逼近拟合中的基本概念

会计学1逼近拟合中的基本概念控制误差的度量标准第1页/共29页几个概念第2页/共29页常用范数第3页/共29页第4页/共29页其它概念内积的概念第5页/共29页有关定理(证明见P66)称为格拉姆(Gram)矩阵，则G非奇异的充分必要条件是u1,…,un线性无关第6页/共29页权函数的概念第7页/共29页定义设称

为函数在区间[a,b]上的内积.其中为区间[a,b]上的权函数,且满足下面两个条件:函数内积的定义容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.第8页/共29页函数的欧几里得范数定义设称为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.第9页/共29页数据拟合第10页/共29页函数逼近第11页/共29页最佳一致逼近第12页/共29页最佳平方逼近第13页/共29页超定方程组的最小二乘解第14页/共29页第15页/共29页第16页/共29页仍然是已知x1…xm

;y1…ym,求一个简单易算的近似函数P(x)

f(x)。但是①

m

很大；②

yi本身是测量值，不准确，即yi

f(xi)这时没必要取P(xi)=yi,而要使P(xi)yi总体上尽可能小。常见做法：

使最小/minimaxproblem/

太复杂使最小不可导，求解困难使最小/Least-Squaresmethod/多项式拟合第17页/共29页最小二乘拟合多项式

/L-Sapproximatingpolynomials/第18页/共29页第19页/共29页对应法方程（或正规方程组/normalequations/）为：回归系数/regressioncoefficients/第20页/共29页定理5.证明：记法方程组为Ba=c.则有其中对任意，必有。若不然，则存在一个使得…即是n

阶多项式的根则B为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一解。第21页/共29页广义多项式拟合定义

线性无关/linearlyindependent/函数族{0(x),1(x),…,n(x),…}满足条件：其中任意函数的线性组合

a00(x)+a11(x)+…+ann(x)=0对任意x[a,b]成立当且仅当a0=a1=…=an=0。定义考虑一般的线性无关函数族={0(x),1(x),…,n(x),…}，其有限项的线性组合称为广义多项式

/generalizedpolynomial/.第22页/共29页常见广义多项式：

{j(x)=xj}对应代数多项式/algebraicpolynomial/

{j(x)=cosjx}、{j(x)=sinjx}{j(x),j(x)

}对应三角多项式/trigonometricpolynomial/

{j(x)=

,ki

kj

}对应指数多项式/exponentialpolynomial/第23页/共29页定义广义L-S拟合：①

离散型/*discretetype*/在点集{x1…xm}

上测得{y1…ym}，在一组权系数{w1…wm}下求广义多项式P(x)

使得误差函数最小。

=-=niiiiyxPw12])([②

连续型

/*continuoustype*/已知y(x)

C[a,b]以及权函数(x)，求广义多项式P(x)

使得误差函数

=最小。dxxyxPxba2)]()([)(-r内积与范数离散型连续型则易证(f,g)

是内积，而是范数。(f,g)=0表示f

与g

带权正交。广义L-S问题可叙述为：求广义多项式P(x)使得最小。第24页/共29页nkyaknjjjk,...,0,),(),(0===jjj设则完全类似地有：)(...)()()(1100xaxaxaxPnnjjj+++=法方程组

/*normalequations*/即：),(),(),(00yyaabnnjiijjjjj===c第25页/共29页例：用来拟合，w1解：0(x)=1，1(x)=x，2(x)=x2第26页/共29页例：连续型拟合中，取则Hilbert阵！改进：若能取函数族={0(x),1(x),…,n(x),…}，使得任意一对i(x)和j(x)两两（带权）正交，则B就化为对角阵！这时直接可算出ak=

正交多项式的构造：将正交函数族中的k取为k

阶多项式，为简单起见，可取k的首项系数为1

。有递推关系式：其中第27页/共29页例：用来拟合，w1解：通过正交多项式0(x),1(x),2(x)求解设)()()(221100xaxaxayjjj++=1)(0=xj229),(),(0000==jjjya25),(),(00001==jjjjax25)()()(011-=-=xxxxjaj537),(),(1111==jjjya25),(),(11112==jjjj