西南科技大学材料力学课件1

材

料

力

学主讲：朱国权参考资料主要参考书：?材料力学(I)?、?材料力学(II)?， 杨伯源主编，机械工业出版社?材料力学(I)?、?材料力学(II)?， 单辉祖主编，高等教育出版社?材料力学(I)?、?材料力学(II)?〔第4版〕， 孙训方主编，高等教育出版社，2002?材料力学?，范钦珊主编，高等教育出版社，2000?材料力学?，苏翼林主编，天津大学出版社，2001?材料力学?学习指导书(配合刘鸿文?材料力学?〔第4版〕著译者:陈乃立、陈倩出版社:高等教育出版社出版时间:2004年 材料力学简史传统具有柱、梁、檩、椽的木制房屋结构古代建筑结构建于唐末〔857年〕的山西五台山佛光寺东大殿材料力学简史古代建筑结构建于辽代〔1056年〕的山西应县佛宫寺释迦塔塔高9层共67.31米，用木材7400吨900多年来历经数次地震不倒，现存唯一木塔材料力学简史古代建筑结构2200年以前建造的都江堰安澜索桥材料力学简史古代建筑结构建于隋代〔605年〕的河北赵州桥桥长64.4米，跨径37.02米，用石2800吨材料力学简史古代建筑结构材料力学

