上海西南高级中学2021年高三数学文联考试卷含解析

上海西南高级中学2021年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列的前n项和为，满足A.

B.

C.

D.参考答案：2.若向量与向量的夹角是180°，且，则=(

)A．

B．

C．

D．或参考答案：答案：B3.在△ABC中，∠A＝，AB＝2，且△ABC的面积为，则边AC的长为A、1B、C、2D、1参考答案：A4.已知函数和的图象关于轴对称，且．则不等式的解集为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.的值是A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.如右图，△ABC中，｜｜＝3，｜｜＝1，D是BC边中垂线上任意一点，则·（－）

的值是

A．1

B．C．2

D．4参考答案：D略7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，，，则(

)A.45 B.63 C.54 D.81参考答案：B【分析】根据给出条件求出，利用，，成等差数列计算，再根据前项和性质计算的值.【详解】由得，,∴∴故选：B.【点睛】等差数列性质：；等差数列前项和性质：.8.下列命题中不正确的是

（

）

A．若

B．若∥，∥，则∥

C．若，，∥，则∥

D．若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外参考答案：9.定义域为的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（

）A．

B．

C． D．参考答案：B10.（5分）（2015?浙江模拟）设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（）A．若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γB．若α⊥β，l∥β，则l⊥αC．若则m⊥α，n⊥α，m∥nD．若m∥α，n∥α，则m∥n参考答案：C【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对四个选项分别分析选择．解：对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交；故A错误；对于B，若α⊥β，l∥β，则l可能在α内；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理以及空间线线关系的确定，可以判断m∥n；故C正确；对于D，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或者异面．故D错误；故选C．【点评】：本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用，熟记定理是关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.实数x、y满足，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是．参考答案：[﹣1，1]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤kBA=1∴﹣1≤a＜0，综上a∈[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．12.随机地在棱长为1的正方体内部取一个点P，满足的概率是

参考答案：略13.已知，则二阶矩阵X=

．参考答案：设，则由题意知，根据矩阵乘法法则可，解得，即.14.已知数列的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列满足，则__________.参考答案：【知识点】等差数列；等比数列；数列通项公式的求法.

D2

D3

解析：设=k，则，同理，因为数列的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以，所以数列是等比数列，把代入得公比q=3(负值舍去)，所以.

【思路点拨】设=k，利用指数与对数互化及对数换底公式得，，再由的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，以及对数运算性质得，所以数列是等比数列，又因为各项都是正数且得公比q,从而求得.

15.已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为

．参考答案：16.直线与曲线相交，截得的弦长为

。参考答案：略17.在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为___________．参考答案：2

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.等边△ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（图1）.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连接A1B，A1C（图2）.（1）求证：A1D⊥平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出线段PB的长；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）证明：如图1，在中，，得到………………1分所以，从而…………2分所以在图2中，是二面角的平面角………3分所以，即又因为，平面所以平面.…………………5分（2）方法一：向量法由（1）知，两两垂直，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.……………………6分

则，，，，且.……7分假设线段上存在点，使直线与平面所成的角为，设，其中，…………8分平面的一个法向量为……9分则………10分解得…………11分所以存在满足要求的点，且线段的长度为.………………12分方法二：传统法由（1）知平面，因为平面，所以平面平面.………………6分假设线段上存在点，使直线与平面所成的角为，作于，则平面.………………7分连接，则就是直线与平面所成的角.……………8分设，则，……9分……10分………11分解得所以存在满足要求的点，且线段的长度为.………………12分19.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．参考答案：

∴,两两相互垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，设

略20. 在△ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，且满足csinA=acosC． (Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．参考答案：解：(Ⅰ)由正弦定理得， 因为所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)知于是

从而即时取最大值2． 综上所述，的最大值为2，此时………… 14分略21.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．[来源:学_科_网]【分析】（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2sin（2x﹣），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（II）根据x∈，得﹣≤2x﹣≤．再由正弦函数在区间[﹣，]上的图象与性质，可得f（x）在区间上的最大值为与最小值．【解答】解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）∴f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1=2sin2x﹣2cos2x=2sin（2x﹣）因此，f（x）的最小正周期T==π；（II）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤∴当x=0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x=时，sin（2x﹣）取得最大值1由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=﹣2．【点评】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin（ωx+φ）的单调性等知识，考查基本