2023年山西省忻州市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)

2023年山西省忻州市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.

A.(-2，2)

B.(-∞，0)

C.(0，+∞)

D.(-∞，+∞)

2.设y=5x，则y'等于()．

A.A.

B.

C.

D.

3.

4.

5.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)

6.

7.

8.

9.

10.

11.设z=ysinx，则等于()．A.A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx

12.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

13.设z=ln(x2+y)，则等于()。A.

B.

C.

D.

14.（）A.A.1B.2C.1/2D.-1

15.函数y=ex+arctanx在区间[-1,1]上

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

16.级数()。A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

17.已知函数f(x)的定义域是[一1，1]，则f(x一1)的定义域为()。

A.[一1，1]B.[0，2]C.[0，1]D.[1，2]

18.

19.

20.用待定系数法求微分方程y"-y=xex的一个特解时，特解的形式是(式中α、b是常数)。A.(αx2+bx)ex

B.(αx2+b)ex

C.αx2ex

D.(αx+b)ex

21.当x→0时，3x是x的（）．

A.高阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D.低阶无穷小量

22.

A.f(x)

B.f(x)+C

C.f/(x)

D.f/(x)+C

23.

24.A.A.

B.

C.

D.

25.A.A.1B.2C.3D.4

26.A.A.仅为x=+1B.仅为x=0C.仅为x=-1D.为x=0，±1

27.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

28.

29.设函数f(x)在x=1处可导，且，则f'(1)等于()．A.A.1/2B.1/4C.-1/4D.-1/2

30.

31.设y=x2-e2，则y=

A.2x-2e

B.2x-e2

C.2x-e

D.2x

32.

33.

34.设f(x)在x=0处有二阶连续导数

则x=0是f(x)的()。

A.间断点B.极大值点C.极小值点D.拐点

35.函数z=x2-xy+y2+9x-6y+20有（）

A.极大值f(4，1)=63B.极大值f(0，0)=20C.极大值f(-4，1)=-1D.极小值f(-4，1)=-1

36.

37.（）。A.e-2

B.e-2/3

C.e2/3

D.e2

38.微分方程yy'=1的通解为A.A.y=x2+C

B.y2=x+C

C.1/2y2=Cx

D.1/2y2=x+C

39.函数f(x)=2x3-9x2+12x-3单调减少的区间为A.(-∞，1]B.[1，2]C.[2，+∞)D.[1，+∞)

40.

41.

42.点(-1，-2，-5)关于yOz平面的对称点是()

A.(-1，2，-5)B.(-1，2，5)C.(1，2，5)D.(1，-2，-5)

43.设f(x)在点x0处取得极值，则()

A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0

B.f"(x0)必定不存在

C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0

D.f"(x0)必定存在，不一定为零

44.A.A.2B.-1/2C.1/2eD.(1/2)e1/2

45.

46.

47.级数(k为非零正常数)()．A.A.条件收敛B.绝对收敛C.收敛性与k有关D.发散

48.

49.

50.

二、填空题(20题)51.

52.为使函数y=arcsin(u＋2)与u=｜x｜-2构成复合函数，则x所属区间应为__________．53.

54.

55.

56.

则b__________.

57.

58.

59.曲线y=2x2-x+1在点(1，2)处的切线方程为__________。

60.

61.

62.

63.微分方程y'+9y=0的通解为______．64.

65.设f(x)=xex，则f'(x)__________。

66.

67.

68.

69.

70.过原点且与直线垂直的平面方程为______．三、计算题(20题)71.

72.证明：73.求曲线在点(1，3)处的切线方程．74.求微分方程的通解．75.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．76.77.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．78.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

79.

80.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．81.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．82.

83.84.

85.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．86.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则87.88.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

89.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

90.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

四、解答题(10题)91.证明：在区间(0，1)内有唯一实根．

92.

93.求

94.

95.

96.

97.98.

99.

100.求函数的二阶导数y''五、高等数学(0题)101.

六、解答题(0题)102.

