初二数学菱形、矩形复习题含复习资料

初二数学菱形、矩形复习题矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：判定：如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于0点，过点0作AC的垂线EF,分别交AD，BC于E,F点，连接。已，则4CDE的周长为如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，点P在AB上,PE丄AC于E,PF丄BD于F,贝PE+PF等于

如图，在矩形ABCD中，DE丄AC于E,ZEDC：ZEDA=1：3,且AC=8，则DE的长度是如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且厶ABG，△DCH的面积分别为15和20,则图中阴影部分的面积为若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为如图，0是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是0A、0C的中点.下列结论:①Saade=SAE0D:②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EFXBD:④ZADE=ZED0；⑤ADEF是轴对称图形.其中正确的结论有AEBAEB如果矩形一条较短的边是5,两条对角线的夹角是60°,则对角线长是.RtAABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点，PE丄AB于E,PF丄AC于F,M为EF中点，则AM的最小值为.

如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为•AHD如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH,则△卩已卩和厶PGH的面积和等于.如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F,ZAED=2ZCED，点G是DF的中点，若BE=1,AG=4,则AB的长为.ADAD如图，点P在第一象限，AABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离；若将△ABP的PA边长改为卜迈，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为.

如图，在菱形ABCD中，AD=8,ZABC=120°,E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为.如图，在△ABC中，ZABC=90°,BD为AC的中线，过点C作CE丄BD于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF.若AG=13，CF=6，则BG=16．下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为（注：把你认为正确的命题序号都填上）如图，在矩形ABCD中，AE=AF,过点E作EH丄EF交DC于点H,过F作FG丄EF交BC于G,当AD、AB满足（关系）时，四边形EFGH为矩形.

如图，AABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F,BE丄DF交DF延长线于点E,若ZA=30°,BC=6，AF=BF，则四边形BCDE的面积是.19.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE丄AC，DF丄BC，垂足分别是点E、F,点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于如图，矩形ABCD中，AB=20cm,BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s),当七=时，四边形APQD也为矩形.?马一:卫卩B如图，在菱形ABCD中，ZBAD=60°,AC与BC交于点0,E为CD延长线上的一点，且CD=DE,连接BE分别交AC、AD于点F、G,连接0G,则下列结论中一定成立的是.(把所有正确结论的序号都填在横线上)①0G斗AB；②与AEGD全等的三角形共有5个；③S四边形cdgf>Lbf；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是BF、CD之间的关系式是◎C如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且ZA=ZD.求证：四边形ABCD为矩形；点E是AB边的中点，F为AD边上一点，Z1=2Z2,若CE=4,CF=5，求DF的长.DCAEAEB已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD,取AD的中点E,过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F,连接DF.求证：AF=DC；请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由.FASFAS7)C如图，在平行四边形ABCD中，ZDAB=60°,AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点,过点A作AG〃BD，交CB的延长线于点G.求证：四边形DEBF是菱形；请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角ZBAC的角平分线AE交BC于点E,AF是CD边上的中线，且PC丄CD与AE交于点P,QC丄BC与AF交于点Q.求证：四边形APCQ是菱形.27•矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE,F是AC上一点FH丄AE于H,FG丄CD于G,求证：FH+FG=AD.如图，在△ABC中，AC=9,AB=12,BC=15,P为BC边上一动点，PG丄AC于点G,PH丄AB于点H.求证：四边形AGPH是矩形；在点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由.ACPACP£如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,AD平分ZBAC交BC于点D,在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EF〃AB，分别交AC,BC于点E和点F,作PQ〃AC，交AB于点Q，连接QE.求证：四边形AEPQ为菱形；当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？在△ABC中，ZBAC=90°,AD丄BC于D,BG平分ZABC交AD于E,交AC于G,GF丄BC于F,连接EF.如图1，求证：四边形AEFG是菱形；如图2,若E为BG的中点，过点E作EM〃BC交AC于M,在不添加任何辅助线的情况31．阅读下面短文：如图①，AABC是直角三角形，ZC=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两解答问题：设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S、S，则SS(填“>”“=”1212或“V”).如图③，AABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画个，利用图③把它画出来.如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图④把它画出来.在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？如图1,菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF.求证：CE=CF；如图2,若H为AB上一点，连接CH，使ZCHB=2ZECB,求证：CH=AH+AB.

