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八年级数学第十九章一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式新课导入数学知识之间是相互联系的,一次函数知识并不是孤立的,其实它与以前我们学过的有关知识有密切联系.今天我们来探讨一次函数与方程、不等式之间的联系.学习目标(1)会从函数的角度看方程(组)解的意义.(2)会从函数的角度看不等式的解集的意义.(3)会将函数问题转化为解方程(组)或不等式(组)问题.重点:如何从函数的角度看解方程(组)、解不等式的意义.难点:通过一次函数值及图象解决相关的方程的解和不等式的解集.学习重、难点推进新课一次函数与一元一次方程知识点1这3个方程有什么共同点和不同点?例1观察相同点:等号左边都是

,不同点:等号右边分别是

.你能从函数的角度对解这三个方程式进行解释吗?2x+130-1分析从函数的角度看,解这三个方程方程2x+1=3的解是:

;即当

时,函数y=2x+1的值为3,也就是

;方程2x+1=-1的解是:

;即当

时,函数y=2x+1的值为-1,也就是

.方程2x+1=0的解是:

;即当

时,函数y=2x+1的值为0,也就是

;x=1x=-1x=1y=3x=y=0x=-1y=-1x=方程函数发现从函数的角度看,解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3,0,-1时,求自变量x的值.函数图象如右所示:归纳因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时,求自变量x的值.练习

1.直线y=2x+b与x轴的交点坐标为(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是x=

.2

2.若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的面积是24,求常数k的值.解:设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0,得x=,令x=0,得y=6,∴A(,0),B(0,6).∴S=∣OA∣▪∣OB∣=∣∣×6=24∴∣k∣=∴k=±一次函数与一元一次不等式知识点2例23x+2>23x+2<03x+2<-1这3个不等式有什么共同点和不同点?观察相同点:不等号左边都是

,你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗?不同点:不等号右边分别是

.3x+220-13x+2>23x+2<03x+2<-1分析从函数的角度看,解这三个方程不等式3x+2>2的解是:

;即当

时,函数

;不等式3x+2<-1的解是:

;即当

时,函数

.不等式3x+2<0的解是:

;即当

时,函数

;x>0y=3x+2>2x<x<y=3x+2<0x<-1y=3x+2<1x>0x<-1①3x+2>2②3x+2<0③3x+2<-1不等式函数发现从函数的角度看,解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别满足大于2、小于0、小于-1的点时,求自变量x的取值范围.函数图象如右图所示:①3x+2>2②3x+2<0③3x+2<-1归纳因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.练习在直角坐标系中,直线y=kx+3(k≠0)过点(2,2),且与x轴、y轴分别交于A、B两点,求不等式kx+3≤0的解集.解:∵直线y=kx+3(k≠0)过点(2,2),∴2k+3=2,解得k=.∴函数的解析式为y=x+3.∴当y=0时,

x+3=0,解得x=6,则A(6,0)∴不等式kx+3≤0的解集为x≥6.一次函数与二元一次方程组知识点3例3

1号探测气球从海拔5米处出发,以1米/分的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15米处出发,以0.5米/分的速度上升.两个气球都上升了1小时.(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔(单位:米)关于上升时间(单位:分钟)的函数关系;(1)气球上升时间满足

.分析:1号气球的函数解析式为

;2号气球的函数解析式为

.0≤x

≤60y=x+5y=0.5x+15(2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?分析:(2)在某个时刻两个气球位于同一高度,就是说对于x的某个值(0≤x≤60),函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.则只需求出x和y的值.容易想到解二元一次方程组:y=x+5,y=0.5x+15,即:x-y=-5,0.5x-y=-15,解得:x=20,y=25,这就是说,当上升20min时,两个气球都位于海拔25m的高度.函数表达式方程组一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程的等式,都可以改写为(

)的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应

.这条直线上每个点的坐标(x

,y)都是这个二元一次方程的解.y=kx+b一条直线

从“数”的角度看:解二元一次方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看:解二元一次方程组,相当于确定两条直线的交点坐标.因此,我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.发现考虑下面两种移动电话计费方式:发现练习方式一方式二月租费/(元/月)300本地通话费/(元/min)0.300.40用函数方法解答何时两种计费方式费用相等.解:设通话时间为x分,若按“方式一”计费方式,则收取费用y=30+0.3x;若按“方式二”计费方式收取费用,则收取费用y=0.4x.在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象,如下图:得:x=300,y=120,解方程组:y=30+0.3x,y=0.4x,所以两图象交于点(300,120),当x=300时,30+0.3x=0.4x,即当一个月内通话时间等于300分钟时,选择两种计费方式费用相等.误区诊断已知直线y=-2x-1与直线y=3x+m相交于第三象限,求m得取值范围.误区不能正确理解图象导致错解不等式错解:∵直线y=-2x-1与直线y=3x+m相交于第三象限,∴直线y=3x+m经过第三象限,∴m<0.正解:由题意得:∵交点在第三象限,∴y=-2x-1,y=3x+m,解得:x=,y=,<0,<0,解得:-1<m<错因分析:两条直线相交于第三象限并不代表直线y=kx+b中的b<0.应先求出用含m的式子表示的交点坐标,再求m的取值范围.随堂演练1.已知直线y=ax-b的图象如图所示,则关于x的方程ax-b=0的解为x=

,当x=0时,y=

.2-12.如图是关于x的函数y=kx+b(k≠0)的图象,则不等式kx+b≤0的解集在数轴上可表示为()ABCDB3.用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所列的二元一次方程组是()x+y-2=0,3x-2y-1=0A.2x-y-1=0,3x-2y-1=0B.2x-y-1=0,3x+2y-5=0C.x+y-2=0,2x-y-1=0D.A4.函数y=2x+6的图象如图,利用图象:(1)求方程2x+6=0的解;由图象可得:图象过点(-3,0).∴方程2x+6=0的解为x=-3;(2)求不等式2x+6>0的解集;由图象可得:当x>-3时,函数y=2x+6的图象在x轴上方.∴不等式2x+6>0的解集为x>-3;4.函数y=2x+6的图象如图,利用图象:(3)若-1≤y≤3,求x的取值范围.由图象可得:函数图象过F(1.5,3),G(-3.5,-1)两点,当-3.5≤x≤-1.5时,函数y=2x+6的函数值满足-1≤y≤3,∴x的取值范围是-3.5≤x≤-1.5.5.已知一次函数y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)的图象(如图①).(1)方程kx+b=0的解为

,不等式kx+b<4的解集为

;x=2x>0(3)在(2)的条件下,比较mx与kx+b的大小(直接写出结果).解:当x<1时,kx+b>mx;当x=1时,kx+b=mx;当x>1时,kx+b<mx.(2)正比例函数y=mx(m为常数,且m≠0)与一次函数y=kx+b相交于点P(如图②),则不等式组

的解集为

;mx>0,kx+b>0,0<x<2课堂小结一次函数与方程、不等式1.解一元一次方程:相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时,求自变量x的值.2.解一元一次不等式:相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.课堂小结一次函数与方程、不等式

3.解二元一次方程组:从“数”的角度看相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看相当于确定两条直线的交点坐标.请你根据图中图象所提供的信息解答下面问题:拓展延伸(1)分别写出a1、a2中变量y随x变化而变化的情况;a1:y随x的增大而增大;a2:y随x的增大而减小;(2)求出一个二元一次方程组,使它满足

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