边坡工程三维稳定分析方法

会计学1边坡工程三维稳定分析方法其边界条件是

(1.2)

其中

Wi

为体积力,Ti为作用于表面S上的边界力，nj为S面法线的方向导数。静力平衡的另一个表达形式是虚功原理，即相应任一协调的位移场增量，有

(1.3)第1页/共67页

(2)

变形协调

(1.4)(3)

理论本构关系

(1.5)

第2页/共67页

(1.5)和(1.6)分别反映了材料必须遵守的应力应变关系和强度准则。其中Cijkl为反映弹性或弹塑性本构关系的张量表达式。式(1.6)通常采用摩尔－库仑准则，即

(1.7)

和τ为破坏面上的法向和剪切应力，c和为抗剪强度指标。在一般的岩土材料中，我们还提出不容许出现拉应力的限制条件，即

(1.8)

3为土体内任一点的小主应力。第3页/共67页3为土体内任一点的小主应力。

全面满足上述条件的解答，即是反映实际情况的真实解。但是，岩土材料的不连续性，各向异性和非线性的本构关系以及结构在破坏时呈现的体胀和软化、大变形等特性，使求解岩土材料稳定的问题变得十分困难和复杂。在工程实践中寻找能基本反映上述条件的简化方法，始终是人们长期探索的一条途径。

第4页/共67页1.2

边坡稳定的塑性力学上限解和下限解

(1)

加载的定义在实际工程中我们分析的对象往往是一个具有一定安全储备的结构。分析这样一个结构稳定性的提法往往是这样的：对某一处于稳定的结构,需要一个多大的外部干扰因素,方可将其过渡到极限状态。在塑性力学和边坡稳定领域,通常有以下处理方案：,

,

第5页/共67页(2)方案2。极限状态是通过施加一个假想的水平体积力实现的。其中W为滑坡体的自重。Sarma(1973)首先提出这一思路,并称为临界加速度系数。这一方案在边坡问题中较适用,因为大多数的边坡问题中不存在表面荷载。采用(1)、(2)两种处理方案，或通常可以直接通过一个公式求得，不需迭代。同时，这两种处理与塑性力学上、下限定理中的加载概念一致，因此，可以获得较坚实的理论基础。(3)方案3。定义安全系数F是这样的一个数值,如果材料的抗剪强度指标c和按下式降低为ce和

(1.11)第6页/共67页

(1.10)

(1.11)第7页/共67页

那么,边坡处于极限状态。采用这一方法时,F常以隐式出现在求解的方程式中,需要进行迭代。通常的作法时，先假设一系列的F值，分别求得相应的或，然后找到使或为零时相应的F值。为了表达方便,在以下的叙述中,我们为这三种方案提供统一的计算公式。对出现下标e的物理量，如相应方案1和2，则意味着式(1.10)和(1.11)中的F值为1。第8页/共67页1.3

塑性力学上限定理和下限定理下限定理从构筑一个静力许可的应力场入手，认定凡是满足式(1.1)、(1.2)和(1.7)、(1.8)的应力场所相应的外荷载一定比真实的荷载小。上限定理从构筑一个处于塑性区内和滑裂面上的协调的位移场出发(参见图1.1(a))，认定凡是满足式(1.3)和(1.7)中的等式所相应的外荷载一定比相应真实的塑性区的真实的荷载T大，T*是通过虚功原理获得的，即第9页/共67页(1.12)

第10页/共67页

由于弹性变形通常相对塑性变形小许多，所以在应用上限定理通过式(1.3)确定外荷载时，还可以将其中的u仅理解为塑性变形。V为在微小荷载增量作用下滑块沿滑面的相对位移，以下称速度。式(1.3)左端的内能耗散包括两项，即塑性区域内沿滑面上的内能耗散。和在本文将要着重讨论的近似方法(条分法)中，我们将图1.1(a)的破坏模式近似表达为多块体的破坏模式，如图1.1(b)所示，如果材料遵守摩尔--库伦破坏准则和相关联的流动法则,则可确认沿滑面的位移V与滑面夹角为e（chen,1975）。 滑面上的反力在速度方向作的功，即单位面积内能耗散，可用下式表示(Chen,1975)：第11页/共67页第12页/共67页第13页/共67页第14页/共67页其中c为凝聚力，u为孔压，说明，在根据式（1.12）计算左边二项时，不需要知道滑面上的法向和切向应力。