BB£CFDBB£CFD如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一点，BE交AC于F,连接DF.证明：ZBAC=ZDAC,ZAFD=ZCFE.若AB#CD，试证明四边形ABCD是菱形；在(2)的条件下，试确定E点的位置，使得ZEFD=ZBCD，并说明理由.B£DB£D将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线.重叠部分为四边形DHBG，试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积.如图，四边形ABCD中，AB〃DC,ZB=90°,F为DC上一点，且FC=AB,E为AD上一点,EC交AF于点G.(1)求证：四边形ABCF是矩形；(2)若EA=EG，求证:ED=EC.如图1,平行四边形ABCD，DE丄AB.垂足E在BA的延长线上，BF丄DC，垂足F在DC的延长线上.EEDDCEEDDC(1)求证：四边形BEDF是矩形；(2)如图2,若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN,求证：四边形EMFN是平行四边形．如图1,在RtAABC中，ZACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上,AE=BE,点M是AE的中点，联结CM,点G在线段CM上，作ZGDN=ZAEB交边BC于N.CADIU1DCADIU1DG产如图2,当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形;如图1,当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN.参考答案矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：

判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于0点，过点0作AC的垂线EF,分别交AD，BC于E,F点，连接。已，则4CDE的周长为AEZ)【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形，.•・AB=DC,BC=AD，0A=0C=0B=0D，AD〃BC,.\ZED0=ZFB0，•矩形ABCD的周长为20cm，.BC+DC=10cm，EF丄AC,.CE=CF，在厶ODE和厶OBF中，VED0=ZFB0〈OD=OB，lzdoe=zbof.•.△0DE9A0BF(ASA)，.DE=BF，

.•.△CDE的周长=DE+CE+DC=BF+CF+DC=BC+DC=10cm.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，点P在AB上，PE丄AC于E,PF丄BD于F,贝PE+PF等于【解答】解：方法一：设AP=x，PB=3-x.VZEAP=ZEAP，ZAEP=ZABC；VPR•••△AEPs^ABC,故圭=号①；543-tPF同理可得厶BFPs^DAB，故「厂②.+②得|■兰严，APE+PF=-方法二：（面积法）如图，作BM丄AC于M,贝BM==VS=S+S,△AOB△AOP△POB・•.寺・A0・BM吉・A0・PE兮・0B・PF,VOA=OB，.•・pe+pf=bm=¥・如图，在矩形ABCD中，DE丄AC于E,ZEDC：ZEDA=1：3,且AC=8，则DE的长度是阴影阴影△EFG△DCH【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形,.•・ZADC=90°,AC=BD=8,OA=OC令AC=4,OB=OD吉BD=4,.•・OC=OD,AZODC=ZOCD,VZEDC：ZEDA=1：3,ZEDC+ZEDA=90°,••・ZEDC=22.5°,ZEDA=67.5°,•DE丄AC,.•・ZDEC=90°,AZDCE=90°-ZEDC=67.5°,••・Z0DC=Z0CD=67.5°,.•・Z0DC+Z0CD+ZD0C=180°,.•・ZC0D=45°,.OE=DE,•OE2+DE2=OD2,.2DE2=OD2=16,.•・DE=2l2如图，E,F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且厶ABG,△DCH的面积分别为15和20,则图中阴影部分的面积为.S=S=15；△EFG△ABG同理：S=S=20.S=S=15；△EFG△ABG同理：S=S=20△EFH△DCH.S=S+S=15+20=35.△ADE△E0D△ADE△E0D5．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为【解答】解：菱形的面积为：寺X6X8=24.6．若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为【解答】解：如图，•・•两邻角度数之比为1：2,两邻角和为180°,.