2023年高考数学一轮复习（艺考）第07讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征 高频考点（解析版）

文档来源网络仅供参考侵权删除第07讲离散型随机变量及其分布列和数字特征(精练）A夯实基础一、单选题1．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为，考试次数为X，若X的数学期望，则p的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】考试次数的所有可能取值为1，2，3，，，，∴，即，解得或，又，故．故选：B.2．（2022·浙江·高二期中）已知下表为离散型随机变量X的分布列，则（

）X0123PA． B． C． D．【答案】C【详解】根据.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：X012345P0.10.1a0.30.20.1则等于（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7【答案】C【详解】因为，所以，所以.故选：C.4．（2022·江西赣州·高二期末（理））若随机变量的分布列如表，则的值为（

）1234A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意可得：故选：C．5．（2022·辽宁大连·高二期末）设是一个离散型随机变量，其分布列为：123则的数学期望为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由得，，∴.故选：B6．（2022·河南商丘·高二期末（理））已知随机变量X的分布列如下表所示X012P则当取最大值时，a的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由概率的性质知，，即，则，且，，所以当时，取得最大值，此时．故选：D．7．（2022·广东广州·高二期末）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)X0123P0.20.30.4a则下列计算结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，解得，故A错误；由分布列知，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.8．（2022·江苏·苏州中学高二期末）设随机变量的分布列为，,分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得，对于A，，故A不正确；对于B，，，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，，，故D不正确.故选：C二、多选题9．（2022·河北·高二期中）已知随机变量的分布列为1230.3则（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】由，得，则.故选：AC.10．（2022·广东·大埔县田家炳实验中学高二阶段练习）已知随机变量X的分布列如下表：若，则（

）01A． B． C． D．【答案】ABC【详解】依题意，AB选项正确.，C选项正确.，D选项错误.故选：ABC11．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下表；01记“函数是偶函数”为事件，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】解：由随机变量的分布列知，所以，故B正确；，故A错误，函数是偶函数为事件，满足条件的事件的的可能取值为或，，故C正确，D错误；故选：BC．12．（2022·重庆长寿·高二期末）已知离散型随机变量的分布列如表所示，其中，则下列说法正确的是（

）1234A． B．的范围是C．的最小值为8 D．若记，则【答案】AC【详解】由题意：，所以.对于A：.故A正确；对于B：.因为，所以，所以.因为，所以，所以.故B错误；对于C：（当且仅当时等号成立）故C正确；对于D：由题意，；.所以，故.故D错误.故选：AC三、填空题13．（2022·江苏徐州·高三期中）设随机变量的概率分布为，为常数，，，，，则______．【答案】【详解】由题意知：随机变量的所有可能取值的概率和为1，即，则，由等比数列的求和公式，得，所以，得.故答案为：14．（2022·全国·高二专题练习）已知离散型随机变量的分布如下表：02Pab若随机变量的期望值，则______．【答案】11【详解】由表中数据得：，解得，又，，所以，所以．故答案为：11．15．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量的分布为，则______．【答案】##0.4##【详解】解：由题意知，的分布为，所以，解得，所以，故答案为：．16．（2022·山西临汾·高二期中）已知随机变量有三个不同的取值，分别是0，1，，其中，又，，则随机变量方差的最小值为_______．【答案】##0.125【详解】由，，得，所以随机变量的数学期望，则方差当时，取到最小值，故答案为：四、解答题17．（2022·全国·高二课时练习）某综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若三道题目全部猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立.求嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值.【答案】136均值为：【详解】根据题意，设表示“所得分数”，则的可能取值为，1，3，6.，，，.所以的分布列为：136所以.18．（2022·湖南·高二课时练习）将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.(1)求的分布列；(2)求的概率.【答案】(1)分布列见解析(2)(1)由已知可得随机变量的可能取值有：，，，，所以，，，，所以分布列为(2)由（1）得.B能力提升19．（2022·全国·高三专题练习）市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．(1)求李先生的小孩按时到校的概率；(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？(3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值．【答案】(1)(2)没有(3)【详解】（1）因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是：×＋×＝，故李先生的小孩能够按时到校的概率是1－＝.（2）甲到丙没有遇到拥堵的概率是，丙到甲没有遇到拥堵的概率也是，甲到乙遇到拥堵的概率是×＋×＋×＝，甲到乙没有遇到拥堵的概率是1－＝，∴李先生上班途中均没有遇到拥堵的概率是××＝<0.7，所以李先生没有七成把握能够按时上班．（3）依题意X可以取0，1，2.P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝；P(X＝2)＝×＝.分布列是：X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.20．（2022·北京房山·高三开学考试）某人从家开车上班，有甲、乙两条路线可以选择，甲路线上有3个十字路口，在各路口遇到红灯的概率均为；乙路线上有2个十字路口，在各路口遇到红灯的概率依次为，．假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯停留的时间都是．(1)若走甲路线，求该人恰好遇到1个红灯的概率；(2)若走乙路线，求该人在上班途中因遇红灯停留总时间X的分布列和期望；(3)若只考虑路口遇到红灯停留总时间最少，该人选择甲路线还是乙路线？（只写出结论）【答案】(1)(2)分布列见解析，(3