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第四章 随机向量§1 二维随机变量及其分布在实际问题中,有很多随机现象,往往需要引进商个.三个或更多个变量来描述,为此,有必要研究多维随机变量.本节主要对二维随机变量展开讨论,至于二维以上情形可以类推.一二维随机变景及其分布1- 定义设随机试蛉的样本空间为0,X和丫是定义在□上的两个随机变血,我们称向景(X,y)为二维随机变量或二维随机向量.2•定义:义设(x,y)是一个二维随机变量,二元函数FO,2)= (一ooO<十co,—ooVVV+8)称为(x,v)的分布函数,或称x与丫的联合分布函数.如果隹(X.Y)肴成是平而!:的魂机点,妙分布函数FQJ)表示启(x,y)落在无限的矩形区域=“一 毛此内的概率,容易看出随机点(X,Y)落在健形域:的概率为=F3芬饥)一F(%,垢)—F(色*拍)+F(%.二维随机变量的分布函数F。")有下列诸条性质:0<F3)<,2口FIX30对■其和y分别是单调不减的,即对任意的为若为<刘则Fg,)MF(%y)f对任意的七若七〈为,则F。, 为)}3° 对每个变元是右连续的;4°limFO,y)=0.lim T)=0§Vf—8)imF。,7)=0;髯i~ilimF〈*,7)=1,Xf+m1—+3以上结果常记成;F(—co,y)=0,F(x,—co)=。*F(—co,—8)=0*F(+oo,+8)=1.二二维离散型随机变景若二维随机变量〈X,K)的所有可能取的值是有限个或可列无限多个数组,则称〈X,矿)为二维肯列型随机变量.■«n■■ r. -■ I 设(X*丫)是二维离散型随机变量,它的所有可能取值为(&,w),(bj=l,2*…),其取值规律记为P{X-XitF=打,(f,j=lr2,…)则称P{X^xi9Y=Uj}—pij(i3J—1,2,…)为(7GV〉的分布律.分布律常用袤格形式表达,其形式为

满足 f"1例1设随机变y>H能取《一LD),(0,OT(ofD三组翊且取这些数对的概率分别是}§和*r试用表格形式列出(X,F)的分布律.W£装中有5个同样大小的球,Z个涂有白色,3个祢有红色,现进行有放回地与无放回地抽球两次,每次抽一只,定义随机变量x_f°>若第一次抽到红球若第一次抽到白球55 25户{Xh户{Xh〕*y—i}=—•—=^A5525其表格形式为9 6其表格形式为9 625 25J 425 25无放回地抽取,其分布律为6565P{jY=O子Y=1}=—*—=—

【例】从1,2,3,4四个整数中随机地取一个'记所取的数为X,再从I到X中随机地取一个,记所取的数为y,求的分布律.解显然x,丫均为离散型随机变量,它们的可能取值均为1,2,3,4,(X,Y)的分布律::

三二维连续型随机变置1.定义:设FSG为二维随机变量顷”的分布谖数,如果对任意(孙必,存在非负可积函数『3,G,«I了3,y)dxdyJ一ctJ—aS尸{3,尸{3,必兴}=。y)dxdy例3已知(才,F)的盈度函数为心y)=玲(6一,1皿'GW2,2&W4

"。, 其它设⑴刀I为平面上由黑■<,所确定的区域(图2—14以(2)3为平面上由x+y<^所确定的区域(图2—15).试求(>=1,2),解⑴P{(xty)CZ)J=F(1,3)~y^dxdy*13= \fSy)dxdyJ-cdJ-»=j*匚普6f-必的=亨

