云南省昆明市寻甸回族彝族自治县第二中学2021年高三数学理期末试题含解析

云南省昆明市寻甸回族彝族自治县第二中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知A={x|﹣4＜x＜1}，B={x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∪B等于（）A．（﹣3，1） B．（﹣2，1） C．（﹣4，2） D．（﹣4，3）参考答案：D【考点】并集及其运算．【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．【解答】解A={x|﹣4＜x＜1}=（﹣4，1），B={x|x2﹣x﹣6＜0}=（﹣2，3）∴A∪B=（﹣4，3）故选：D．2.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（

）

（A）

（B）

（C） （D）参考答案：【答案解析】A

解析：经过变换后的新函数为，而对称轴是函数取得最值的x值，经检验选项A成立，所以选A.【思路点拨】先依题意得到变换后的新函数，再根据对称轴的意义确定选项.3.设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围是 A． B． C． D．参考答案：C4.定义运算(，)※(c,d)＝－bd，则符合条件(z，1＋2)※(1＋，1－)＝0的复数z的所对应的点在(

)Ａ.第一象限

Ｂ.第二象限

Ｃ.第三象限

Ｄ.第四象限参考答案：D略5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为，圆锥的高，其母线长，则该几何体的表面积为：.本题选择C选项.

6.定义在R上的函数满足，则的值为A．-1

B．0

C．1

D．2参考答案：C7.设，称为整数的为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为

．参考答案：9略8.已知函数的最小正周期为π，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D9.从编号为001，002，，500的500个产品中用系统抽样的的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007，032，，则样本中最大的编号应该为（

）A．483

B．482

C．481

D．480参考答案：B10.定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于A.-1 B.0

C.1

D.4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.有下列命题：①函数y＝4cos2x，不是周期函数；②若点P分有向线段的比为，且，则的值为或4；③函数y＝4cos（2x＋θ）的图象关于点对称的一个必要不充分条件是；④函数y＝的最小值为2－4其中正确命题的序号是________．参考答案：①③12.设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为

．参考答案：3本题考查线性规划求最值和解一元二次不等式的问题，难度中等。目标函数z=x+5y化为，因此当目标函数过的交点即时z取最大值，此时，解得m=3。13.在几何体中，是正三角形，平面平面，且，，则的外接球的表面积等于

．参考答案：

由题意，取AB,PB的中点E,F，连接AF,PE，且，则点M为正三角形PAB的中点，，易证PE⊥平面ABC，取AC中点D，连接ED，作OD∥PE，OM∥ED，连接OA，则OA为外接球的半径，又，，则，所以外接球的表面积为，从而问题可得解.

14.分别从集合A=和集合B=中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是_________．参考答案：15.已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则________________.参考答案：略16.某市为增强市民的节约粮食意识，面向全市征召务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示若用分层抽样的方法从第3，4，5组中共抽取了12名志愿者参加l0月16日的“世界粮食日”宣传活动，则从第4组中抽取的人数为________。参考答案：17.设，函数的值域为，若，则的取值范围是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线的参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点，直线与曲线C交于A、B两点．(1)写出直线的极坐标方程与曲线C的普通方程；(2)线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求的值．参考答案：（1）直线的极坐标方程，

……3分曲线普通方程

……5分（2）将代入得，……8分

……10分19.设椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心及C2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：x3﹣24y﹣20﹣4（1）求曲线C1、C2的标准方程；（2）设直线l过抛物线C2的焦点F，l与椭圆交于不同的两点M，N，当=0时，求直线l的方程．参考答案：考点：抛物线的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意（﹣2，0），一定在椭圆C1上，设C1方程为（a＞b＞0），可得a=2．于是椭圆C1上任何点的横坐标|x|≤2．可判断点（，）也在C1上，代入椭圆方程即可解得b2，因此得到椭圆的方程．从而（3，﹣2），（4，﹣4）一定在抛物线C2上，设C2的方程为y2=2px（p＞0），把其中一个点的坐标代入即可得出．（2）假设直线l过C2的焦点F（1，0）．分类讨论：当l的斜率不存在时，得出M，N的坐标，然后验证是否满足=0，即可，当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k（x﹣1）代入C1方程并整理可得根与系数的关系，利用=0，可得k的值即可．解答： 解：（1）由题意（﹣2，0），一定在椭圆C1上，设C1方程为（a＞b＞0），则a=2，∴椭圆C1上任何点的横坐标|x|≤2．∴（，）也在C1上，代入椭圆方程，解得b2=1，∴C1的方程为+y2=1．从而（3，﹣2），（4，﹣4）一定在抛物线C2上，设C2的方程为y2=2px（p＞0），可得（﹣4）2=2p×4．∴p=2，即C2的方程为y2=4x．（2）假设直线l过C2的焦点F（1，0）．当l的斜率不存在时，则M（1，），N（1，﹣）．此时=1﹣=≠0，与已知矛盾．

当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k（x﹣1）代入C1方程并整理得，（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．∵直线l过椭圆内部（1，0）点，故必有两交点．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．y1y2=k（x1﹣1）k（x2﹣1）=k2（x1x2﹣x1﹣x2+1）=，∵=0，∴x1x2+y1y2=0，∴k2﹣4=0，k=±2，∴存在符合条件的直线l且方程为y=±2（x﹣1）．点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积与向量垂直的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.(本小题满分12分)

电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。

(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X。若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望和方差。附：参考答案：【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列，期望和方差，考查分析解决问题的能力、运算求解能力，难度适中。准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。21.已知函数,.（Ⅰ）若，。（Ⅱ）若恒成立,求实数的值；（Ⅲ）设有两个极值点、(),求实数的取值范围,并证明.参考答案：解：（Ⅰ）（Ⅱ）令，则．

所以即恒成立的必要条件是，

…………2分又，由得：．

…………4分当时，，知，故，即恒成立．

…………6分(Ⅲ)由，得．

…………8分有两个极值点、等价