教学-线性代数课件

配方法化二次型为标准形2.二次型标准形的概念1.知识点2---化二次型为标准形正交变换法化二次型为标准形3.二次型的规范形4.定义对于二次型，通过可逆线性变换x=Cy将其化成仅含有平方项的二次型，称这种只含变量的平方项，所有混合项的系数全是零的二次型为二次型的标准形。一、二次型的标准形的概念即例1用配方法将二次型解原式二、配方法化二次型为标准形化为标准形，并写出相应的线性变换矩阵。令即则即即经过线性可逆线性变换二次型化成标准型相应的线性变换矩阵为例2

用配方法将二次型化成标准形，并写出相应的线性变换.解由于二次型中不含变量的平方项，只含混合项，故先作线性变换即

则原二次型化为再令即则原二次型化为标准形

相应的线性变换为方法总结变量逐步配方，直至将

配成平方和形式.（1）如果二次型

中含有变量

的平方项，则先把（2）如果二次型

中没有平方项，只有混合项，例如有混合项

，则先作可逆线性变换使中出现平方项，再按上面的方法配方.含有的项集中，按

配方，然后按此法对其他三、正交变换法化二次型为标准形定理1对于二次型,必有正交变换可将

化为标准型其中是

的矩阵的特征值.即经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似.若是正交矩阵，则有是正交变换，即

,得正交变换法化二次型为标准形的一般步骤：（1）写出二次型的矩阵A;（2）求矩阵A的特征值（3）求矩阵A的特征向量；（4）将特征向量正交化、单位化得（5）构造矩阵,经例3用正交变换法将二次型化为标准型，并写出所用的正交变换.解二次型矩阵为求A的特征值：则A的特征值为其一个基础解系单位化得求A属于的特征向量,求解齐次线性方程组求A的属于的特征向量,求解齐次线性方程组其一个基础解系单位化得求A的属于的特征向量,求解齐次线性方程组其一个基础解系单位化得取则即正交变换将二次型化为标准型四、二次型的规范形用配方法可化为标准形

用正交变换法可化为标准型定理2

设实二次型的秩为线性变换及使得及,有两个可逆则中正数的个数与中正数的个数相等（进而负数的个数也相等）.这个定理被称为惯性定理.注：惯性定理说明二次型的标准形虽然不唯一，推论

实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正但是任一标准形中非零项数、系数为正的项数、系数为负的项数都是唯一确定的.其中正系数的个数称为正惯性指数、负系数的个数称为负惯性（负）特征值的个数.指数。对二次型的标准形作可逆线性变换定理3任一实二次型总可以经过可逆线性变换化为其中p为二次型f

的正惯性指数，r是二次型f

的秩。定义2称为二次型的规范型.总可以将二次型化为解所给二次型为标准形，可以判断其正惯性指数例4

将二次型化成规范形并求其正负指数。为2，负惯性指数为1.令二次型化为即小结的项集中，按

配方，然后按此法对其他变量逐步配方，直至将

配成平方和形式.（1）如果二次型

中含有变量

的平方项，则先把含有

（2）如果二次型

中没有平方项，只有混合项，例如有混合项

，则先作可逆线性变换使中出现平方项，再按上面方法配方.1.配方法化二次型为标准形的一般步骤：,得2.正交变换法化二次型为标准形的一般步骤：（1）写出二次型的矩阵A;（2）求矩阵A的特征值（3）求矩阵A的特征向量；（4）将特征向量正交化、单位化得