云南省大理市第二中学2023年高三数学理测试题含解析

云南省大理市第二中学2023年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于的方程有一个根为,则△ABC中一定有（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知实数、满足，则目标函数的最大值是（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

参考答案：C略3.已知函数f（x）=﹣，若对任意的x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2时，[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣e2，e2]参考答案：B【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增，分类讨论，根据函数的性质及对勾函数的性质，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：由任意的x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，则函数y=丨f（x）丨单调递增，当a≥0，f（x）在[1，2]上是增函数，则f（1）≥0，解得：0≤a≤，当a＜0时，丨f（x）丨=f（x），令=﹣，解得：x=ln，由对勾函数的单调递增区间为[ln，+∞），故ln≤1，解得：﹣≤a＜0，综上可知：a的取值范围为[﹣，]，故选B．【点评】本题考查函数的综合应用，考查对数函数的运算，对勾函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题．4.已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p为（）A．?x∈R，sinx≤1 B．?x∈R，sinx＞1 C．?x∈R，sinx≥1 D．?x∈R，sinx＞1参考答案：D【考点】命题的否定．【分析】命题p是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【解答】解：命题p：?x∈R，sinx≤1”是全称命题，否定时将量词对任意的x变为?x，再将不等号≤变为＞即可．故￢p为：?x∈R，sinx＞1．故选：D【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化．属基础题．5.函数的定义域为

A．

B．

C．

D．参考答案：答案:B6.一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的外接球半径为A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.已知集合，则集合中元素的个数是(

)(A)1

(B)3

(C)5

(D)9参考答案：C8..已知集合，，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C9..已知,点在内,,若,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D10.将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x= B．x= C．x= D．x=﹣参考答案：A考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析： 根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．解答： 解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记函数的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是

参考答案：由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是.12.设z=x+2y，其中实数x，y满足，则z的取值范围是_________。参考答案：

利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的四边形，但目标函数过点（0,0）时，目标函数最小，当目标函数过点时最大值为.13.若向量a，b满足：=，且|a|=2，|b|=4，则a与b的夹角等于.

参考答案：答案：14.将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为________.

1719212331292725

……………参考答案：312试题分析：前19行共有个数，所求两数为第78和第79个奇数，因此和为.考点：新定义，数列的项.15.若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为

参考答案：

16.若数列{an}满足：，则数列{an}的前n项和Sn为_____．参考答案：【分析】由已知可得数列是以1为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的前项和公式求解．【详解】由得：，且两式作差可得：，即：且由已知等式可得，，解得：，适合上式

又，数列是以为首项，以为公比的等比数列则：．本题正确结果：

17.已知函数，则_______．参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.正方形与梯形所在平面互相垂直，，，点在线段上且不与重合。（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.参考答案：（Ⅰ）以分别为轴建立空间直角坐标系则的一个法向量，。即（Ⅱ）依题意设，设面的法向量则，令，则，面的法向量，解得为EC的中点，，到面的距离略19.设函数(1)作出函数的图象；（2）当0<a<b,且时,求的值；(3)若方程有两个不相等的正根，求的取值范围.参考答案：（1）

(2）故f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b且f(a)=f(b)得0<a<1<b和(3)由函数的图象可知，当时，方程有两个不相等的正根.20.已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．甲每天生产的次品数/件01234对应的天数/天4020201010

乙每天生产的次品数/件0123对应的天数/天30252520

（1）将甲每天生产的次品数记为x（单位：件），日利润记为y（单位：元），写出y与x的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．参考答案：（1）见解析；（2）见解析．（1）∵甲每天生产的次品数为，∴损失元，则其生产的正品数为，获得的利润为元，因而与的函数关系式为，其中，．（2）同理，对于乙来说，，，．由，得，∴是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，∴的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为，乙1天中生产的次品数不超过1的概率为，∴，，，∴随机变量的分布列为012∴．19．21.已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)证明：当时，函数有最大值.设的最大值为，求函数的值域.参考答案：(Ⅰ)答案见解析.(Ⅱ)答案见解析.【分析】(Ⅰ)，令，然后根据判别式的符号讨论函数函数值的情况，进而得到的符号，于是可得函数的单调情况．(Ⅱ)由题意得，结合（Ⅰ）得当时，在上单调递减，且，因此得到对任意，存在唯一的，使，且在单调递增，在单调递减，所以的最大值．设，则在单调递减，可得，进而可得所求值域．详解】(Ⅰ)由，得．令，则，（1）当时，，所以，，所以在上单调递减．（2）当或时，，设的两根为且，则，①若，可知，则当时，单调递减；当时，单调递增．②若，可知，则当时，单调递减；当时，单调递增．综上可知：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增．(Ⅱ)由，得，由(Ⅰ)可知当时，在上单调递减，且，所以对任意，存在唯一的，使（反之对任意，也存在唯一，使）.且当时，，，在单调递增；当时，，，在单调递减.因此当时，取得最大值，且最大值，令，则，所以在单调递减，所以，即，所以的值域为．【点睛】解答关于导数的综合问题时要熟练掌握函数单调性的判断方法，理解函数单调性与导数的关系．在解题中，对于含参数问题要注意对隐含条件的挖掘，利用函数的单调性解不等式，注意对参数的讨论；对于函数的最值问题首先要考虑利用函数的单调性求解．本题综合考查利用导数研究单调性、求函数的最值等，难度较大．22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图所示，圆0的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作

DEAE于点E，延长ED与圆O交于点C．

(1)证明：DA平分BDE

(2)若AB=4，AE=2，求CD的长．

参考答案：（1）略（2）【知识点】几何证明选讲N1（1）证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠DAE=∠ABD，

∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，

又∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADB=∠ADE．∴DA平分∠BDE．

（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，∴，

∴，化为BD=2AD．∴∠ABD=30°．∴∠DAE=30°．∴DE=AEtan30°=．

由切割线定理