时间序列的平稳性和单位根检验

§8.1时间序列平稳性和单位根检验

StationaryTimeSerialandUnitRootTest一、时间序列的平稳性二、单整序列三、单位根检验经典时间序列分析模型：包括MA、AR、ARMA模型平稳时间序列模型分析时间序列自身的变化规律现代时间序列分析模型：分析时间序列之间的结构关系单位根检验、协整检验是核心内容现代宏观计量经济学的主要内容一、时间序列的平稳性

StationaryTimeSeries⒈问题的提出经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据（time-seriesdata)；截面数据(cross-sectionaldata)平行/面板数据（paneldata/time-seriescross-sectiondata)

时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致性”要求——被破怀。数据非平稳，往往导致出现“虚假回归”（SpuriousRegression）问题。表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性。例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。2、平稳性的定义假定某个时间序列是由某一随机过程（stochasticprocess）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1,2,…）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：

均值E(Xt)=是与时间t无关的常数；

方差Var(Xt)=2是与时间t无关的常数；

协方差Cov(Xt,Xt+k)=k

是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationarystochasticprocess）。宽平稳、广义平稳白噪声（whitenoise）过程是平稳的：

Xt=t

，t~N(0,2)随机游走（randomwalk）过程是非平稳的：

Xt=Xt-1+t，t~N(0,2)Var(Xt)=t2随机游走的一阶差分（firstdifference）是平稳的：Xt=Xt-Xt-1=t，t~N(0,2)如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。二、平稳性的图示判断说明本节的概念是重要的，属于经典时间序列分析。在实际应用研究中，一般直接采用单位根检验，图示判断应用较少。建议作为自学内容。三、平稳性的单位根检验