•・ZABC=60°,ZBAD=120°,••周长为16,.边长AB=4,・•・菱形的对角线AC=4,BD=2X4sin60°=4\3・•・面积=£AC・BD=£X4X41亏=8主.如图，0是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是0A、0C的中点.下列结论:①S^ade=S^E0D:②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EFXBD:④ZADE=ZED0；⑤ADEF是轴对称图形.其中正确的结论有B【解答】解：①正确•E、F分别是0A、0C的中点.・AE=0E．•/S=£XAEX0D=£XOEX0D=S△ADE22△EOD・S=S正确•・•四边形ABCD是菱形，E,F分别是OA,0C的中点..•.EF丄OD,OE=OF.•OD=OD．.DE=DF.同理：BE=BF・•・四边形BFDE是菱形.正确•菱形ABCD的面积^-ACXBD.E、F分别是OA、OC的中点..EF令AC.・•・菱形ABCD的面积=EFXBD.不正确由已知可求得ZFDO=ZEDO,而无法求得ZADE=ZEDO.正确EF丄OD,OE=OF,OD=OD.•••△DEO^ADFO..△DEF是轴对称图形.・•・正确的结论有四个，分别是①②③⑤如果矩形一条较短的边是5,两条对角线的夹角是60°，则对角线长是10【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AO=BO,AC、BD的夹角是60°,.•△ABO是等边三角形，・AO=AB=5,・•・对角线AC=2AO=2X5=10.故答案为：10.RtAABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点，PE丄AB于E,PF丄AC于F,cM为EFM为EF中点，则AM的最小值为【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形,•・•点M是矩形对角线EF的中点，贝延长AM应过点P,・••当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP丄BC时，AM有最小值,此时AM=*AP，由勾股定理知BC「■扯？+应严=5,•Saabc4Ab・AC=1tBC・AP，•••AP，"12・•・AM丄AP=.25如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为一.AHD【解答】解：连接HF，••四边形ABCD为矩形,

.•・AD=BC,AD〃BC,ZD=90°TH、F分别为AD、BC边的中点，.•・DH=CF,DH〃CF,VZD=90°,・•・四边形HFCD是矩形，•••△HFG的面积是£cDXDH^-S,矩形HFCD即S=S+S，△HFG△DHG△CFG同理S=S+S，△HEF△BEF△AEH.•.图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比是1：1,故答案为：1：1AHD11.如图，在矩形11.如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2,TAF=CG=2,AE=CH=4TAF=CG=2,AE=CH=4-1=3,ZA=ZC=90°,△AEF^^CHG,S=S=3；△AEF△CHG同理可证：△FHD9AGEB,S=S=1.5；△FHD△GEBFH=EG,EF=GH，即四边形EFHG是平行四边形;且S=S-2S-2S=11；平行四边形矩形△AEF△FHD

过P作过P作EF、GH的垂线，交EF于M，GH于N；如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F,ZAED=2ZCED,点G是DF的中点，若BE=1，AG=4,则AB的长为EgC【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点,.•・AG=DG,.\ZADG=ZDAG，•AD〃BC,.\ZADG=ZCED，.\ZAGE=ZADG+ZDAG=2ZCED,VZAED=2ZCED,.\ZAED=ZAGE,.AE=AG=4，在RtAABE中，AB「岖2-班2=.；牡-1匸「1£故答案为：115.如图，点P在第一象限，AABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是」+空_；若将△ABP的PA边长改为一迈，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为1+'：'宅.【解答】解：取AB的中点M,连OM,PM，在RtAABO中，OM=^=1，在等边三角形ABP中，PM=T^,无论△ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM,PM在一直线上时，P距O最远,TO到AB的最大值是;AB=1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理得：PM=3,.•・OP=l+l3,将厶AOP的PA边长改为2-..;2,另两边长度不变，••・ZPBA=90°，由勾股定理得:PM=_；］?+护=•_.：5,・•・此时OP=OM+PM=1+T5.故答案为：1+13,1+J5.如图，在菱形ABCD中，AD=8,ZABC=120°,E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，贝9PE+PB的最小值为」屯一

