云南省昆明市立德高级中学2021年高三数学文测试题含解析

云南省昆明市立德高级中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.由直线和曲线围成的图形的面积为

A．

B．

C．

D．参考答案：D2.已知函数数列满足且是递增数列，则实数的取值范围（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B3.函数的定义域为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】对数函数B7【答案解析】C

由题意得,x>3故选C.【思路点拨】根据对数函数的意义求出定义域。4.“”是“”的

（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A5..已知双曲线C：的实轴长是虚轴长的倍，则双曲线C的渐近线方程为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由已知条件推导出，由此能求出此双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线的实轴长是虚轴长的倍，∴，∴双曲线的渐近线方程为，故选B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线的求法，解题时要认真审题，注意双曲线基本性质的合理运用，属于基础题.6.下列四个判断：①某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；②对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：由样本数据得到回归方程必过样本点的中心；③调查某单位职工健康状况，其青年人数为，中年人数为，老年人数为，现考虑采用分层抽样，抽取容量为的样本，则青年中应抽取的个体数为；④频率分布直方图的某个小长方形的面积等于频数乘以组距。

个

个

个

个参考答案：C7.果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A8.已知是R上的奇函数，当时，，函数,若，则实数的取值范围是（

）

A.（-∞，1）∪(2，+∞)

B.（-∞，-2）∪(1，+∞)

C.（1,2）

D.（-2,1）参考答案：D略9.下列指数式与对数式互化不正确的一组是(

)A.

B.C.

D.参考答案：C10.已知曲线在点（1,1）处的切线与抛物线相切，则a的值为（）A.0 B.0或8 C.8 D.1参考答案：C【分析】求出曲线在点处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去，利用判别式为零可求的值.【详解】，当时，切线的斜率，切线方程为，因为它与抛物线相切，有唯一解即故，解得，故选C.【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.一般地，曲线在处的切线方程为.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与﹣的夹角等于

．参考答案：考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算及定义、向量的夹角公式即可得出．解答： 解：设2+与﹣的夹角为θ．∵向量=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=2（1，2）+（1，﹣1）=（3，3），﹣=（0，3）．∴（2+）?（﹣）=0+9=9，|2+|=，|﹣|=3，∵（2+）?（﹣）=|2+|×|﹣|×cosθ，∴=．∵θ∈[0，π]，∴．故答案为：．点评：本题考查了数量积运算及定义、向量的夹角公式，属于基础题．12.已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为

．参考答案：

设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设,由，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由,即有，解得.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.13.已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为100π，PA⊥面，则该三棱锥体积的最大值为____。参考答案：【分析】根据球的表面积计算出球的半径.利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，根据正弦定理求得的长，再根据圆内三角形面积的最大值求得三角形面积的最大值，由此求得三棱锥体积的最大值.【详解】画出图像如下图所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.设球的半径为，三角形外接圆的半径为，则，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形为等边三角形，其高为.由于为定值，而三角形的高等于时，三角形的面积取得最大值，由于为定值，故三棱锥的体积最大值为.【点睛】本小题主要考查外接球有关计算，考查三棱锥体积的最大值的计算，属于中档题.14.执行右边的程序框图，若，则输出的

．

参考答案：6由程序框图可知,则，当时，时，此时，所以输出。15.求值：_

_

．参考答案：【知识点】三角函数的二倍角公式.C6【答案解析】解析：解：由三角函数化简可知【思路点拨】根据已知式子我们可向公式的方向列出条件，结合二倍角公式进行化简.16.程序框图如图，若输入s=1，n=10，i=0，则输出的s为．参考答案：1025【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得s=1，n=10，i=0，执行循环体，s=2，i=1满足条件i＜11，执行循环体，s=1++…+=1+1024=1025，故答案为：1025．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．17.若不等式对任意非零实数恒成立，则实数的最小值为

▲

．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆和圆．(1)若直线l过点，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，且直线被圆C1截得的弦长与直线被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．参考答案：(1)或；(2)或【分析】（1）因为直线过点，故可以设出直线的点斜式方程，又由直线被圆截得的弦长为，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到关于直线斜率的方程，解方程求出值，代入即得直线的方程；（2）与（1）相同，我们可以设出过点的直线和的点斜式方程，由于两直线斜率积为1，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率的方程，解方程求出值，代入即得直线和的方程.【详解】(1)由于直线与圆不相交，所以直线的斜率存在，设直线方程为，圆的圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为，所以，又，从而即或所以直线的方程为或.(2)设点满足条件，由题意分析可得直线和的斜率均存在且不为0，不妨设直线的方程为，则直线方程为，因为和的半径相等，及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，所以圆的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等，即整理得即或因为的取值有无穷多个，所以

或解得或这样的点只可能是点或点.【点睛】本题考查直线与圆方程的应用.圆的垂径定理与点到直线的距离公式是常用方法，此题的难点在于等式恒成立的条件.19.已知f(x)＝2x－1的反函数为(x)，g(x)＝log4(3x＋1)．⑴若f－1(x)≤g(x)，求x的取值范围D；⑵设函数H(x)＝g(x)－(x)，当x∈D时，求函数H(x)的值域．参考答案：解：(Ⅰ)D＝[0，1](Ⅱ)H(x)的值域为［0，］略20.已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，（1）若关于x的不等式f（x）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用绝对值的几何意义求出|2x+1|+|2x﹣3|的最小值，得到a的不等式求解即可．（2）通过△≥0，得到|2m+1|+|2m﹣3|≤8，去掉绝对值求解即可．【解答】解：（1）因为f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，所以|1﹣3a|＜4，即，所以实数a的取值范围为．…（2）△=32﹣4（|2m+1|+|2m﹣3|）≥0，即|2m+1|+|2m﹣3|≤8，所以不等式等价于或或所以，或，或，所以实数m的取值范围是．

…21.已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，直线与椭圆C相交于A、B两点，圆是以AB为直径的圆．（1）求椭圆C的方程；（2）记O为坐标原点，若点O不在圆内，求实数k的取值范围．参考答案：（1）（2）【分析】（1）根据离心率公式以及将点代入椭圆方程，联立方程组，即可得出椭圆方程；（2）联立椭圆以及直线方程，由判别式大于0，得出的范围，结合韦达定理得出，的值，将点与圆的位置，转化为，解不等式，即可得出答案.【详解】（1）依题意，，，，解得，，故椭圆的方程为；（2）联立消去并整理得：因直线与椭圆有两个交点，即方程有不等的两实根，故，解得设，，由根与系数的关系得点不在圆内，即又由解得，故，则或．则满实数的取值范围为．【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.22.（12分）已知数列{an}是首项a1=4，公比q≠1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，﹣2a3成等差数列．（1）求公比q的值；（2）求Tn=a2+a4+…+a2n的值．参考答案：【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：（1）利用4a1，a5，﹣2a3成等差数列，首项a1=4，