（unitroottest）1、DF检验（Dicky-FullerTest）通过上式判判断Xt是否有单位位根,就是时间序序列平稳性性的单位根检验验。随机游走，，非平稳对该式回归归，如果确确实发现ρ=1，则称随机机变量Xt有一个单位根。等价于通过过该式判断断是否存在在δ=0。一般检验模模型零假设H0：=0备择假设H1：<0可通过OLS法下的t检验完成。。但是，在零零假设（序序列非平稳稳）下，即即使在大样样本下t统计量也是是有偏误的的（向下偏偏倚），通通常的t检验无法使使用。Dicky和Fuller于1976年提出了这这一情形下下t统计量服从从的分布（（这时的t统计量称为为统计量），即DF分布。由于t统计量的向向下偏倚性性，它呈现现围绕小于于零均值的的偏态分布布。如果t<临界值，则则拒绝零假假设H0：=0，认为时间间序列不存存在单位根根，是平稳稳的。单尾检验2、ADF检验（AugmentDickey-Fullertest）为什么将DF检验扩展为为ADF检验？DF检验假定时时间序列是是由具有白白噪声随机机误差项的的一阶自回回归过程AR(1)生成的。但但在实际检检验中，时时间序列可可能由更高高阶的自回回归过程生生成，或者者随机误差差项并非是是白噪声，，用OLS法进行估计计均会表现现出随机误误差项出现现自相关，，导致DF检验无效。。如果时间序序列含有明明显的随时时间变化的的某种趋势势（如上升升或下降）），也容易易导致DF检验中的自自相关随机机误差项问问题。ADF检验模型零假设H0：=0备择假设H1：<0模型1模型2模型3检验过程实际检验时时从模型3开始，然后后模型2、模型1。何时检验拒拒绝零假设设，即原序序列不存在在单位根，，为平稳序序列，何时时停止检验验。否则，就要要继续检验验，直到检检验完模型型1为止。检验原理与DF检验相同，，只是对模模型1、2、3进行检验时时，有各自自相应的临临界值表。。检验模型滞滞后项阶数数的确定：：以随机项不不存在序列列相关为准准则。一个简单的的检验过程程：同时估计出出上述三个个模型的适适当形式，，然后通过过ADF临界值表检检验零假设设H0：=0。只要其中有有一个模型型的检验结结果拒绝了了零假设，，就可以认认为时间序序列是平稳稳的；当三个模型型的检验结结果都不能能拒绝零假假设时，则则认为时间间序列是非非平稳的。。3、例：检验验1978-2000年间中国支支出法GDP时间序列的的平稳性例检验1978~2006年间中国实实际支出法法国内生产产总值GDPC时间序列的的平稳性。。下面演示的的是检验1978~2000年间中国支支出法国内内生产总值值GDPC时间序列的的平稳性。。方法原理和和过程是一一样的，例例可以作为同同学的练习习。首先检验模模型3，经过偿试试，模型3取2阶滞后：需进一步检检验模型2。LM（1）=0.92，LM（2）=4.16系数的t>临界值，不不能拒绝存存在单位根根的零假设设。时间T的t统计量小于于ADF临界值，因因此不能拒绝不不存在趋势势项的零假假设。小于5%显著性水平平下自由度度分别为1与2的2分布的临界界值，可见见不存在自自相关性，，因此该模模型的设定定是正确的的。检验模型2，经试验，，模型2中滞后项取取2阶：常数项的t统计量小于于AFD分布表中的的临界值，，不能拒绝不不存常数项项的零假设设。LM检验表明模模型残差不不存在自相相关性，因因此该模型型的设定是是正确的。。GDPt-1参数值的的t统计量为为正值，，大于临临界值，，不能拒绝绝存在单单位根的的零假设设。需进一步步检验模模型1。检验模型型1，经试验验，模型型1中滞后项项取2阶：GDPt-1参数值的的t统计量为为正值，，大于临临界值，，不能拒绝绝存在单单位根的的零假设设。LM检验表明明模型残残差项不不存在自自相关性性，因此此模型的的设定是是正确的的。可断定中中国支出出法GDP时间序列列是非平平稳的。。ADF检验在Eviews中的实现现ADF检验在Eviews中的实现现ADF检验在Eviews中的实现现—检验GDPPADF检验在Eviews中的实现现—检验GDPP从GDPP(-1)的参数值值看，其其t统计量的的值大于于临界值值，不能能拒绝存存在单位位根的零零假设。。同时，，由于时时间项T的t统计量也也小于ADF分布表中中的临界界值，因因此不能能拒绝不不存在趋趋势项的的零假设设。需进进一步检检验模型型2。ADF检验在Eviews中的实现现—检验GDPPADF检验在Eviews中的实现现—检验GDPP从GDPP(-1)的参数值值看，其其t统计量的的值大于于临界值值，不能能拒绝存存在单位位根的零零假设。。同时，，由于常常数项的的t统计量也也小于ADF分布表中中的临界界值，因因此不能能拒绝不不存在趋趋势项的的零假设设。需进进一步检检验模型型1。ADF检验在Eviews中的实现现—检验GDPPADF检验在Eviews中的实现现—GDPP从GDPP(-1)的参数值值看，其其t统计量的的值大于于临界值值，不ADF检验在Eviews中的实现现—检验△GDPP从△GDPP(-1)的参数值值看，其其t统计量的的值大于于临界值值，不能能拒绝存存在单位位根的零零假设。。同时，，由于时时间项项项T的t统计量也也小于AFD分布表中中的临界界值，因因此不能能拒绝不不存在趋趋势项的的零假设设。需进进一步检检验模型型2。在1%置信度下下。从△GDPP(-1)的参数值值看，其其统计量量的值大大于临界界值，不不能拒绝绝存在单单位根的的零假设设。同时时，由于于常数项项的t统计量也也小于AFD分布表中中的临界界值，因因此不能能拒绝不不存在趋趋势项的的零假设设。需进进一步检检验模型型1。从△GDPP(-1)的参数值值看，其其统计量量的值大大于临界界值，不不能拒绝绝存在单单位根的的零假设设。至此此，可断断定△GDPP时间序列列是非平平稳的。。ADF检验在Eviews中的实现现—检验△2GDPP从△2GDPP(-1)的参数值值看，其其统计量量的值小小于临界界值，拒拒绝存在在单位根根的零假假设。至至此，可可断定△△2GDPP时间序列列是平稳稳的。GDPP是I(2)过程。*4、平稳性性检验的的其它方方法PP检验（Phillips-Perron）检验模型型中不引引入滞后后项，以以避免自自由度损损失降低低检验效效力。直接采用用Newey-West一致估计计式作为为调整因因子，修修正一阶阶自回归归模型得得出的统统计量。。