(1.13)第15页/共67页(2)由于速度V与滑动界面的夹角必须为e，知道第一个条块的速度V1后,即可求得第二个条块的速度V2和第一个条块相对于第二个条块的速度V1j(参见图1.1(b))。依此类推，任意一条块的V和Vj可表达成第一个条块的速度V1的线性函数。将式(1.13)代入(1.12)后，V

不再是未知数，我们将通过一个公式（1.12）求解一个未知量（F值）。 用塑性力学上、下限定理分析边坡稳定问题，就是从下限和上限两个方向逼近真实解。在近代计算技术软、硬件飞速发展的今日，已经可以成为现实。这一求解方法最大的好处是回避了在工程中最不易弄清的本构关系表达式(1.5)，而同样获得了理论上十分严格的计算结果。第16页/共67页1.4

潘家铮最大最小原理在边坡、坝基和其它建筑物的抗滑稳定分析中，极限平衡法是工程中普遍采用的方法，这一方法包含两个步骤：

(1)对不稳定岩体或土体内某一滑裂面，根据静力平衡条件确定其抗滑稳定安全系数。

(2)在所有可能的滑裂面中，重复上述步骤，找出相应最小安全系数的临界滑裂面。在极限平衡的理论体系中，上述第一步骤在本质上是一个静不定的力学问题，需要引入必要的假定，使问题变得可解。潘家铮(1980)在详细分析了建筑物和地基抗滑稳定的各种方法后，提出了以下两条原理，试图弥补传统的分析方法在理论上的缺陷。第17页/共67页

(1)滑坡如能沿许多滑面滑动，则失稳时，它将沿抵抗力最小的一个滑面破坏(最小值原理)。

(2)滑坡体的滑面肯定时，则滑面上的反力(以及滑坡体内的内力)能自行调整，以发挥最大的抗滑能力(最大值原理)。为了说明潘氏原理的理论意义,让我们回顾一个简单的例题。图1.3(a)示一个作用有垂直荷载T的无重量的均质边坡，将假定的滑坡体分成4个具有倾斜界面的块体，那么如果按照潘氏最大值原理来确定滑面和滑坡体的内力，显然，应选择在滑面和界面上均达到极限平衡的那个内力体系,即在滑面和界面上的法向力N和切向力S均满足下面的关系式：第18页/共67页式中N和S为作用在破坏面上的法向和切向反力，和c为摩尔－库伦准则的强度指标。在满足式(1.23)的前提下，本问题是静定可解的。在边坡稳定分析领域，Sarma法就是按照这一思路求解的。我们将按这一方法确定的相应外荷与实际荷载T的相对比值称为加载系数。即

条间力示意图WαNQiQi+1TρβGiβGi+1水平向(1.23)

第19页/共67页(1.24)在本例中，如果设T=111.437kPa，c=98kPa，=30°，则计算获得的为0.274。第20页/共67页根据潘氏最小值原理，作为稳定分析的第二步，我们应用数学规划的方法，寻找一个使为最小的破坏机构，得到了如图1.3(b)的破坏机构。其相应值为=0.027，对这个例题，索科洛夫斯基(Sokolovski,1954)曾经给出过理论解，其模式如图3(c)所示。对本例所采用的强度指标和其它参数，其极限荷载的理论解就是111.437kPa。故理论解的应为零。可以发现对本例采用4个块体的解＝0.027已和理论值非常接近，误差为1.7％，其破坏模式也十分相似。事实上当条块数增加到19时，即可采用这一方法得＝0.0097，其破坏模式和索氏解答(图3(c))完全一致。 通过这一简单的例子，我们可以看到，存在着一个十分简便的途径来确定结构破坏的极限荷载。如果潘氏原理可以获得证明，那么传统的极限平衡分析方法可以和结构分析方法一样成为一个严格的理论分析体系。第21页/共67页1.5

数值分析方法－非线性规划上、下限定理（或潘家铮最大最小原理）最终形成了一个求解目标函数（安全系数或加载系数）的极值问题。岩土工程问题通常包括复杂的地形和地质条件。上述求解岩体稳定上、下限解的命题只有在数值分析的软、硬件技术发展到一定水平后方能成为现实。非线性规划中的最优化方法为解决这类问题提供了强有力的手段(Chen,ZandShao,C.1988)。第22页/共67页

