南京市高二(上)期末数学试卷(解析版)(理科)

高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．抛物线y2=4x的焦点坐标为．2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．3．双曲线﹣=1的渐近线方程是．4．“x＞1”是“x2＞1”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．过点（1，1）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为．6．函数f（x）=xex的最小值是．7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，则a=．8．过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是．9．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．10．过点A（0，2）且与圆（x+3）2+（y+3）2=18切于原点的圆的方程是．11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为．12．已知函数f（x）满足f（1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是．13．如图，过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率是．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（14分）命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．17．（14分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．（1）求△ABC外接圆E的方程；（2）若直线l经过点（0，4），且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l的方程；（3）在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），椭圆上顶点为A，过点A作圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C（不同于点A），设直线AB，AC的斜率分别为kAB，KAC．（1）求椭圆的标准方程；（2）求kAB•kAC的值；（3）试问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a为实数，e为自然对数的底数．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）的极大值为﹣2，求实数a的值；（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3．双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：双曲线，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，故答案为y=±．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，本题的关键是求出a、b的值，要注意双曲线在x轴还是y轴上，是基础题．4．“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量相等的定义是解决本题的关键．5．过点（1，1）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为2x﹣y﹣1=0．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，代点求c值可得．【解答】解：由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，由直线过点（1，1）可得2×1﹣1+c=0，解得c=﹣1，∴所求直线方程为2x﹣y﹣1=0，故答案为：2x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．6．函数f（x）=xex的最小值是﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最小值．【解答】解：求导函数，可得y′=ex+xex，令y′=0可得x=﹣1令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，+∞）上单调增∴x=﹣1时，函数y=xex取得最小值，最小值是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，属于基础题．7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，则a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线相互垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：当a=0或a=1时，不满足条件，舍去．两条直线的斜率分别为：，．∴l1⊥l2，∴k1k2==﹣1，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件，属于基础题．8．过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是x﹣2y=0．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】过点A（2，1）且与点B（1，3）距离最大的直线l满足：l⊥AB．则kl•kAB=﹣1，即可得出．【解答】解：过点A（2，1）且与点B（1，3）距离最大的直线l满足：l⊥AB．∴kl•kAB=﹣1，∴kl=．∴直线l的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为x﹣2y=0．故答案为：x﹣2y=0．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，∴圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，则圆锥的高h=2×sin60°=．【点评】考查了学生的空间想象力．10．过点A（0，2）且与圆（x+3）2+（y+3）2=18切于原点的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M（a，a），又所求的圆过点A（0，2），可得圆心M还在直线y=1上，故M（1，1），求得半径AM的值，可得要求的圆的方程．【解答】解：圆C：（x+3）2+（y+3）2=18的圆心C（﹣3，﹣3）．根据两圆相切于原点，设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M（a，a），又所求的圆过点A（0，2），故圆心M还在直线y=1上，故M（1，1），半径为AM=，故要求的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，两圆相切的性质，属于中档题．11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出棱锥的高，则顶点在底面的射影为底面中心，利用正方形的性质可求出底面中心到底面顶点的距离，借助勾股定理求出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：取底面中心O，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SO，AO，∵四棱锥S﹣ABCD为正四棱锥，∴SO⊥平面ABCD，∵AO⊂平面ABCD，∴SO⊥AO．∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AE=AB=1，∠OAE=∠BAD=45°，∴OE=AE=1，∵OE2+AE2=AO2，∴AO=，∵SA=，∴SO==1．V=•SABCD•SO=•22•1=．故答案为．【点评】本题考查了正三棱锥的结构特征和体积计算，属于基础题．12．已知函数f（x）满足f（1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】题目给出的函数f（x）为抽象函数，没法代式求解不等式f（x）＞x，结合题目给出了对任意x∈R，f′（x）＞1这一条件，想到借助于辅助函数解决，令令g（x）=f（x）﹣x，然后分析g（x）在实数集上的单调性，又f（1）=1，可求出g（1）=0，最后用g（x）与0的关系求解不等式f（x）＞x的解集．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x，则，g′（x）=f′（x）﹣1，∵f′（x）＞1，∴g′（x）＞0，所以函数g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，又g（1）=f（1）﹣1=0，则由g（x）＞0，得g（x）＞g（1），即x＞1，∴f（x）﹣x＞0的解集为（1，+∞），也就是f（x）＞x的解集为（1，+∞）故答案为：（1，+∞）．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，解答此题的关键是引入辅助函数g（x）．13．如图，过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可．【解答】解：∵△AOP是等腰三角形，A（﹣a，0）∴P（0，a）．设Q（x0，y0），∵=2，∴（x0，y0﹣a）=2（﹣a﹣x0，﹣y0）．∴，解得．代入椭圆方程得+=1，化为=．∴e===．故答案：【点评】熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则实数a的取值范围是∅．