一种非参参数检验验方法霍尔工具具变量方方法用工具变变量法估估计ADF检验模型型。用Xt-k和ΔXt-i-k作为yt-1和ΔXt-i的工具变量量。检验统计量量仍然服从从ADF分布。DF-GLS方法（Elliott,Rothenberg,Stock,ERS）去势（趋势势、均值））。对去势后的的序列进行行ADF型检验。采用GLS估计检验模模型。证明具有更更良好的性性质。KPSS方法（Kwiatkowski,Philips,Schmidt,Shin）检验趋势平平稳非参数检验验方法其它方法LMC(Leybourne,McCabe)Ng-PerronEviews中提供的检检验方法Eviews中提供的滞滞后阶数选选择四、单整、、趋势平稳稳与差分平平稳1、单整（integratedSerial）如果一个时时间序列经经过一次差差分变成平平稳的，就就称原序列列是一阶单整（（integratedof1）序列，记为I(1)。一般地，如如果一个时时间序列经经过d次差分后变变成平稳序序列，则称称原序列是是d阶单整（integratedofd）序列，记为I(d)。例如上述人人均GDP序列，即为为I(2)序列。I(0)代表一平稳稳时间序列列。现实经济生生活中只有有少数经济济指标的时时间序列表表现为平稳稳的，如利利率等;大多数指标标的时间序序列是非平平稳的，例例如，以当当年价表示示的消费额额、收入等等常是2阶单整的，，以不变价价格表示的的消费额、、收入等常常表现为1阶单整。大多数非平平稳的时间间序列一般般可通过一一次或多次次差分的形形式变为平平稳的。但也有一些些时间序列列，无论经经过多少次次差分，都都不能变为为平稳的。。这种序列列被称为非单整的（（non-integrated）。2、趋势平稳稳与差分平平稳随机过过程含有一阶自自回归的随随机过程：：如果ρ=1，β=0，Xt成为一带位位移的随机机游走过程程。根据α的正负，Xt表现出明显显的上升或或下降趋势势。这种趋趋势称为随机性趋势势（stochastictrend）。如果ρ=0，β≠0，Xt成为一带时时间趋势的的随机变化化过程。根根据β的正负，Xt表现出明显显的上升或或下降趋势势。这种趋趋势称为确定性趋势势（deterministictrend）。如果ρ=1，β≠0，则Xt包含有确定定性与随机机性两种趋趋势。判断一个非非平稳时间间序列的趋趋势是随机机性的还是是确定性的的，可通过过ADF检验中所用用的第3个模型进行行。该模型中已已引入了表表示确定性性趋势的时时间变量，，即分离出出了确定性性趋势的影影响。如果检验结结果表明所所给时间序序列有单位位根，且时时间变量前前的参数显显著为零，，则该序列列显示出随随机性趋势势；如果没有单单位根，且且时间变量量前的参数数显著地异异于零，则则该序列显显示出确定定性趋势。。差分平稳过过程和趋势势平稳过程程具有随机性性趋势的时时间序列通通过差分的的方法消除除随机性趋趋势。该时时间序列称称为差分平稳过过程（differencestationaryprocess）；具有确定性性趋势的时时间序列通通过除去趋趋势项消除除确定性趋趋势。该时时间序列称称为趋势平稳过过程（trendstationaryprocess）。9、静夜夜四无无邻，，荒居居旧业业贫。。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、雨中黄黄叶树，，灯下白白头人。。。21:03:3521:03:3521:031/1/20239:03:35PM11、以我我独沈沈久，，愧君君相见见频。。。1月-2321:03:3521:03Jan-2301-Jan-2312、故人江江海别，，几度隔隔山川。。。21:03:3521:03:3521:03Sunday,January1,202313、乍乍见见翻翻疑疑梦梦，，相相悲悲各各问问年年。。。。1月月-231月月-2321:03:3521:03:35January1,202314、他乡乡生白白发，，旧国国见青青山。。。01一一月月20239:03:35下下午21:03:351月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月239:03下下午1月-2321:03January1,202316、行动出成果果，工作出财财富。。2023/1/121:03:3521:03:3501January202317、做做前前，，能能够够环环视视四四周周；；做做时时，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿着着以以脚脚为为起起点点的的射射线线向向前前。。。。9:03:35下下午午9:03下下午午21:03:351月月-239、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。1月-231月-23Sunday,January1,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有结结果果，，但但是是不不努努力力却却什什么么改改变变也也没没有有。。。。21:03:3521:03:3521:031/1/20239:03:35PM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。1月-2321:03:3521:03Jan-2301-Jan-2312、世间成事事，不求其其绝对圆满满，留一份份不足，可可得无限完完美。。21:03:3521:03:3521:03Sunday,January1,202313、不知香积寺寺，数里入云云峰。。1月-231月-2321:03:3521:03:35January1,202314、意意志志坚坚强强的的人人能能把把世世界界放放在在手手中中像像泥泥块块一一样样任任意意揉揉捏捏。。01一一月月20239:03:35下下午午21:03:351月月-2315、楚塞三三湘接，，荆门九九派通。。。。一月239:03下午午1月-2321:03January1,202316、少年十五二二十时，步行行夺得胡马骑骑。。2023/1/121:03:3521:03:3501January202317、空山新雨雨后，天气气晚来秋。。。9:03:35下下午9:03下下午21:03:351月-239、杨杨柳柳散散和和风风，，青青山