最优化问题的提法是：对于一个具有n个自变量

=(,,…,)的目标函数F，确定使F获得最小值的自变量。 在稳定分析中，自变量是滑裂面。因此，需要将它所代表的曲线y(x)用若干参数来模拟。也就是说，需要将任意形状滑裂面y(x)用来近似表达。

将滑裂面曲线用m个点A1,A2,…,Am离散(图1.4)，也就是将此m个点用直线或光滑的曲线连起来，以近似模拟此曲线。此m个坐标用Zi(i=1，2，…，m)表示：

(1.25)第23页/共67页一旦这种连接的模式确定，安全系数F即可表达成此m个点的坐标x1,y1,x2,y2,...,xn,yn的函数。而在上限解中，条块侧面的倾角i

也是自变量，因此

(1.26)第24页/共67页在进行最优化搜索过程中,A1,A2,…,Am

将移到临界滑裂面的位置B1,B’2,…,Bm(图1.4，此处m=6)，其中端点A1，Am原来在边坡线上，有可能移到边坡线外或内，需要通过一定的处理方式，分别找到他们和边坡线的交点。各点的界面倾角i也将过渡到使目标函数最小的新的数值。对均匀的土体介质，通常希望滑裂面比较光滑，此时，采用三次或更高次的样条函数连接这些点。作为一般的处理，我们采用直线和光滑曲线组合构筑的滑裂面。例如图1.4中A3、A4、A5、A6用曲线相连，A2、A3用直线相连。通常只用少量的节点构筑这一破坏模式，然后再按线性内插的原则在相邻节点中进一步将土体细分成土条，图1.1(c)。第25页/共67页1.7三维边坡极限平衡分析法分析现有的三维极限平衡分析方法，可以发现它们实际上是二维“条分法”的拓展。这些方法把破坏体离散成柱体，柱体按行、列系列编排。并应用力平衡条件和摩尔－库伦准则求解安全系数。和二维方法中相似，这些方法必须对滑裂面的形状和条柱间内力引入一些假定，以使分析在数值上变得可解。Hungr(1987)推广了简化Bishop法，该法忽略柱体纵向和侧向面的剪力并应用力矩平衡条件求解。Chen和Chameau(1983)提出的方法事实上是Spencer’s法的延伸。Lam和Fredlund(1993)提出的方法对条柱间作用力的倾角分布形状作出假定，并要求块体满足力和力矩平衡条件。某种程度上说，该法与Morgenstern-Price法是等效的。第26页/共67页以往的工作尚存在以下不足，使三维边坡稳定分析始终未能获得广泛的实际应用： （1）为了使问题变得静定可解，在“条柱法”中引入众多假定。Lam和Fredlund(1993)计算了以物理和力学要求为基础可建立的方程个数及这些方程中的未知数数目。他们发现对于离散成n行和m列条块的破坏体(参见图7.1)，总共需要8mn个假定。更为麻烦的是，在进行假定的时候，通常不可能恰好使可建立的方程和未知物理量的数量匹配。Lam&Fredlund在建立它们的条柱法时，发现，最终还多出了两个系数3、4。于是，他们进一步假定3应该在若干个数值中选一个相应安全系数最小的。这样的作法，进一步增加了方法的任意性，使方法失去了严格的理论基础。第27页/共67页（2）极限平衡法在求解过程中，涉及繁复的三维矢量运算，最终需要求解一个非线性的联立方程组。为了避免大型非线性方程组的迭代，势必引入更多的简化。第28页/共67页和传统的边坡稳定分析方法一样，引入安全系数F的定义。即当强度指标c和tan缩小为和边坡处于极限平衡状态。将滑动土体分成具有垂直界面的条柱，建立如图1所示的坐标系，x和y的正方向分别与滑坡方向和重力方向相反，xoy平面应基本反映主滑方向。z轴的正方向按右手法则确定。第29页/共67页WSTPiViQiPVi+1Qi+1XiEiHiXEHi+1i+1i+1αi+1N第30页/共67页在分析作用在条柱上的作用力的力和力矩平衡条件时，我们引入如下假定(图1.5)：

