2023年山西省太原市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年山西省太原市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.A.1

B.0

C.2

D.

2.A.1/3B.1C.2D.3

3.A.0B.1C.2D.4

4.

A.0

B.cos2-cos1

C.sin1-sin2

D.sin2-sin1

5.设f(x)=x3+x，则等于()。A.0

B.8

C.

D.

6.

7.若函数f(x)=5x，则f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

8.A.A.∞B.1C.0D.－1

9.

10.微分方程y"-4y=0的特征根为A.A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

11.设在点x=1处连续，则a等于()。A.-1B.0C.1D.2

12.

13.

14.（）。A.3B.2C.1D.0

15.

16.设等于()A.A.-1B.1C.-cos1D.1-cos1

17.当x→0时，3x2+2x3是3x2的()。A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小但不是等价无穷小D.等价无穷小

18.设y=cos4x，则dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx

19.设f(x)为区间[a，b]上的连续函数，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的封闭图形的面积为()。A.

B.

C..

D.不能确定

20.当x→0时，与x等价的无穷小量是（）

A.

B.ln(1+x)

C.

D.x2(x+1)

二、填空题(20题)21.曲线y=x3-6x的拐点坐标为______．

22.

23.设y=cosx，则y'=______

24.

25.

26.

27.

28.设z=ln(x2+y)，则全微分dz=__________。

29.

30.

31.

32.

33.设z=x2+y2-xy，则dz=__________。

34.微分方程y=x的通解为________。

35.

36.

37.设，且k为常数，则k=______．

38.

39.设，将此积分化为极坐标系下的积分，此时I=______.

40.

三、计算题(20题)41.

42.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

43.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

44.

45.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

46.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

47.

48.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

50.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

51.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

52.

53.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

54.求微分方程的通解．

55.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

56.证明：

57.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

58.

59.

60.

四、解答题(10题)61.

62.求，其中区域D是由曲线y=1+x2与y=0，x=0，x=1所围成．

63.

64.

65.

66.求xyy=1-x2的通解．

67.(本题满分10分)设F(x)为f(x)的－个原函数，且f(x)＝xlnx，求F(x)．

68.

69.

70.在曲线y=x2(x≥0)上某点A(a，a2)处作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的图形的面积为1/12．试求：(1)切点A的坐标((a，a2)．(2)过切点A的切线方程．

五、高等数学(0题)71.

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.C

2.D解法1由于当x一0时，sinax～ax，可知故选D．

解法2故选D．

3.A本题考查了二重积分的知识点。

4.A由于定积分

存在，它表示一个确定的数值，其导数为零，因此选A．

5.A本题考查的知识点为定积分的对称性质。由于所给定积分的积分区间为对称区间，被积函数f(x)=x3+x为连续的奇函数。由定积分的对称性质可知

可知应选A。

6.B

7.C本题考查了导数的基本公式的知识点。f'(x)=(5x)'=5xln5.

8.C本题考查的知识点为导数的几何意义．

9.A解析：

10.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根为2，-2，故选B。

11.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。

由于y为分段函数，x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于

当x=1为y=f(x)的连续点时，应有存在，从而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此选C。

12.B

13.B

14.A

15.D

16.B本题考查的知识点为可变上限的积分．

由于，从而知

可知应选B．

17.D本题考查的知识点为无穷小阶的比较。

由于，可知点x→0时3x2+2x3与3x2为等价无穷小，故应选D。

18.B

19.B本题考查的知识点为定积分的几何意义。由定积分的几何意义可知应选B。常见的错误是选C。如果画个草图，则可以避免这类错误。

20.B?

21.(0，0)本题考查的知识点为求曲线的拐点．

依求曲线拐点的一般步骤，只需

(1)先求出y"．

(2)令y"=0得出x1，…，xk．

(3)判定在点x1，x2，…，xk两侧，y"的符号是否异号．若在xk的两侧y"异号，则点(xk，f(xk)为曲线y=f(x)的拐点．

y=x3-6x，

y'=3x2-6，y"=6x．

令y"=0，得到x=0．当x=0时，y=0．

当x＜0时，y"＜0；当x＞0时，y"＞0．因此点(0，0)为曲线y=x3-6x的拐点．

本题出现较多的错误为：填x=0．这个错误产生的原因是对曲线拐点的概念不清楚．拐点的定义是：连续曲线y=f(x)上的凸与凹的分界点称之为曲线的拐点．其一般形式为(x0，f(x0))，这是应该引起注意的，也就是当判定y"在x0的两侧异号之后，再求出f(x0)，则拐点为(x0，f(x0))．

注意极值点与拐点的不同之处!

22.

23.-sinx

24.1

25.

本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

26.

27.

本题考查的知识点为定积分的基本公式．

28.

29.

30.

31.

32.(12)(01)

33.(2x-y)dx+(2y-x)dy34.本题考查可分离变量的微分方程．分离变量得dy=xdx，两端分别积分，∫dy=∫xdx，

35.3本题考查了幂级数的收敛半径的知识点.

所以收敛半径R=3.

36.极大值为8极大值为8

37.本题考查的知识点为广义积分的计算．

38.

39.

40.2本题考查的知识点为极限运算．

由于所给极限为“”型极限，由极限四则运算法则有

41.

42.

列表：

说明

43.由二重积分物理意义知

44.45.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

46.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％47.由一阶线性微分方程通解公式有

48.

49.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

50.

51.

52.

53.

54.55.由等价无穷小量的定义可知

56.

57.函数的定义域为

注意

58.

59.

则

60.

61.62.积分区域D如图1-4所示。D可以表示为0≤x≤1，0≤y≤1+x2本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序。如果将二重积分化为先对x后对y的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序。

63.

64.

65.

66.解先将方程分离变量，得

即为原方程的通解，其中c为不等于零的任意常数．67.本题考查的知识点为两个：原函数的概念和分部积分法．

由题设可得知

68.

69.70.由于y=x2，则y'=2x，曲线y=x2上过点A(a，a