【解答】解：连接BD，DE，•・•四边形ABCD是菱形，••・B、D关于直线AC对称,•••DE的长即为PE+PB的最小值，•ABC=120°，ZBCD=60°,•△BCD是等边三角形，E是BC的中点，DE丄BC,CE^-BC^-X8=4,•:DE=述护-CE—/—4S2故答案为：4■帀.如图，在△ABC中，ZABC=90°,BD为AC的中线，过点C作CE丄BD于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.若AG=13,CF=6,则BG=5【解答】解:VAG#BD,BD=FG,・•・四边形BGFD是平行四边形,VCF丄BD,.•・CF丄AG,又•・•点D是AC中点，.•・BD=DF=*AC,・•・四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13-x,AC=2x,••在RtAACF中,ZCFA=90°,.•・AF2+CF2=AC2,即（13-x）2+62=（2x）2,解得：x=5,即BG=5．故答案是：5．16．下列命题：矩形的对角线互相平分且相等；对角线相等的四边形是矩形；菱形的每一条对角线平分一组对角；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为①③④（注：把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确.故答案为：①③④.如图，在矩形ABCD中，AE=AF,过点E作EH丄EF交DC于点H,过F作FG丄EF交BC于G,当AD、AB满足AB=AD（关系）时，四边形EFGH为矩形.【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形，••・ZA=90°.•AE=AF,••・ZAFE=ZAEF=45°.又VEH丄EF,FG丄EF.\ZGFB=ZHED=45°,•••△DHE和厶BGF都是等腰直角三角形.如果四边形EFGH是矩形，则EH=FG,•ED=FB又VAE=AF,•AD=AB.故答案是：AD=AB.OBQC如图，AABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F,BE丄DF交DF延长线于点E,若ZA=30°,BC=6,AF=BF，则四边形BCDE的面积是1&一：占.【解答】解：VAF=BF,即F为AB的中点，又DE垂直平分AC,即D为AC的中点,••・DF为三角形ABC的中位线，.•・DE〃BC,DF令BC,又ZADF=90°,ZC=ZADF=90°,又BE丄DE,DE丄AC,ZCDE=ZE=90°,•四边形BCDE为矩形,•.•BC=6,DF令BC=3,在RtAADF中，ZA=30°,DF=3,tan30°=晋［"，即AD=3Jg,.•・CD=AD=3T3,则矩形BCDE的面积S=CD・BC=18〕3.故答案为：1&3.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,点D是斜边AB上任意一点，DE丄AC,DF丄BC，垂足分别是点E、F,点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于2.4【解答】解：•・•在△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,.AB=10，连接CD,DE丄AC,DF丄BC,.四边形EDFC是矩形,EF=CD,ZEDF=90°,•点Q是EF的中点,DQ令EF令CD,当CD最小时，则DQ最小，根据垂线段最短可知当CD丄AB时，则CD最小,1116XS・・皿尹尹亍.=2.4,故答案为：2.4．如图，矩形ABCD中，AB=20cm,BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以lcm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s),当t=4时，四边形APQD也为矩形．罕气一:AP百【解答】解：根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形.此时，4t=20-t,解得t=4(s).