参考答案

1.A

2.C本题考查的知识点为基本初等函数的求导．

y=5x，y'=5xln5，因此应选C．

3.C

4.B

5.C

6.B

7.A

8.B

9.A

10.A解析：

11.C本题考查的知识点为高阶偏导数．

由于z=ysinx，因此

可知应选C．

12.A本题考查的知识点为无穷级数的收敛性。

13.A本题考查的知识点为偏导数的计算。由于故知应选A。

14.C由于f'(2)=1，则

15.B本题考查了函数的单调性的知识点，

因y'=ex+1/（1+x2）＞0处处成立,于是函数在(-∞,+∞)内都是单调增加的，故在[-1,1]上单调增加。

16.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛。

由于的p级数，可知为收敛级数。

可知收敛，所给级数绝对收敛，故应选A。

17.B∵一1≤x一1≤1∴0≤x≤2。

18.C

19.A解析：

20.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1

y"-y=xex中自由项f(x)=xex，α=1是特征单根，应设y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。

所以选A。

21.C本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．

应依定义考察

由此可知，当x→0时，3x是x的同阶无穷小量，但不是等价无穷小量，故知应选C．

本题应明确的是：考察当x→x0时无穷小量β与无穷小量α的阶的关系时，要判定极限

这里是以α为“基本量”，考生要特别注意此点，才能避免错误．

22.A由不定积分的性质“先积分后求导，作用抵消”可知应选A．

23.B解析：

24.B本题考查的知识点为可导性的定义．当f(x)在x=1处可导时，由导数定义可得

25.D

26.C

27.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

28.A

29.B本题考查的知识点为可导性的定义．

当f(x)在x=1处可导时，由导数定义可得

可知f'(1)=1/4，故应选B．

30.B

31.D

32.B

33.A

34.C则x=0是f(x)的极小值点。

35.D

36.C解析：

37.B

38.D

39.Bf(x)=2x3-9x2+12x-3的定义域为(-∞，+∞)

f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。

令f'(x)=0得驻点x1=1，x2=2。

当x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调增加。

当1＜x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调减少。

当x＞2时，f'(x)＞0，f(x)单调增加。因此知应选B。

40.C

41.D

42.D关于yOz平面对称的两点的横坐标互为相反数，故选D。

43.A若点x0为f(x)的极值点，可能为两种情形之一：(1)若f(x)在点x0处可导，由极值的必要条件可知f"(x0)=0；(2)如f(x)=|x|在点x=0处取得极小值，但f(x)=|x|在点x=0处不可导，这表明在极值点处，函数可能不可导。故选A。

44.B

45.A

46.D

47.A

48.B

49.D

50.B

51.2/352.[-1，1

53.

本题考查的知识点为二重积分的计算．

54.(12)(01)

55.In2

56.所以b=2。所以b=2。

57.x=-3

58.

59.y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)

60.

61.

62.63.y=Ce-9x本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．

分离变量

两端分别积分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．

64.

65.(1+x)ex

66.

67.

68.

解析：

69.-ln｜3-x｜+C70.2x+y-3z=0本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系．

由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为2x+y-3z=0

71.

72.

73.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

74.

75.

列表：

说明

76.

77.函数的定义域为

注意

78.

79.

80.

81.

82.

则

83.84.由一阶线性微分方程通解公式有

85.由二重积分物理意义知

86.由等价无穷小量的定义可知

87.

88.

89.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

90.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

91.本题考查的知识点为闭区间上连续函数的零点定理；利用导数符号判定函数的单调性．

证明方程f(x)=0在区间(a，b)内有唯一实根，往往分两步考虑：(1)根的存在性：常利用连续函数在闭区间上的零点定理证明．(2)根的唯一性：常利用导数符号判定函数在给定的区间单调增加或减少．

92.

93.本题考查的知识点为极限的四则运算法则．

由于分母中含有根式，可以先将分子、分母同乘以

94.

95.

96.97.本题考查的知识点为两个：定积分表示－个确定的数值；计算定积分．

这是解题的关键!为了能求出A，可考虑将左端也转化为A的表达式，为此将上式两端在[0，1]上取定积分，可得

得出A的方程，可解出A，从而求得f(x)．

本题是考生感到困难的题目，普遍感到无从下手，这是因为不会利用“定积分表示－个数值”的性质．

这种解题思路可以推广到极限、二重积