独立出现可以指导工程设计，解决工程问题1638年：?关于两种新科学的表达与证明?伽利略

Galilei1564-1642悬臂梁应力分布简支梁受集中载荷的最大弯矩材料力学简史等强度梁截面形状空、实心圆柱抗弯强度比较第一部?材料力学?出现17世纪以后，技术革命法国科学家纳维1826年著?材料力学?法国科学家库仑〔1736－1806〕通过实验修正了伽利略的错误，提出了最大切应力强度理论目录材料力学简史世界重大工程事故魁北克大桥崩塌过程：500600结果：19000顿钢材和86名工人掉水中，11人生还时间：1907地点：美国人物：特奥多罗·库帕泰坦尼克客轮漂浮世界重大工程事故客轮：11层楼高，3个足球场过程：船与46000吨重的巨大浮冰相撞结果：共2224人，1513人丧生时间：1912年4月14日午夜地点：英国纽芬兰大浅滩南150公里处“长尾鲨〞号核潜艇失事漂浮世界重大工程事故情况：长85米，排水量3750吨，载有萨布罗克反潜导弹，也是当时最大的核弹。过程：作下潜300米的潜水试验时，神秘地沉入2300米深的海底结果：129名船员的生命〔材料故障〕时间：1963年4月10日地点：好望角408公里处维昂特坝崩塌世界重大工程事故过程：水流自维昂特大坝上100米高处直泻而下，在仅仅几秒钟内就淹没了山谷内的5个村庄结果：4000人丧生时间：1963年10月9日地点：意大利维昂特河上的混凝土拱坝原因：没有制订持续检查山坡状况及其加固的措施。1.5亿吨的泥石DC－10客机失事世界重大工程事故情况：土耳其航空公司的一架美制飞机从法国首都巴黎附近的奥利机场起飞，飞机载着335名旅客、11名机组人员和大量行李升入4000米高空，飞往英国的伦敦。结果：8分后爆炸，全部牺牲〔舱门设计有误，脱落〕时间：1974年3月3日地点：巴黎堪萨斯城饭店倒塌世界重大工程事故情况：夜总会，1500人结果：113人死亡，200人受重伤时间：1981年7月17日地点：美国堪萨斯城饭店“挑战者号〞航天飞机失事世界重大工程事故时间：1986年1月28日中午情况：数百万美国人端坐在电视机前，观看“挑战者号〞航天飞机的发射情景飞机上：7人——5男2女过程：升空后只过了73秒钟，观看者就看到了爆炸原因：助推火箭的密封装置出现故障，泄漏出的燃料便着了火，火焰很快就扩散到了主燃料舱国内事故某地即将竣工的斜拉桥崩塌某地压力容器爆破事故某重大设备曲柄断裂某机场弦梯在下客时根部断裂某市某楼工地施工中屋板塌落第一章绪论1.1材料力学的任务桥梁结构1.1材料力学的任务航空航天第一章绪论1.1材料力学的任务第一章绪论1.1材料力学的任务第一章绪论1.1材料力学的任务构件应满足的要求：具有足够的强度构件在外载作用下，抵抗破坏的能力。例如储气罐不应爆破。〔破坏——断裂或变形过量不能恢复〕第一章绪论断裂第一章绪论第一章绪论明显的塑性变形第一章绪论1.1材料力学的任务构件应满足的要求：具有足够的刚度构件在外载作用下，抵抗变形的能力。例如机床主轴不应变形过大，否那么影响加工精度。第一章绪论第一章绪论明显的弹性变形1.1材料力学的任务构件应满足的要求：满足稳定性要求构件在某种外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。例如柱子不能弯等。第一章绪论第一章绪论1.1材料力学的任务研究材料的力学性能研究构件的强度、刚度和稳定性等合理解决平安与经济之间的矛盾第一章绪论材料力学与理论力学的关系理论力学研究刚体的外部效应〔构件受到的外力〕材料力学研究变形固体的内部效应〔构件受到的内力〕及变形。FFFAFBABFFFN第一章绪论材料力学的作用——承前启后的阶段性后续的力学〔其它的变形体力学〕结构力学，弹性力学，塑性力学，断裂力学,纳米力学，流体力学后续的专业课程有助于学习其它工程：土木、机械、航空、航天、交通、运输、材料、生物、工程、仪表等今后工程工作中直接受益第一章绪论1.2变形固体的根本假定材料力学的分析方法是在实验根底上，对于问题作一些科学的假定，将复杂的问题加以简化，从而得到便于工程应用的理论成果与数学公式。变形固体：在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体。构件一般均由固体材料制成，故构件一般都是变形固体。第一章绪论1.2变形固体的根本假设连续性假设：认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质均匀性假设：认为物体内的任何局部，其力学性能相同各向同性假设：认为在物体内各个不同方向的力学性能相同小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。第一章绪论Fαα①②AFA’第一章绪论小变形假设第一章绪论材料力学中是把实际材料看作均匀、连续、各向同性的可变性体，且在大多数场合下局限于弹性变形范围内和小变形条件下进行研究。1.3外力及其分类四按外力作用的方式体积力:是连续分布于物体内部各点的力如物体的自重和惯性力面积力如油缸内壁的压力，水坝受到的水压力等均为分布力假设外力作用面积远小于物体外表的尺寸，可作为作用于一点的集中力。如火车轮对钢轨的压力等按时间分布力：集中力：静载：动载：缓慢加载〔a≈0〕快速加载〔a≠0〕，或冲击加载第一章绪论1.4内力、截面法和应力的概念内力：外力作用引起构件内部的附加相互作用力。求内力的方法－－截面法第一章绪论1、切2、留3、代4、平FSMFFaa1.4内力、截面法和应力的概念第一章绪论截面法1.4内力、截面法和应力的概念第一章绪论一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到应力目录平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度应力的国际单位为Pa1N/m2=1Pa〔帕斯卡〕1MPa=106Pa1GPa=109Pa应力总量P可以分解成:垂直于截面的分量σ(sigma，西格马)－－正应力平行于截面的分量τ(tau,套)－－切应力1.4内力、截面法和应力的概念第一章绪论1.4位移、变形及应变的概念第一章绪论位移线位移角位移变形线变形角变形FC’D’E’AA’CDE线〔正〕应变ε(epsilon,艾普西隆)角〔切〕应变γ(gamma,伽马)1.4位移、变形及应变的概念第一章绪论FC’D’E’AA’CDE1.6构件的分类杆件变形的根本形式构件的分类：杆件、板壳*、块体*第一章绪论直杆：折杆：曲杆：等截面直杆、变截面直杆等截面折杆、变截面折杆*等截面曲杆、变截面曲杆*1.6构件的分类杆件变形的根本形式构件的分类：杆件、板壳*、块体*杆件第一章绪论1.6构件的分类杆件变形的根本形式构件的根本变形拉〔压〕、剪切、扭转、弯曲第一章绪论拉压变形剪切变形扭转变形弯曲变形1.6构件的分类杆件变形的根本形式构件的根本变形拉〔压〕、剪切、扭转、弯曲第一章绪论小结须掌握知识点了解外力及其分类掌握截面法掌握应力、应变的概念了解杆件的分类熟悉杆件的四种根本变形第一章绪论第二章

拉伸、压缩与剪切2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例拉伸与压缩的特点作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。F