故答案是：4．如图，在菱形ABCD中，ZBAD=60°,AC与BC交于点0,E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G,连接0G,则下列结论中一定成立的是①④.(把所有正确结论的序号都填在横线上)0G寺B；与AEGD全等的三角形共有5个；S>S；四边形CDGF△ABF由点A、B、D、E构成的四边形是菱形【解答】解：•・•四边形ABCD是菱形，.•・AB=BC=CD=DA,AB〃CD,OA=OC,OB=OD,AC丄BD,.•・ZBAG=ZEDG,AAB09ABC09ACD09AA0D,•CD=DE，.AB=DE,rZBAG=ZEDG在厶ABG和厶DEG中，工蹙GE二上DGE,:AB=DE.•.△ABG^ADEG(AAS),.AG=DG，.•・0G是厶ACD的中位线，OG二寺CD=*AB，①正确；•.•AB〃CE,AB=DE,・•・四边形ABDE是平行四边形，VZBCD=ZBAD=60°,.•.△ABD、ABCD是等边三角形，.•・AB=BD=AD,Z0DC=60°,••・OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确；.AD丄BE,由菱形的性质得：△ABG9ABDG9ADEG,rOD=AG在厶ABG和厶。。。中,Z0DC二二,iAB=DC.•.△ABG9ADC0(SAS),.•.△AB09ABC09ACD09AA0D^△ABG^^BDG^^DEG，②不正确；•0B=0D，AG=DG，.•・0G是厶ABD的中位线，

.•・OG〃AB,OG令AB,.•.△GODsAABD,AABFsAOGF,.△GOD的面积^△ABD的面积，AABF的面积=^0GF的面积的4倍，AF：0F=2：1,4•••△AFG的面积=^0GF的面积的2倍，又•••△GOD的面积=^A0G的面积=^B0G的面积,.S四边形ODGF=S△ABF.S四边形ODGF=S△ABF不正确；正确的是①④．故答案为：①④.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是一AC2+BF2=4CD2.5EC5EC【解答】解：•・•五边形abcde是正五边形，.•・AB〃CE,AD〃BC,.四边形ABCF是平行四边形，又•AB=BC=CD=DE=EA,.四边形ABCF是菱形,•AC丄BF,.OB2+OC2=BC2,•AC=2OC,BF=2OB,.AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2又•BC=CD,.AC2+BF2=4CD2.故答案为：AC2+BF2=4CD2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且ZA=ZD.(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)点E是AB边的中点，F为AD边上一点，Z1=2Z2,若CE=4,CF=5,求DF的长.【解答】(1)证明：•・•四边形ABCD是平行四边形,.•・AB〃CD,AZA+ZD=180°,又ZA=ZD,AZA=ZD=90°,・•・平行四边形ABCD为矩形；(2)解：延长DA,CE交于点G,•四边形ABCD是矩形，.\ZDAB=ZB=90°,AD〃BC,.\ZGAE=90°,ZG=ZECB,E是AB边的中点，・AE=BE,VG=ZECB在厶AGE和厶BCE中，ZG包E二ZE二90°二EE.•.△AGE^ABCE(AAS),・AG=BC,若CE=4，CF=5，设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2-DF2=CG2-DG2,即52-X2=82-(5+X)2,解得：x=£，即DF=g~.已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD,取AD的中点E,过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F,连接DF.求证：AF=DC；请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由.【解答】(1)证明:VAF#BC，.\ZAFE=ZDCE，又TE为AD的中点，.•・AE=DE,rZAFE=ZDCE在厶AE卩和厶DEC中，"三怔F二艺DEC，二DE.•.△AEF^ADEC(AAS)，.AF=DC；(2)解：当AD=CF时，四边形AFDC是矩形；理由如下:由(1)得：AF=DC且AF〃DC,.四边形AFDC是平行四边形，又VAD=CF,・•・四边形AFDC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).如图，在平行四边形ABCD中，ZDAB=60°,AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点,过点A作AG〃BD，交CB的延长线于点G.