<2) (礼I+, 小例4设(X,K)的密度函数为O0,y>0其它求⑴常数勺(2)分布函数*⑶(X,F》落在三角形区域心0, 3忘2-曷内的概率〈图2—16).1*12-1Q1*12-1Q解有也就是(1)解有也就是(1)由密度函数性质(幻「山「fooJ°[yf=i=e「-矿勺+fl°[-#叮0由此求得c=l+ca=1n(2)I(2)IJ 5"如如0.fS护dud。其它穴1一矿*)(1),w>0,y>0n,其它(3)P{(Xf%)EG}=||/(x,y)<!xdy=Jdx==(1一gTF=0,3996二维连续型随机变量常见的分布有均匀分布和正态芬布.1•二维均匀分布"设G是平面上面积为zz(0<zj<+oo)的区域■称二维随机向量(XW)服从G上的均匀分布,如果F{(X,n&G)=l,且CC"取值属于G之任何部分占以是G的子区域)的概率与A的面积成正比,这时(XJO称为二维均匀分布随机向量.均匀分布随机向量(XY)的联合密度为0,其它.2•二维正态分布:如果£=(XN)的密度函数(f8VhV+°°¥—8<;,<+8)(其中一ocV/M*V+8*—ooV的V+g*ch>(hcrg>0#Ip|<l是5个参数)则称服从二维正态分布(或称为二Jft正态分布随机向量),称小为二维正态密度.边缘分布'通过上边的讨论.不3®着出,二维随机变量的每一个分•量又都是一维随机变量,它们的分布函数当然是一缠的,又由于〈X,F》作为一个整体又有联合分布,那么分贤的分布与联合分布必然存在某种联系,这一点表现出分量分布与前边所讲的一维分布不完全相同*于是引入边缘分布幌念.I离散型随机变量的边缘分布设(X,丫》的联合分布律为RX=为,yUXL,2,河得GO(竿)=F。勺+8)=£52Pa:t,Vtf三1可知应的分演律为toj=i同栉,F的分布律为尹{¥=队}=»力mJr2,*如<=1记=»=P{X=”J9SHL2*'T>i■=L*“=】,由“=旦厂7=h2t…显然,X与F的分布也是离散型的.边缘分布律与联合分布律可用同一表格表达出来,其形式如下:例5已知(X,丫)的联合分布律为x-23一」0330J230263063063039A23303030求关于*和关于F的边缘分布律.解先列表计算