第31页/共67页

条间力示意图 1、作用在行界面的条间力G平行于xoy平面，其与x轴的倾角β为常量，这一假定相当于二维领域中的Spencer法。 WαNQiQi+1TρβGiβGi+1水平向 2、作用在列界面的作用力Q为水平方向，与z轴平行。 3、作用在底滑面的剪切力T与xoy平面的夹角为ρ。规定剪切力的z轴分量为正时ρ为正值。

静力假定：第32页/共67页

假定同一列条柱（z=常量）的ρ值相同，对不同z坐标的条柱，假定ρi的一个分布形状：①ρ=k=常量（图3(a)）；②在xoy平面的左、右两侧假定ρ的方向相反，并线性分布（图3(b)），假定此分布形状为：

第33页/共67页

条间力示意图 1、ρ=k=常量 2、在xoy平面的左、右两侧假定ρ的方向相反，并线性分布假定此分布形状为f(z)，则有:

ρ的分布形状：第34页/共67页假定②中均含有一个系数，此值反映左、右侧ρ的变化的不对称特性，当滑体的几何形状和物理指标完全对称时，相应假定①的应为零，相应假定②的应为1。和二维领域一样，我们期待着在合理性条件限制下(参见1.2节)，不同的分布形状假定将不会导致安全系数的重大差别。第35页/共67页

设nx，ny，nz为底滑面的法线的方向导数，mx，my，mz为切向力Ti的方向导数。这个方向导数在确定了ρ值后即为已知。因为根据可以得到，(在mx的两个解中，为不合理解，予以删除)。第36页/共67页建立力和力矩平衡方程解题步骤如下

:(1)分析作用在某一条柱上的力，求解底滑面的法向力N。由于我们假定了行界面土条侧向力平行于xoy平面，列界面土条侧向力与z轴平行，在xoy平面上没有分力。因此可以方便地通过xoy平面上的力学平衡条件来求解N。考虑到左、右两侧的G（其方向以S代表）均与x轴夹一个β角，求解N的一个方便的方法是将作用在土条上的力投影到垂直于S的轴S上，这样就回避了Gi和Gi+1这两个未知力，将Ni求得。第37页/共67页在S方向的条柱的平衡方程式为：根据摩尔－库仑准则即可求解条底法向力：式中Ai为底滑面的面积，u为作用于滑面上的孔隙水压力。

第38页/共67页(2)

建立整个滑坡体的静力平衡方程式和绕z轴的力矩平衡方程式。在计算Ni时，已经满足了每个条柱S’方向的静力平衡条件。因此，我们建立与S’垂直的S方向的整体平衡方程式：建立z方向的整体平衡方程式：同时，建立绕z轴的整体力矩平衡方程式（以逆时针为正）：

第39页/共67页

由于整体的静力平衡在坐标系的三个轴上均已满足，因此，建立式（11）时可以绕任一与z轴平行的轴取矩。在建立S’、S方向和z方向的静力平衡方程式(6)，(9)和(10)时，最为方便的方法是要求各个力矢量与投影方向的点积之和为零。已知S方向导数为（cos，sin，0），W方向导数为（0，-1，0），N方向导数为（nx，ny，nz），T方向导数为（mx，my，mz），S’方向导数为（-sin，cos，0）。据此可以方便地建立这些静力平衡方程式。

第40页/共67页作用在条柱上的力在S轴的投影

求解底滑面的法向力N

静力平衡方程式和求解步骤：第41页/共67页S方向的整体平衡方程式

z方向的整体平衡方程式

绕z轴的整体力矩平衡方程式

第42页/共67页(3)用Newton-Raphson法迭代求解安全系数第43页/共67页例题和验证

第44页/共67页

考题1：椭球体滑面算例（ZhangXing)第45页/共67页

考题1：椭球体滑面算例（ZhangXing)上限解的解答垂直界面：F=2.339优化界面：F=2.259第46页/共67页

考题1：椭球体滑面算例（ZhangXing)下限解的解答垂直界面：F=2.187计算迭代收敛过程：第47页/共67页

考题1：椭球体滑面算例（ZhangXing)小结：安全系数FZhangXing： 2.122上限解： 2.259下限解： 2.187相差3.2%第48页/共67页

