课件汇总附案例-3.0建模创新思维方法

1.3建模创新思维方法现实世界数学世界建立数学模型翻译为实际解答始于现实世界并终于现实世界一、概论数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，怎样构架这座桥梁？数学建模过程分为若干有明显差别的阶段性工作

求解数学模型

实际问题分析建立数学模型提交论文与报告

模型及模型解的分析及检验

此流程具有指导意义，应注意

*流程应用是弹性的，切不能生搬硬套.*建模过程往往是一个反复循环的过程.*数学建模没有普遍适用的方法与技巧.

*数学建模与问题性质、建模目的以及建模工作者自身的数学基础知识和专长有关.*有一些普遍适用的思想方法与思维方式.

数学建模过程是一种创新过程，在思考方法和思维方式上与其他数学课程有较大差别.重要的科学思维方式之一是创新思维,创新思维是创新能力的核心与灵魂.数学创新思维…….等等.类比思维归纳思维逆向思维发散思维猜测思维直觉思维数学家拉普拉斯指出：“在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比.类比思维:类比是根据两个或多个对象内部属性、关系等某些问题的相似性，而推出他们在其他方面也可能相似的一种推理思维形式，是数学探索中常用的一种创新思维方法归纳思维从众多的事物和记录中找出共性和本质属性的抽象化思维.对众多个别事物的经验认识的基础上发现其规律，并总结出原理，从观察一类事物的部分对象具有某一属性,而归纳出该类事物都具有这一属性的推理方法直觉思维是根据某些已知的事实和知识对研究的问题提出合理的猜想或突然领悟的思维过程，通常包括直觉、灵感、潜意识等非逻辑的思维活动.

直觉思维是通过背景材料提出猜想的一种途径，是创造性思维不可缺少的一部分.直觉和猜测思维:发散思维是一种不依常规、不受约束，充分展现联想和想象的思维.发散思维是一种开放性的立体思维，即围绕某一问题沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决问题的多种方案.介绍几种数学建模工作各环节用到的创造性思维方法：问题解决法、思想表达法等.对于创造能力的培养不可或缺方法的共同特点:

不轻易否定别人的意见，怀疑一般常识，努力发现别人尚未察觉的事物等.1．小组群体思维类似于现代科研工作，数学建模活动是群体的合作活动.*传统教育模式使学生,善于独立思考，却拙于交流、与人合作.

*数学建模是一种集体创新过程,需要一种集体创新思维方式.*在合作过程中缺乏相互理解、相互协调、相互交流、从而集思广益的意识及能力.

集体思考法(BrainStorming，简称BS法)

是一种较好的集体创新思维方式为使合作者互相启发,互相学习,发挥特长.

良好合作的要素：需要、提倡、避免.需要：相互尊重、平等相待.

提倡：积极思考、学会倾听、善于表达、勇于争辩、懂得妥协.避免：武断评价、回避责任、孤高自傲、丧失信心.突破问题的灵感与思想的火花往往产生于激烈的争论之中

2．发散性思维方法面对新问题，应尽量打开自己的思路：

发散性思维和猜测思维是创造性思维方式的重要组成部分1.不要轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论.

2.

尽量多一些想法，多一些猜测.思考、思考、再思考.帮助展开思路的方法：

②

关键词联想法①提问题法①提问题法

面临难题,束手无策时通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案.借助于一系列问题来展开思路如：

(l)这个问题和什么问题有类似之处？(2)假如变动问题的某些条件将会怎样？(4)重新组合又会怎样？(3)将问题分解成若干部分再考虑会怎样？为进一步打开思路可提以下问题：

(5)我们还可以做什么工作？(6)有无需要进一步完善的内容？(7)可否换一种数学工具来解决此问题？

针对问题和初始方案可以先设计出类似的问题清单，然后反复展开.

例1.3.1穿越公路模型（P23实例七）

一条马路交通不太拥挤,以致人们养成“冲”过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“斑马线”.当地交通管理部门不允许任意横穿公路,为方便行人，准备在一些特殊地点增设一批“斑马线”,让行人可穿越马路,并且还要保证行人的平均等待时间不超过15秒.1.考虑问题的立场,司机或行人的哪方面的利益更为重要？2.公路情况:是否有弯道？车道间是否设有安全隔离带？……3.车流情况:车流的密度大小？4.行人情况:穿越公路的速度大小？穿越公路的人群密度？穿越公路者的性质？增设“斑马线”需考虑哪些方面的问题？

问题分析此问题的特点是机理复杂,受到较多随机因素的影响.类似渡口模型可采用统计模拟方法加以解决.

