一组组样本，我我们所计算算的也只能能是样本的的偏自相关关函数，由由于样本的的随机性，，此时计算算所得的样样本偏自相相关函数不不可能是步步截尾的，，而是呈现现在零附近近波动，所所以要考虑虑的是样本本偏自相关关函数的统统计性质.下面给出有有关样本偏偏自相关函函数和样本本自相关函函数的统计计性质。根据正态分布布的性质，当当n充分大时时，有由此可知类似的，当n充分大时，，有AR(p),MA(q),ARMA(p,q)的自相关系数数，偏自相关系数数的特点：回总目录回本章目录MA(q)AR(p)ARMA(p,q)自相关函数q步截尾拖尾拖尾偏自相关函数拖尾p步截尾拖尾这是后面序列列定阶时常用用到的性质回总目录回本章目录最优信息准则则定阶法AIC准则如果采用ARMA(m,n)模型对序列进行拟合，得到序列的残差方差为，序列的均值也是未知的，此时模型的待估参数个数为m+n+1,定义AIC为：选择不同的m,n对序序列进行拟合合，计算相应应的AIC的的值，然后改改变模型的阶阶数，选择使使得上式最小小的m,n作为相应的的阶数N为观测值的的个数回总目录回本章目录主要方法有:(1)矩估计计,也是一种种点估计,这这种估计方法法简单但比较较粗略,ARMA模型型的参数估计计结果,主要要是通过自相相关函数满足足的关系式得得到的.教材材中介绍了AR模型的估估计,ARMA,MA模模型的参数估估计结果可参参见-----王振龙<时间序列分分析>(2)极大似似然估计,最最小二乘估计计,其理论推推导比较复杂杂,在相关软软件中都可以以直接实现.模型参数的估估计参数估计9、静夜四无邻邻，荒居旧业业贫。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、雨中中黄叶叶树，，灯下下白头头人。。。13:43:5713:43:5713:431/1/20231:43:57PM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。1月月-2313:4312、故人江海别，几度隔山川。。07:20:3807:20:3807:20Thursday,January19,202313、乍见翻疑梦，相悲各问年。。1月-231月-2307:20:3807:20:38January19,202314、他乡生白发，旧国见青山。。19一月20237:20:38上午07:20:381月-2315、比不了得就不比，得不到的就不要。。。一月237:20上午1月-2307:20January19,202316、行动出成果，工作出财富。。2023/1/197:20:3807:20:3819January202317、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。。7:20:38上午7:20上午07:20:381月-239、没有失败，只有暂时停止成功！。1月-231月-23Thursday,January19,202310、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。。07:20:3807:20:3807:201/19/20237:20:38AM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。。1月-2307:20:3807:20Jan-2319-Jan-2312、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。。07:20:3807:20:3807:20Thursday,January19,202313、不知香积寺，数里入云峰。。1月-231月-2307:20:3807:20:38January19,202314、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。19一月20237:20:38上午07:20:381月-2315、楚塞三湘接，荆门九派通。。。一月237:20上午1月-2307:20January19,202316、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。。2023/1/197:20:3807:20:3819January202317