考题2：楔形体算例（Hoek）几何、物理参数： 坡高为64.89m

岩石容重为26KN/m3

在对称例题中

c=50KN/m2，φ=20°

材料不对称例题中 右结构面度指标不变， 左结构面采用 c=30KN/m2，φ=10°第49页/共67页

考题2：楔形体算例（Hoek）材料对称例题： 安全系数FHoek： 1.556上限解： 1.685下限解： 1.556相差8%第50页/共67页1.8边坡稳定分析的三维极限分析上限解法

(1)

理论背景

为便于理解边坡稳定的三维极限分析方法的基本原理。引入安全系数K的定义，即当强度指标c和tan缩小为和

边坡处于极限平衡状态。设作用在左边块体上的体积力为Wl，作用在滑面上的切向力全分成两个部分，一部分为凝聚力，其值为,另一部分为法向力形成的摩擦阻力，其值为Nl

tane,它和法向力Nl构成一个与滑面法向夹角为e的合力Pl,e。对左条块建立静力平衡方程，第51页/共67页Theforceequilibriumapproaches

Thevirtualdisplacementapproaches

第52页/共67页其中Pj,e

和Cj,e为右侧条块通过倾斜边界AB作用于左侧条块的力。对右边块体有第53页/共67页上两式为矢量表达式，在x,y方向投影，可建立4个方程式，其中包含了Pl,ePr,e和Pj,e这三个未知量，同时也包括安全系数K，它隐含于强度指标ce和tane中。总计为4个未知量。因此，这个块体系统的安全系数K是静定可解的。遵照求解上述静力平衡的思路解题就是传统的边坡稳定分析的极限平衡方法，具有代表性的，即Sarma法(1979)。但是，还存在一种按虚功原理解题的方法。假设左右块体分别有速度Vl

和Vr

，其分别与滑面夹角为e。那么，对每个块体，作用在上面的未知内力P沿该位移作的功的总和为零。式(1)Vl+(2)

Vr

，我们有第54页/共67页其中Vj

为左条块相对右条块的速度标量表达形式为 其中e,r分别为重力与Vl

和Vr的夹角。根据位移协调的要求，Vl

，Vr和Vj应构成一个闭合速度三角形，故有 第55页/共67页 (7)第56页/共67页这样式中左、右侧均可表达为Vl的线性函数，Vl可消去。在式中只剩下一个未知量即安全系数K，它可以方便地通过迭代求解。式(1.21)左右端分别代表作用在滑体上的外力功总和和内能耗散总和。上述论证过程说明，按式(6)解题和按式(1)和(2)解题是等效的。如果某边坡由n个具有倾斜界面的休块组成，那么按传统的静力平衡方法将出现n个类似式(1)和(2)的方程式，求解过程包括一个n个未知变量的非线性联立方程组。而按虚功原理求解，出现在n个块体上所有的未知内力都被消去，求解过程仍只含一个未知量，控制方程仍然只是类似式(4)那样的一个。而当问题从二维过渡到三维时，这一方便的求解过程仍然被保留下了，而传统的通过静力平衡的求解步骤，则由于极复杂的多元空间力系，平衡过程变得几乎无法实施。第57页/共67页求解上限解的基本方程式

(1)确定多块体的滑动模式。

将滑动土体划分为一个如图1.1(b)所示的一个多块体的系统。(2)计算多块体破坏模式协调的速度场

如前所述，每个条块的速度V与滑面夹角为e，与右边相邻块体的相对速度Vj，与该两块体的交界面的夹角为e

j。内能耗散发生于该楔块的底面和楔块间的界面，在刚体内为零。位移协调条件要求相邻条块的移动不至于导致它们重迭或分离。也就是说，速度多边形要闭合。根据这个条件，右侧条块的速度Vr和左、右条块间的界面的相对速度Vj可以通过左侧条块的速度确定。第58页/共67页其中δ为侧面与y轴夹角。θ为速度与正x轴的夹角。知道第一个条块的速度V1后，借助式(3.13)、(3.14),即可求得V2

和Vj。依此类推，任意一条块的V和Vj可表达成第一个条块的速度V1的线性函数

第59页/共67页第60页/共67页（3）计算加载系数或安全系数 对某一多块体破坏模式，将通过式(1.17)获得的速度场代入式(1.13)再代入式(1.12)或(1.3)，由于左、右式都为V0的线性