一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，比如不惜血本大做广告等等.他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数,厂家用于组织生产，商家便于安排进货.例1.3.2新产品销售模型

怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭煲)推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生产.想一想

此问题与我们遇到的哪一个建模问题相类似？重新分析Logistic人口模型,t

时刻的人口数为改写为

数学分析1.若

r＜0,则S＜0,随着,有2.若

r＞0,讨论Logistic曲线特征，有N(t)是单调上升函数.

K是使得人口净增长率r(K)=0的人口数，可理解为该地区能容纳的人口上限.t00N0KK/2

人口不会无限增长，存在一个转折时间点t0

，过此点以后增长速度会减缓.

(1)一般每户只需用1～2只电饭煲就足够,一个地区的需求量是有限的；

电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可利用类比方法建立模型.Logistic模型特点初期高速增长，过一个特定时间点后增长速度减缓，且有上界控制.对电饭煲销售问题的分析：(2)初期在广告之类推销作用下销售速度较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓.

记x(t)为t时刻已售出的电饭煲总数,市场的饱和量(最大需求量)为M,利用Logistic模型来描述电饭煲的销售速度变化情况.实际情况与Logistic销售曲线十分吻合.

当销售量小于最大需求量的一半时，销售速度增长很快，产品最为畅销,其后销售速度将开始下降.

结论新产品取得较高的经济效益应采取的措施(1)初期采取小批量生产并加以广告宣传；(2)销售量处于最大需求量的20%～80%时，是该产品正式大批量生产的较适合时期；(3)当销售量超过最大需求量的80%，应考虑适时转产.讨论

现实中哪些变量的变化可用Logistic模

型进行描述？

现代化都市里大楼林立,这些拔地而起的摩天大楼安全性不容忽视,我们经常耳闻目睹大楼内发生意外情况,造成令人震惊的人员伤亡和财产损失.

大楼内居住人员的安全保障在于无论发生什么情况,都能使人员有组织,有秩序地进行疏散撤离.

一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散人员的演习.例1.3.3“9.11”事件的反思

问题分析

演习之前需要考虑许多方面,如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离路线的设计、撤离的步骤等等,这是一个较庞大的系统工程.(见P16

实例3疏散模型).可考虑将此问题分解成为若干个子问题，如*一个房间内人员的撤离；*一个通道的撤离；*一层楼人员的撤离；……最后,将各个子问题重新组合起来.小型飞机内舱练习题大中小三类飞机旅客上机流程设计中型飞机内舱大型飞机内舱②关键词联想法主要步骤如下：(1)抓住问题或方案的关键词,不受任何约束地进行联想；(2)把联想到的内容用关键词的方式登记在卡片上,进一步激发产生新的想法,进一步想出新的主意；(3)再把积攒的卡片相互搭配,形成解决问题的初步思路与步骤.有效的发散思维方式

例3.1.4

一个飞行管理问题

在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行.区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞.现假定条件如下：……请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度).要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.记录数据为：……

试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广.飞行管理问题

*对问题仔细阅读,首先抓住题目中的关键词“管理”进行联想.

*

抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞”、“立即”、“判断”等等词语.

*联系解决问题的方案,不加约束继续联想，再将关键词搭配起来.

立即判断

碰撞

条件

实时

算法

避免碰撞

调整方向角

实时

幅度尽量小

相对距离优化问题优化算法优化调整方案问题的初步理解及把握:

飞行管理问题是优化问题,在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性.

作业题1.网上查找全国大学生数学建模竞赛B题“2010年上海世博会影响力的定量评估”,需给出网址.2.用关键词联想法分析题目,形成对问题的初步理解和解决问题的思路.2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会.从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台.请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力.2010年上海世博会影响力的定量评估有两种把握住问题的全貌的有效方法：

(1)层次结构法

(2)问题分解法

有专著介绍

问题分解法是一种简单而有效的把握问题整体的方法.③整体把握问题的方法将问题分解为“三要素”的三个部分.

问题分解三要素

初态

目标态

过程

觉察到的现在状态(目前“有什么”，如条件、数据等).

觉察到的希望目标(想要什么、希望达到什么等).

能在“初态”和“目标态”之间发生作用的行动(能做什么).例1常见数学题目模式

已知求（证）解题初态目标态过程教师的主要教学目标

*解决实际问题时，分析出问题的初态和目标态很困难.

*未清晰地描述出问题的“初态”和“