二维随机变量

第四章 随机向量§1 二维随机变量及其分布在实际问题中，有很多随机现象，往往需要引进商个.三个或更多个变量来描述,为此，有必要研究多维随机变量.本节主要对二维随机变量展开讨论，至于二维以上情形可以类推.一二维随机变景及其分布1- 定义设随机试蛉的样本空间为0,X和丫是定义在□上的两个随机变血，我们称向景（X,y）为二维随机变量或二维随机向量.2•定义：义设（x,y）是一个二维随机变量，二元函数FO,2）= （一ooO＜十co,—ooVVV+8）称为（x,v）的分布函数，或称x与丫的联合分布函数.如果隹（X.Y）肴成是平而！:的魂机点，妙分布函数FQJ）表示启（x,y）落在无限的矩形区域=“一 毛此内的概率,容易看出随机点（X,Y）落在健形域：的概率为=F3芬饥）一F（%,垢）—F（色*拍）+F（%.二维随机变量的分布函数F。"）有下列诸条性质：0＜F3）＜，2口FIX30对■其和y分别是单调不减的，即对任意的为若为＜刘则Fg，）MF（%y）f对任意的七若七〈为，则F。, 为）}3° 对每个变元是右连续的;4°limFO,y)=0.lim T)=0§Vf—8)imF。，7)=0；髯i~ilimF〈*,7)=1,Xf+m1—+3以上结果常记成；F(—co,y)=0,F(x,—co)=。*F(—co,—8)=0*F(+oo,+8)=1.二二维离散型随机变景若二维随机变量〈X,K）的所有可能取的值是有限个或可列无限多个数组，则称〈X,矿）为二维肯列型随机变量.■«n■■ r. -■ I 设（X*丫）是二维离散型随机变量，它的所有可能取值为（&,w）,（bj=l,2*…），其取值规律记为P{X-XitF=打，（f,j=lr2,…）则称P{X^xi9Y=Uj}—pij（i3J—1,2,…）为（7GV〉的分布律.分布律常用袤格形式表达，其形式为

满足 f"1例1设随机变y>H能取《一LD),(0,OT(ofD三组翊且取这些数对的概率分别是｝§和*r试用表格形式列出(X,F)的分布律.W£装中有5个同样大小的球，Z个涂有白色，3个祢有红色，现进行有放回地与无放回地抽球两次，每次抽一只，定义随机变量x_f°>若第一次抽到红球若第一次抽到白球55 25户{Xh户{Xh〕*y—i}=—•—=^A5525其表格形式为9 6其表格形式为9 625 25J 425 25无放回地抽取，其分布律为6565P{jY=O子Y=1}=—*—=—

【例】从1,2,3,4四个整数中随机地取一个'记所取的数为X,再从I到X中随机地取一个，记所取的数为y,求的分布律.解显然x,丫均为离散型随机变量，它们的可能取值均为1,2,3,4,(X,Y)的分布律::

三二维连续型随机变置1.定义：设FSG为二维随机变量顷”的分布谖数，如果对任意（孙必，存在非负可积函数『3,G,«I了3,y）dxdyJ一ctJ—aS尸｛3,尸｛3,必兴｝=。y)dxdy例3已知（才，F）的盈度函数为心y）=玲（6一,1皿'GW2,2&W4

"。， 其它设⑴刀I为平面上由黑■＜，所确定的区域（图2—14以（2）3为平面上由x+y＜^所确定的区域（图2—15）.试求（＞=1,2）,解⑴P{(xty)CZ)J=F(1,3)~y^dxdy*13= \fSy)dxdyJ-cdJ-»=j*匚普6f-必的=亨

