上海青浦区第一中学2021年高二数学理测试题含解析

上海青浦区第一中学2021年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列{an}中，首项a1=8，公比，那么{an}前5项和S5的值是(

)A． B． C．

D．参考答案：A考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：等比数列{an}中，由首项a1=8，公比，利用等比数列的求和公式能求出{an}前5项和S5的值．解答：解：等比数列{an}中，∵首项a1=8，公比，∴S5===．故选A．点评：本题考查等比数列的前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答2.设点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣4，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为实数m，关于点P的轨迹下列说法正确的是（）A．当m＜﹣1时，轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除与x轴的两个交点）B．当﹣1＜m＜0时，轨迹为焦点在y轴上的椭圆（除与y轴的两个交点）C．当m＞0时，轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点）D．当0＜m＜1时，轨迹为焦点在y轴上的双曲线（除与y轴的两个交点）参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】把m＜﹣1代入mx2﹣y2=16m，轨迹为焦点在y轴上的椭圆（除与y轴的两个交点），判断A不正确，把﹣1＜m＜0代入mx2﹣y2=16m，轨迹为焦点在在x轴上的椭圆（除与x轴的两个交点），判断B不正确，把0＜m＜1代入mx2﹣y2=16m，轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点），判断D不正确，设出P点坐标，由向量之积等于m列式，可得P的轨迹方程，核对四个选项得答案．【解答】解：设P（x，y），则=（x≠4），（x≠﹣4），由kBP?kAP=m，得，∴mx2﹣y2=16m．当m＞0时，方程化为（x≠±4），轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点）．故选：C．3.由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．参考答案：D4.已知自然数x满足3A﹣2A=6A，则x（）A．3 B．5 C．4 D．6参考答案：C【考点】D4：排列及排列数公式．【分析】利用排列数公式构造关于x的方程，由此能求出结果．【解答】解：∵自然数x满足3A﹣2A=6A，∴3（x+1）x（x﹣1）﹣2（x+2）（x+1）=6（x+1）x，整理，得：3x2﹣11x﹣4=0，解得x=4或x=﹣（舍）．故选：C．5.在正方体中，异面直线与所成的角为（

）A.

B.

C．

D.

参考答案：C6.已知f（x）为定义在(0,+∞)上的可导函数,且恒成立,则不等式的解集为（

）．A.(0,1) B.(1,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞)参考答案：C试题分析：令，则为定义域上的减函数，由不等式得：考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，属中档题．解题时要确定函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减7.设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值(

)A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选D．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．8.设，将这五个数据依次输入下面程序框进行计算，则输出的值及其统计意义分别是（

）A．，即个数据的方差为

B.，即个数据的标准差为C.，即个数据的方差为

D.，即个数据的标准差为参考答案：A略9.年第届全国运动会在沈阳举行,某校名大学生申请当三个比赛项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务比赛项目,则不同的安排方案共有(

)A．种 B．种 C．种 D．种参考答案：B略10.用秦九韶算法计算多项式

当时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（

）A．6，6

B．5,

6

C．5,

5

D．6,

5参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知,则不等式的解集______________．参考答案：略12.已知中，，则

．参考答案：1或213.已知复数且，的取值范围是______参考答案：【分析】由复数，得到复数表示的轨迹，设，即，则表示的几何意义是点与原点的连线的斜率，再利用直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由复数，可得，即复数表示的轨迹为，表示以为圆心，以为半径的圆，设，即，则表示的几何意义是点与原点的连线的斜率，如图所示，当最大时，直线与圆相切（过一三象限的直线），则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所以的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中根据复数的几何意义得到复数表示的轨迹，合理利用直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.14.=

。参考答案：

解析：．15.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须都用上，且相同数字不能相邻，这样的四位数有__________个.参考答案：1816.如图，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，A和B是以O(O为坐标原点)为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为

参考答案：17.已知，其中为虚数单位，则=___________.参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）某光学仪器厂有一条价值为万元的激光器生产线，计划通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值.经过市场调查，产品的增加值万元与技术改造投入万元之间满足：①与成正比；②当时，，并且技术改造投入满足，其中为常数且.（I）求表达式及定义域；（II）求技术改造之后，产品增加值的最大值及相应的值.参考答案：解：（I）设.

由时，可得.

所以.

……3分

由解得.

所以函数的定义域为.

…6分（II）由（I）知，所以.

令得.

…8分

因为，所以，即.

当时，，函数是增函数；

当时，，函数是减函数.

……11分

所以当时，函数取得最大值，且最大值是.……..13分

所以，时，投入万元最大增加值万元.

……14分略19.已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：交于点M、N两点．（1）求k的取值范围；（2）若，其中O为坐标原点，求|MN|．参考答案：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由＜1，故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，可得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，∴x1+x2=，x1?x2=，∴y1?y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=?k2+k?+1=，由?=x1?x2+y1?y2==12，解得k=1，故直线l的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2．20.（本小题10分）设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点。(1)

求圆的极坐标方程；(2)求点轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．参考答案：圆的极坐标方程为……4分设点的极坐标为，点的极坐标为，∵点为线段的中点，∴，……7分

将，代入圆的极坐标方程，得∴点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆．

……10分21.(12分)已知a＞0,b＞0，试比较：与的大小．参考答案：解析：（法一）∵

≥0∴≥

（法二）记p=，q=∵a＞0,b＞0

，

∴a+b≥2

，

∴a－+b≥，∴≥1，即