求证：四边形DEBF是菱形；请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明.【解答】(1)证明：•・•四边形ABCD是平行四边形・•・AB〃CD且AB=CD，AD〃BC且AD=BCE，F分别为AB，CD的中点，.•.BE令AB,DF=*CD,・BE=DF，・•・四边形DEBF是平行四边形在厶ABD中，E是AB的中点，.•・AE=BE=*AB=AD,而ZDAB=60°.•.△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，故DE=BE・•・平行四边形DEBF是菱形.(2)解：四边形AGBD是矩形，理由如下:•AD〃BC且AG〃DB・•・四边形AGBD是平行四边形由(1)的证明知AD=DE=AE=BE，/.ZADE=ZDEA=60°，ZEDB=ZDBE=30°故ZADB=90°・•・平行四边形AGBD是矩形.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,BC=CD，锐角ZBAC的角平分线AE交BC于点E,AF是CD边上的中线，且PC丄CD与AE交于点P,QC丄BC与AF交于点Q.求证：四边形APCQ是菱形.【解答】证明：TACrAD,AF是CD边上的中线,.•・ZAFC=90°,.\ZACF+ZCAF=90°，VZACF+ZPCA=90°,.\ZPCA=ZCAF,.•・PC〃AQ,同理：AP〃QC,・•・四边形APCQ是平行四边形.•.•AF〃CP,AE〃CQ,/.ZEPC=ZPAF=ZFQC,TAB=AC,AE平分ZBAC,.•・CE=BE=+cB（等腰三角三线合一），TAF是CD边上的中线，.•・CF令CD,TCB=DC，.CE=CF，•.•PC丄CD,QC丄BC,ZECP+ZPCQ=ZQCF+ZPCQ=90°，.•・ZPCE=ZQCF,.•.△PEC^AQFC(AAS),.PC=QC,.四边形APCQ是菱形．矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE,F是AC上一点FH丄AE于H,FG丄CD于G,求证：FH+FG=AD.—【解答】证明：连接EF，如图所示：VFH丄AE于H,FG丄CD于G,.•.△ACE的面积=^AEF的面积+△CEF的面积^-AE・Fh¥cE・FG,VAE=CE,.△ACE的面积=*：E(FH+FG),又•・•四边形ABCD是矩形，.AD丄CD,.△ACE的面积=^CE・AD,.FH+FG=AD.如图，在△ABC中，AC=9,AB=12,BC=15,P为BC边上一动点，PG丄AC于点G,PH丄AB于点H.求证：四边形AGPH是矩形；在点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由.【解答】（1）证明VAC=9AB=12BC=15,.•・AC2=81,AB2=144,BC2=225，.°.AC2+AB2二BC2,••・ZA=90°.VPG丄AC,PH丄AB,.\ZAGP=ZAHP=90°,・•・四边形AGPH是矩形；存在.理由如下：连结AP..GH=AP.•・•当AP丄BC时AP最短..9X12=15•AP.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,AD平分ZBAC交BC于点D,在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EF〃AB，分别交AC,BC于点E和点F,作PQ〃AC，交AB于点Q，连接QE.求证：四边形AEPQ为菱形；当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？【解答】(1)证明:•••EF〃AB,PQ〃AC,・•・四边形AEPQ为平行四边形，.\ZBAD=ZEPA,AB=AC,AD平分ZCAB,.\ZCAD=ZBAD,.\ZCAD=ZEPA,・EA=EP，・•・四边形AEPQ为菱形.91(2)解：P为EF中点，即AP^-AD时，S卄=^S菱形AEPQ四边形EFBQ•四边形AEPQ为菱形，.•.AD丄EQ,AB=AC,AD平分ZBAC,.AD丄BC,.•・EQ〃BC,又•EF〃AB,・•・四边形EFBQ为平行四边形.作EN丄AB于N,如图所示：沖Q在△ABC中，ZBAC=90°,AD丄BC于D,BG平分ZABC交AD于E,交AC于G,GF丄BC于F,连接EF.如图1,求证：四边形AEFG是菱形；如图2,若E为BG的中点，过点E作EM〃BC交AC于M,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段.【解答】(1)证明:TAD丄BC,GF丄BC,.\ZADF=ZGFC=90°,.•・AE〃GF,在厶ABG和^FBG中，VBAG=ZBFG〈ZABG=ZFBG,tBG=BG.•.