F

F

F

拉伸压缩2.2轴向拉压时横截面上的内力和应力内力——由于物体受外力作用而引起的其内部各质点间相互作用的力的改变量。根据可变形固体的连续性假设可知，物体内部相邻局部之间的作用力是一个连续分布的内力系，我们所说的内力是该内力系的合成〔力或力偶〕。2.2轴向拉压时横截面上的内力和应力轴力:外力的作用线与杆件轴线重合，内力的作用线也与杆件轴线重合，所以称为轴力。截面法求轴力FFmmFFN切:假想沿m-m横截面将杆切开留:留下左半段或右半段代:将抛掉局部对留下局部的作用用内力代替平:对留下局部写平衡方程求出内力即轴力的值

轴力正负号：拉为正、压为负

轴力图：轴力沿杆件轴线的变化11FN1F1解：1、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233FN3F4FN2F1F2CD段2、绘制轴力图。例题2-1F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。说明：轴力图可以表示出杆件各段内轴力的大小；轴力图还可以表示出各段内的变形是拉伸还是压缩。轴力图是否可以表示杆件的强度？同一材料制成的粗细不同的两根杆，受相同的的拉力，当拉力逐渐增加到足够大，哪根杆先被拉断？注意：用截面法法求内力的过程中，在截面取别离体前，作用于物体上的外力〔荷载〕不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。比较：FN=Fmmnn(a)FCBA

mmFA

(b)FN=FnnBFA

(c)nnmmFN=0

(B)mmA

FN=FnnB(C)A

FCB(A)FA

练习：试作图示杆的轴力图。ABCDE20kN

40kN

55kN

25kN

6003005004001800求支反力解：

FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144注意假设轴力为拉力横截面1-1：横截面2-2：FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144FRFN1

11AFRF1

FN2A

B

22此时取截面3-3右边为别离体方便，仍假设轴力为拉力。横截面3-3：同理F3

F4

FN3

33D

E

F4

FN4

33E

FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144由轴力图可看出20105FN

/kN50FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144x作业：P54，习题2.1〔a〕〔c〕例2-2：试作图示杆的轴力图。FFFq=F/ll2llFFFFRF'=2ql解：1、求支反力x12FFFq11233xFqFFFFx1FFF+-+思考：此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？FFFq=F/ll2ll2.2轴向拉压时横截面上的内力和应力内力与应力间的关系拉压杆的强度轴力横截面尺寸材料的强度即拉压杆的强度是跟轴力在横截面上的分布规律直接相关的。杆件截面上的分布内力的集度，称为应力。M点平均应力总应力(a)MDADFM(b)p总应力p法向分量,引起长度改变正应力:切向分量，引起角度改变切应力:正应力：拉为正，压为负切应力：对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为正，反之为负stM(b)p(a)MDFDA内力与应力间的关系stM(b)p(a)MDFDADFNDFS2.2轴向拉压时横截面上的内力和应力横截面上的应力无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律静力学条件mmFFmmFsFNmmFFN

s但荷载不仅在杆内引起应力，还要引起杆件的变形。可以从观察杆件的外表变形出发，来分析内力的分布规律。FFacbda'c'b'd'mmFFmmFsFNmmFFN

s等直杆相邻两条横向线在杆受拉(压)后仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉〔压〕杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。观察现象：平面假设FFacbda'c'b'd'亦即横截面上各点处的正应力都相等。推论：1、等直拉〔压〕杆受力时没有发生剪切变形，因而横截面上没有切应力。2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。FFacbda'c'b'd'等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式即mmFFmmFsFNmmFFN

s适用条件：⑴上述正应力计算公式对拉〔压〕杆的横截面形状没有限制；但对于拉伸〔压缩〕时平面假设不成立的某些特定截面,原那么上不宜用上式计算横截面上的正应力。⑵实验研究及数值计算说明，在载荷作用区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的应力情况复杂，上述公式不再正确。圣维南原理力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。例2-3：试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。F=50kN，尺寸单位mm。解：Ⅰ段柱横截面上的正应力F

