课堂学案配套课件-板块二专题六第1讲

第1讲等差数列与等比数列板块二专题六数列1.数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查.2.等差数列、等比数列主要考查等差、等比数列的通项公式、求和公式以及性质的灵活运用，解答题会以等差数列、等比数列的推理证明为主，要求都是C级.考情考向分析NEIRONGSUOYIN内容索引热点分类突破真题押题精练1PARTONE热点一等差数列、等比数列的运算热点二等差数列、等比数列的证明热点三等差数列、等比数列的综合热点一等差数列、等比数列的运算例1

(1)(2019·徐州期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝132，a6＋a9＝30，则a12的值为____.24即11a6＝132，所以a6＝12，又a6＋a9＝30，所以a9＝18，因为a6＋a12＝2a9，所以a12＝24.4思维升华在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量.即(q2－1)(q2－4)＝0，又因为公比为正数，解得q＝2，跟踪演练1

(1)记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S4－5S2＝0，则S5的值为____.31热点二等差数列、等比数列的证明例2

(2019·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港七市调研)已知数列{an}的各项均不为零.设数列{an}的前n项和为Sn，数列{a}的前n项和为Tn,且3S－4Sn＋Tn＝0，n∈N*.(1)求a1，a2的值；(2)证明：数列{an}是等比数列.因为an＋1≠0，所以3(Sn＋1＋Sn)－4＋an＋1＝0，

③

所以3(Sn＋Sn－1)－4＋an＝0(n≥2)，

④当n≥2时，③－④得，3(an＋1＋an)＋an＋1－an＝0，思维升华数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数.②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*).(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法因为数列{an}各项为正数，(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值.如果数列{bn}是等差数列，则2b2＝b1＋b3，则t2－16t＋48＝0，解得t＝4或12.数列{bn}是等差数列，符合题意；b2＋b4≠2b3，数列{bn}不是等差数列，t＝12不符合题意.综上，若数列{bn}是等差数列，则t＝4.热点三等差数列、等比数列的综合(1)求数列{an}的通项公式；当n＝1时，上式也成立，(2)求证：数列{bn}为等差数列；所以数列{bn}为等差数列.所以cm＝2m－1，cm＋5＝2(m＋5)－1＝2m＋9，ck＝2k－1，因此存在正整数m，k，使得cm，cm＋5，ck成等比数列⇔(2m＋9)2＝(2m－1)(2k－1)因为m，k都是正整数，则2m－1＝1,5,25，即m＝1,3,13时，对应的k＝61,23,25.思维升华数列的综合题，常将等差、等比数列结合在一起，形成两者之间的相互联系和相互转化；有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn－an}为等比数列.证明∵3bn－bn－1＝n(n≥2)，∵b1－a1＝－30≠0，2PARTTWO真题押题精练1234512345解析当公比q＝1时不满足题意，所以公比q≠1.因为Sn是等比数列{an}的前n项和，即q5＝2，123453.(2019·江苏，8)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是____.1612345解析方法一设等差数列{an}的公差为d，解得a1＝－5，d＝2，则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.∴a1＋a9＝6，∴a2＋a8＝2a5＝6，∴a5＝3，则a2a5＋a8＝3a2＋a8＝0，即2a2＋6＝0，∴a2＝－3，则a8＝9，12345∴a1＝－5，12345解析∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，∴Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1，显然，若Sn－1≠0，则Sn≠0，12345∴由递推关系式知Sn≠0(n∈N*)，5.(2017·江苏，19)对于给定的正整数k，若数列{an}满足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；12345证明因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此等差数列{an}是“P(3)数列”.12345(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.12345证明数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，

①当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an. ②由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，

③an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an). ④将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为