△ABG^AFBG,・AG=FG,VZFBG+ZBED=90°,VZBED=ZAEG,/.ZFBG+ZAEG=90°,VZABG+ZAGE=90°,VZABG=ZFBG,.•・ZAEG=ZAGE,.•・AE=AG,.•・AE=FG,•°・四边形AEFG是平行四边形，•.•AE=AG・・・四边形AEFG是菱形.(2)解：•・•四边形AEFG是菱形，.AE=AG,BE=EG,ZBAG=90°,.AE=BE=EG,.△AEG是等边三角形,ZAGE=60°,在RTAABG中，•.•ZABG=30°,.•・AB=l3AG,VZC=30°,.BC=2AB,BE=GE,EF〃AC,EM〃BC,.BF=FC,CM=GM,在RT^AEM中，•ZAME=ZC=30°,ZGEM+ZGME=60°,ZGEM=ZGME=30°,.EG=AG=GM=CM,EM〃FC,EF〃CM,・•・四边形EFCM是平行四边形，.•・AB=BF=CF=EM=T3CM,・•.是CM长运倍的所有线段有AB、BF、CF、EM.31．阅读下面短文：如图①，AABC是直角三角形，ZC=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两解答问题：设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S、S,贝则S=S(填“〉”“=”或1212“V”).如图③，AABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画1个，利用图③把它画岀来.如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB,按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出3个，利用图④把它画岀来.在(3)中所画岀的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？【解答】解：(1)=(2)13以AB为边长的矩形周长最小，设矩形BCED,ACHQ，ABGF的周长分别为.，.，L3,BC=a，AC=b，AB=c.易得三个矩形的面积相等，设为S，.•・L=+2a；L=+2b；L=+2c.123°.°L-L=2(a-b)'而a-b>0,ab-s>0,ab>012.L-L>0,12.L>L,同理可得L>L1223.以AB为边长的矩形周长最小.AEDPCE打AEDPCE打如图1,菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF.求证：CE=CF；如图2,若H为AB上一点，连接CH,使ZCHB=2ZECB,求证：CH=AH+AB.£B£CAF圏£B£CAF圏1【解答】(1)证明：•・•四边形ABCD是菱形,.\ZB=ZD,AB=BC=CD=AD,••点E、F分别为AB、AD的中点,.•.be=£ab,df=£ad,.BE=DF,在DCF中，'BC=DC〈ZB=ZD,RE=DF.•.△BCE^ADCF(SAS),.•・CE=CF；(2)证明：延长BA与CF,交于点G,•・•四边形ABCD是菱形，.\ZB=ZD,AB=BC=CD=AD,AF〃BC,AB〃CD,AZG=ZFCD,••点F分别为AD的中点，且AG〃CD,.AG=AB,•△BCE^^DCF,.\ZECB=ZDCF,VZCHB=2ZECB,.\ZCHB=2ZG,VZCHB=ZG+ZHCG,AZG=ZHCG,.GH=CH,.CH=AH+AG=AH+AB．如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一点，BE交AC于F,连接DF.证明：ZBAC=ZDAC,ZAFD=ZCFE.若AB#CD，试证明四边形ABCD是菱形；在(2)的条件下，试确定E点的位置，使得ZEFD=ZBCD，并说明理由.【解答】(1)证明：在厶ABC和厶ADC中,'AB=AD〈BC=DC,、AC=AC.•.△ABC^AADC(SSS),.\ZBAC=ZDAC,在厶ABF和厶ADF中，"AB=AD<ZBAF^ZDAF,tAF=AF.•.△ABF^AADF(SAS),.\ZAFD=ZAFB,VZAFB=ZCFE,.\ZAFD=ZCFE；证明：•••AB〃CD,.\ZBAC=ZACD,又VZBAC=ZDAC,.\ZCAD=ZACD,.AD=CD,•AB=AD,CB=CD,.AB=CB=CD=AD,.四边形ABCD是菱形；当EB丄CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，ZEFD=ZBCD,理由：••四边形ABCD为菱形，?.BC=CD,ZBCF=ZDCF,在厶BCF和ADCF中，宜二CD<ZBCF=ZDCF,[CF=CF.•.△BCF^ADCF(SAS),.\ZCBF=ZCDF,TBE丄CD,.•・ZBEC=ZDEF=90°,.\ZBCD+ZCBE=ZCDF+ZEFD,.\ZEFD=ZBCD.将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图