<2) (礼I+, 小例4设(X,K)的密度函数为O0,y>0其它求⑴常数勺(2)分布函数*⑶(X,F》落在三角形区域心0, 3忘2-曷内的概率〈图2—16).1*12-1Q1*12-1Q解有也就是(1)解有也就是(1)由密度函数性质(幻「山「fooJ°[yf=i=e「-矿勺+fl°[-#叮0由此求得c=l+ca=1n(2)I(2)IJ 5"如如0.fS护dud。其它穴1一矿*)(1),w>0,y>0n,其它(3)P{(Xf%)EG}=||/(x,y)<!xdy=Jdx==(1一gTF=0,3996二维连续型随机变量常见的分布有均匀分布和正态芬布.1•二维均匀分布"设G是平面上面积为zz(0<zj<+oo)的区域■称二维随机向量(XW)服从G上的均匀分布,如果F{(X,n&G)=l,且CC"取值属于G之任何部分占以是G的子区域)的概率与A的面积成正比，这时(XJO称为二维均匀分布随机向量.均匀分布随机向量(XY)的联合密度为0,其它.2•二维正态分布：如果£=(XN)的密度函数(f8VhV+°°¥—8<；,<+8)(其中一ocV/M*V+8*—ooV的V+g*ch>(hcrg>0#Ip|<l是5个参数)则称服从二维正态分布(或称为二Jft正态分布随机向量)，称小为二维正态密度.边缘分布'通过上边的讨论.不3®着出，二维随机变量的每一个分•量又都是一维随机变量，它们的分布函数当然是一缠的，又由于〈X,F》作为一个整体又有联合分布，那么分贤的分布与联合分布必然存在某种联系，这一点表现出分量分布与前边所讲的一维分布不完全相同*于是引入边缘分布幌念.I离散型随机变量的边缘分布设（X,丫》的联合分布律为RX=为,yUXL,2,河得GO（竿）=F。勺+8）=£52Pa:t,Vtf三1可知应的分演律为toj=i同栉，F的分布律为尹｛¥=队｝=»力mJr2,*如<=1记=»=P{X=”J9SHL2*'T>i■=L*“=】,由“=旦厂7=h2t…显然，X与F的分布也是离散型的.边缘分布律与联合分布律可用同一表格表达出来，其形式如下：例5已知（X,丫）的联合分布律为x-23一」0330J230263063063039A23303030求关于*和关于F的边缘分布律.解先列表计算