由此得到关于火与关于F的边缘分布律分别为X-1 2 3187P■303030F-123-Pk303030有^x(x>=I /(x,y)dc/x,J-sij—. j扇然关于X的边缘分布函数Fg是连续型的,其密度函数为扣3)=\f〈方君)心.J-®同理ri-g/y(V)=I心,10dxJ-《=是关于V的边缘密度函数-意))当已知二维连续型随机向量(X.Y)的分布密度p】.意))时,求关于X和关于Y的边缘分布密度时,须计算积分J*■'二n力(―>)d»J—«如(,)= 户0如(,)= 户0商)di.J1二―当p<^.y)的表达式分区域给出,并且在某些区域上/>(工心)=0,为了计算积分为了计算积分如M)=首先要根据为危以)的表达式,确定N的取值的某些范围.在这些范围内,对任意〃有"少=Q,于是,当]在这些范围内取值时如G)=°,意在这些范围之外取值时,把卫视为常数,确定'的取值范围,使pG")产。,从而积分化为在上述的取值范围内的积分•一般「对y积分的上,下限可能是卫的函数,计算,+OU/(H.y)djr—CTj的方法与工)类假例6设〈X,7)在平面区域G(图2-19所示)上服从陶匀分布,求(D关于(X,F)的联合分布密度函数,(2)关于X和关于¥的边缘密度函数.解(1)G的面积为S(G)=1,因此得(X,V)的联合密度函数为I r1 , 3*携€GfgT,其它(2)先求关于X的边缘密度函巍.当或丈>2时,显然,43)当0<x<2时,TOC\o"1-5"\h\zt» rf3,y)dy=IL j+i^t> OJyi- £1一言,C<x<20,其它同理求得关于V的边缘分布密度函敬2(1-1/),0<p<l0,其它【例8】P.109----例1.7例7设(X,P)服从二维正态分布,它的密度函数为SG=湍云念芸祠-点训肃关于X与关于r的边缘密度函数.打⑴=匚川,必必=洞^^M 1_ 「业一心金-— —例)-询'金&心一函Lcti2 o-jcr3丁ffi河见关于X的边缘分布为(由,。了).由对称性知关于丫的边缘分布为*(出,a/)Te-彻)22{T22例7告诉我们w二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,而且均与参数Q无关,该例还姓一步表明「边缘分布由联合分布唯一确定,而反过来,一般情况下边缘分布不能确定联合分布.即一般情况下3丰0)f(x,力,f(x)f(》)五触机变■的独立性例7的结论指出,一艘情况下边缘分布不能确定联合分布,这里隐含着在特殊情况下,边缘分布还可以确定联合分布,这种特殊情况是由X与V间的相互关系所决定的,我们把这种关系称为X0P的相互独立性,下也给出具体定义.设Fsm, 分别是(X,r>的联合分布函数和边绿分布函数,若对一切的*和y都有F⑷y)—F^(.r)7?y(y>则称随祖变量X与F相互独立.利用事件的粮互独立性定义及分布函数与密度函数间的I关系,可以推出随机变量相互独立性有如下等价关系,(1)若(X,『)是离散型随机变量,X与V相互独立的充分必要条件是,对(X,T)的所有可能取值〈&,们〉都有(2)若〈x,『)是连续型随机变量『则x与v相互独立的充分必要条件是,对一切的K,f(x『=fAy)下面给出(2)的证明'如果X、F相互独立,则由fx(x)dx"-® f\这说明x、『相互独立.【注意】(i)在判断x和y是否相互独立时,首先由(x,y)的概率分布(分布密度)求出关于x的边缘分布(边缘分布密度)和关于y的边缘分布(边缘分布密度),再确定其独立性.(2)联合密度决定边缘密度•一般讲,边缘密度不能决定联合密度,但当x,v相互独立时,两个边缘密度gG和勤顷》的乘积就是联合密度,也就是说*当x独立时,边缘密度也能确定联合密度.(3)由例7知,二维正态分布,f(乙y)丰f(w,(y),(p。°)若(x,丫)服从二维正态分布,则它们相互独立的充要条件是p=o.例8设(X、F)•的联合分布律为TOC\o"1-5"\h\z旦 J £20 20 202 1220 20 M2^ £20 商 20何X与『是否相有独立?p=PggP宙(i,j=1,2,3)X,Y是相互独立的.9证明例6中两随机变量不相互独立.由例6知…11《方y)丘G0,其它m)=}—苏。〈心(o.其它<2(1—y5s0<yVl偈T。,其它.在f(x,必,f的连续点y=^-处勤=1显然"-亳Ar\2Z」故X与V不粗互独立例1。证明铜7中的两个随机变量X与/相互独立的一充分必要条件是P=0.证设X与V相互独立.由例7知X与V的密度函数分1 _ -1)七别是"心■厂,1 一(■一咨三、住E)=彰兀建,例口设(X,丫)的分布函数是]_君-。如」©*2十厂msp,太河,O,. 其它问(1)X与Y是否相互整立<2)求P{XA120,r>i2OFJB<i>x与/的辿缘分布函数是.F又3)=F(s4-co)_1F又3)=F(s4-co)_1一苗2Z邱,y>Qy<0对一切的*,V都有F〈礼幼=Fx3F—y)故X与丫相互独立.<2)由于X与F相宜独立,=:1一FW2。}]口一FW20}]=T1-^^(120)X1-Ft(12O)J=厂£回*0.。907独立性的概念是由实际问题中提密来的,在独立的情无下,边缘分布唯一决定联合分布,这就将-二维的问题化为一维问题,使问题简单化了,因此独立性的概念是非常重要的概念.【例12】已知X,F独立同分布,其概率密度为/对s x>0I0 jcW。试写出(XfY)的联合概率密度。六.习题:1.课外:…1,(补充)求概率尸(1-XV2,3<Y<4)2, 4,82.课内: ---3,5,7.例15设(X-XifX,)的

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