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数图象，令f（f（x）﹣2a）=0⇒f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，⇒f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，由函数函数f（x）=的值域为R，可得f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一个零点，要使函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，必满足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一个零点．【解答】解：函数y=的定义域是（0，+∞），令y′＞0，解得：0＜x＜e，令y′＜0，解得：x＞e，故函数y=在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故x=e时，函数y=取得最大值，最大值是，函数y=x2﹣4（x≤0）是抛物线的一部分．∴函数f（x）=的图象如下：令y=f（f（x）﹣2a）=0⇒f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，⇒f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，∵函数函数f（x）=的值域为R，∴f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一个零点，函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则必满足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一个零点．∵2a+1＞2a﹣3，∴2a﹣2＜﹣4且2a+1＞⇒a∈∅，故答案为∅【点评】本题考查了利用数形结合的思想求解函数的零点问题，同时也考查了函数的单调性及分类讨论思想，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（14分）（2016秋•淮安期末）命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，解出a的范围，可判断命题p的真假；（2）若命题“p且q“为真命题，则命题p，命题q均为真命题，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，故△=4a2﹣12a≤0，解得：a∈[0，3]，故当a=1时，命题p为真命题；（2）若命题q：方程+=1表示双曲线为真命题，则（a+2）（a﹣2）＜0．解得：a∈（﹣2，2），若命题“p且q“为真命题，则命题p，命题q均为真命题，故a∈[0，2）．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，导数法研究函数的单调性，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．16．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE∥平面FAC1，即B1C∥平面FAC1（2）只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．【解答】解：（1）证明：如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，∵F为A1B1的中点，∴C1F∥CE，AF∥B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，∴面B1CE∥平面FAC1，∵B1C⊂B1CE，∴B1C∥平面FAC1（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F⊂面A1C1B1，∴A1A⊥C1F，∵AC=BC，F为A1B1的中点，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．【点评】本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．17．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】（1）设BC=x，求出AB，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）用x表示出圆柱的底面半径，得出体积V（x）关于x的函数，判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值．【解答】解：（1）连接OC，设BC=x，则y=2，（其中0＜x＜30），（2）设圆柱底面半径为r，高为x，则AB=2=2πr，解得r=，∴V=πr2h=（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；∴V′=（900﹣3x2），令V′（x）=0，得x=10；因此V（x）=（900x﹣x3）在（0，10）上是增函数，在（10，30）上是减函数；∴当x=10时，V（x）取得最大值V（10）=，∴取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．【点评】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．18．（16分）（2016秋•淮安期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．（1）求△ABC外接圆E的方程；（2）若直线l经过点（0，4），且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l的方程；（3）在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用待定系数法求△ABC外接圆E的方程；（2）分类讨论，利用韦达定理，结合弦长公式，求直线l的方程；（3）求出P的轨迹方程，与圆E联立，即可得出结论．【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣2，E=﹣4，F=1，∴△ABC外接圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．（2）当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，联立，得或，弦长为2，满足题意．当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y﹣4=kx，即t=kx+4，联立，得（1+k2）x﹣（2k﹣2）x﹣2=0，△=[﹣（2k﹣2）]2+8（1+k2）=12k2+8k+12＞0，设直线l与圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），则，，∵弦长为2，∴=2，解得k=1，∴直线l的方程为x﹣y+4=0．∴直线l的方程为x=0，或x﹣y+4=0．（3）设P（x，y），∵PB2﹣2PA2=12，A（﹣1，2），B（1，4），∴（x﹣1）2+（y﹣4）2﹣2（x+1）2﹣2（y﹣2）2=12，即x2+y2+6x+16y+5=0．与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0相减可得2x+5y+1=0，与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0联立可得29y2+14y+9=0，方程无解，∴圆E上不存在点P，满足PB2﹣2PA2=12．【点评】本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属于中档题．19．（16分）（2016秋•淮安期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），椭圆上顶点为A，过点A作圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C（不同于点A），设直线AB，AC的斜率分别为kAB，KAC．（1）求椭圆的标准方程；（2）求kAB•kAC的值；（3）试问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，联立解得求出椭圆的方程．（2）设切线方程为y=kx+1，则（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0，设两切线AB，AD的斜率为k1，k2（k1≠k2），k1•k2=1，由切线方程与椭圆方程联立得：（1+4k2）x2+8kx=0，由此能求出直线BD方程，进而得到直线．（3）设B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．设经过点A所作的圆的切线方程为：y=kx+1．与椭圆方程联立可得：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，可得：xB，xC．yB，yC，kBC=．可得直线BC的方程，即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，联立解得c=，a=2，b=1．∴椭圆的标准方程为=1．（2）A（0，1），设经过点A的圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切线方程为：y=kx+1．则=r，化为：（r2﹣1）k2+2k+r2﹣1=0，则kAB•kAC==1．（3）设B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．设经过点A的圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切线方程为：y=kx+1．联立，化为：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，∴xB=，xC==．yB=，yC=．∴kBC==．∴直线BC的方程为：y﹣=，令x=0，可得：y=．∴直线B