由此得到关于火与关于F的边缘分布律分别为X-1 2 3187P■303030F-123-Pk303030有^x（x>=I /（x,y）dc/x,J-sij—. j扇然关于X的边缘分布函数Fg是连续型的，其密度函数为扣3）=\f〈方君）心.J-®同理ri-g/y（V）=I心,10dxJ-《=是关于V的边缘密度函数-意))当已知二维连续型随机向量（X.Y）的分布密度p】.意))时,求关于X和关于Y的边缘分布密度时,须计算积分J*■'二n力（―>）d»J—«如（，）= 户0如（，）= 户0商）di.J1二―当p<^.y）的表达式分区域给出，并且在某些区域上/>（工心）=0,为了计算积分为了计算积分如M)=首先要根据为危以)的表达式，确定N的取值的某些范围.在这些范围内，对任意〃有"少=Q,于是，当］在这些范围内取值时如G)=°，意在这些范围之外取值时，把卫视为常数，确定'的取值范围，使pG")产。,从而积分化为在上述的取值范围内的积分•一般「对y积分的上，下限可能是卫的函数,计算,+OU/（H.y）djr—CTj的方法与工)类假例6设〈X,7)在平面区域G(图2-19所示)上服从陶匀分布,求(D关于(X,F)的联合分布密度函数，(2)关于X和关于¥的边缘密度函数.解(1)G的面积为S(G)=1,因此得(X,V)的联合密度函数为I r1 , 3*携€GfgT,其它(2)先求关于X的边缘密度函巍.当或丈＞2时，显然，43)当0<x<2时,TOC\o"1-5"\h\zt» rf3,y)dy=IL j+i^t> OJyi- £1一言，C<x<20,其它同理求得关于V的边缘分布密度函敬2(1-1/),0<p<l0，其它【例8】P.109----例1.7例7设(X,P)服从二维正态分布，它的密度函数为SG=湍云念芸祠-点训肃关于X与关于r的边缘密度函数.打⑴=匚川，必必=洞^^M 1_ 「业一心金-— —例)-询'金&心一函Lcti2 o-jcr3丁ffi河见关于X的边缘分布为（由，。了）.由对称性知关于丫的边缘分布为*（出，a/）Te-彻）22{T22例7告诉我们w二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，而且均与参数Q无关,该例还姓一步表明「边缘分布由联合分布唯一确定，而反过来，一般情况下边缘分布不能确定联合分布.即一般情况下3丰0）f（x，力，f（x）f（》）五触机变■的独立性例7的结论指出，一艘情况下边缘分布不能确定联合分布，这里隐含着在特殊情况下，边缘分布还可以确定联合分布，这种特殊情况是由X与V间的相互关系所决定的，我们把这种关系称为X0P的相互独立性，下也给出具体定义.设Fsm, 分别是（X,r>的联合分布函数和边绿分布函数，若对一切的*和y都有F⑷y）—F^（.r）7?y（y>则称随祖变量X与F相互独立.利用事件的粮互独立性定义及分布函数与密度函数间的I关系,可以推出随机变量相互独立性有如下等价关系，（1）若（X,『）是离散型随机变量，X与V相互独立的充分必要条件是，对（X,T）的所有可能取值〈&,们〉都有（2）若〈x,『）是连续型随机变量『则x与v相互独立的充分必要条件是，对一切的K,f（x『=fAy）下面给出（2）的证明'如果X、F相互独立，则由fx（x）dx"-® f\这说明x、『相互独立.【注意】（i）在判断x和y是否相互独立时,首先由（x,y）的概率分布（分布密度）求出关于x的边缘分布（边缘分布密度）和关于y的边缘分布（边缘分布密度），再确定其独立性.（2）联合密度决定边缘密度•一般讲，边缘密度不能决定联合密度，但当x,v相互独立时,两个边缘密度gG和勤顷》的乘积就是联合密度，也就是说*当x独立时，边缘密度也能确定联合密度.（3）由例7知，二维正态分布，f（乙y）丰f（w,（y）,（p。°）若（x,丫）服从二维正态分布,则它们相互独立的充要条件是p=o.例8设（X、F）•的联合分布律为TOC\o"1-5"\h\z旦 J £20 20 202 1220 20 M2^ £20 商 20何X与『是否相有独立?p=PggP宙（i，j=1,2,3）X，Y是相互独立的.9证明例6中两随机变量不相互独立.由例6知…11《方y）丘G0,其它m)=}—苏。〈心(o.其它<2(1—y5s0<yVl偈T。，其它.在f（x,必,f的连续点y=^-处勤=1显然"-亳Ar\2Z」故X与V不粗互独立例1。证明铜7中的两个随机变量X与/相互独立的一充分必要条件是P=0.证设X与V相互独立.由例7知X与V的密度函数分1 _ -1）七别是"心■厂,1 一（■一咨三、住E）=彰兀建,例口设（X,丫）的分布函数是]_君-。如」©*2十厂msp,太河,O，. 其它问（1）X与Y是否相互整立<2）求P{XA120,r>i2OFJB<i>x与/的辿缘分布函数是.F又3)=F(s4-co)_1F又3)=F(s4-co)_1一苗2Z邱,y>Qy<0对一切的*,V都有F〈礼幼=Fx3F—y）故X与丫相互独立.<2)由于X与F相宜独立，=：1一FW2。}]口一FW20}]=T1-^^(120)X1-Ft(12O)J=厂£回*0.。907独立性的概念是由实际问题中提密来的，在独立的情无下，边缘分布唯一决定联合分布，这就将-二维的问题化为一维问题，使问题简单化了，因此独立性的概念是非常重要的概念.【例12】已知X,F独立同分布，其概率密度为/对s x>0I0 jcW。试写出(XfY)的联合概率密度。六.习题：1.课外：…1,(补充)求概率尸(1-XV2,3<Y<4)2, 4,82.课内： ---3,5,7.例15设(X-XifX,)的