C

BA

F

F

40003000370240Ⅱ段柱横截面上的正应力最大工作应力为F

C

BA

F

F

40003000370240练习：图示结构，试求杆件AB、CB的应力。F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。〔设斜杆为1杆，水平杆为2杆〕用截面法取节点B为研究对象45°12BF45°2、计算各杆件的应力。FABC45°12BF45°课堂练习：P542.4题2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力请同学们自学2.4材料拉伸时的力学性能力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能一、试件和实验条件常温、静载2.4材料拉伸时的力学性能实验仪器2.4材料拉伸时的力学性能二、低碳钢的拉伸明显的四个阶段1、弹性阶段ob比例极限弹性极限2、屈服阶段bc〔失去抵抗变形的能力〕屈服极限3、强化阶段ce〔恢复抵抗变形的能力〕强度极限4、局部颈缩阶段ef2.4材料拉伸时的力学性能二、低碳钢的拉伸实验演示2.4材料拉伸时的力学性能二、低碳钢的拉伸两个塑性指标:断后伸长率断面收缩率为塑性材料为脆性材料低碳钢的为塑性材料1、弹性范围内卸载、再加载2、过弹性范围卸载、再加载即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，这就是卸载定律。材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。2.4材料拉伸时的力学性能三、卸载定律及冷作硬化2.4材料拉伸时的力学性能四、其它材料拉伸时的力学性能对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限σ0.2来表示。对于脆性材料〔铸铁〕，拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和颈缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。σbt：拉伸强度极限〔约为140MPa〕。它是衡量脆性材料〔铸铁〕拉伸的唯一强度指标。2.4材料拉伸时的力学性能五、铸铁拉伸时的力学性能2.5材料压缩时的力学性能试件和实验条件常温、静载2.5材料压缩时的力学性能塑性材料〔低碳钢〕的压缩屈服极限比例极限弹性极限E——弹性摸量拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。2.5材料压缩时的力学性能脆性材料〔铸铁〕的压缩脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限2.7失效、平安因数和强度计算平安系数和许用应力工作应力极限应力塑性材料脆性材料塑性材料的许用应力脆性材料的许用应力n—安全系数—许用应力。根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1、强度校核：2、设计截面：3、确定许可载荷：2.7失效、平安因数和强度计算强度条件FF例2-4：F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=20̊。[σ]=200MPa。试校核斜杆的强度。F解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。由于结构几何和受力的对称性，两斜杆的轴力相等，根据平衡方程得2、强度校核斜杆横截面A=2bh，工作应力为斜杆强度不够每个螺栓承受轴力为总压力的1/6解：油缸盖受到的力根据强度条件即螺栓的轴力为得即螺栓的直径为例2-5：D=350mm，p=1MPa。螺栓[σ]=40MPa，求直径。例2-6：图示起重机，钢丝绳AB的直径d=24mm，[σ]=40MPa，试求该起重机容许吊起的最大荷载F。解：1.求钢丝绳AB的内力2.确定容许吊起的最大荷载F练习：P562.8题作业：P562.10题、2.12题§2-72.8轴向拉伸或压缩时的变形一纵向变形二横向变形钢材的E约为200GPa，μ约为0.25—0.33E为弹性模量泊松比横向应变FFb1b

l

ll胡克定律：EA为抗拉刚度实验说明：例题2-7：AB长2m,面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。解：1、计算轴力,取节点A为研究对象。(设斜杆为1杆，水平杆为2杆)AF3002、根据胡克定律计算杆的变形。斜杆伸长水平杆缩短3、节点A的位移〔以切代弧〕AF300思考:题2.202.10拉伸、压缩超静定问题约束反力〔轴力〕可由静力平衡方程求得静定结构：约束反力不能由平衡方程求得超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高超静定度〔次〕数：约束反力多于独立平衡方程的数独立平衡方程数：平面任意力系：3个平衡方程平面共点力系：2个平衡方程平面平行力系：2个平衡方程共线力系：1个平衡方程静定静不定静不定静不定讨论：以下哪些是静定结构，那些是静不定结构？1、列出独立的平衡方程超静定结构的求解方法：2、变形几何关系3、物理关系4、补充方程例题2-85、求解方程组得2.11温度应力和装配应力温度应力FAFBFA=FB当温度变化为ΔT时，杆件的温度变形应为：材料的线胀系数FB右端施加FB时，杆件的压缩变形应为：变形协调方程2.11温度应力和装配应力装配应力2.12应力集中的概念实验结果和理论分析说明：在零件尺寸突然改变处〔如切口、切槽、螺纹等〕的横截面上，应力不是均匀分布等。构件尺寸突变，引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。设应力集中的截面上最大应力σmax，同一截面上的平均应力为σ，那么比值称为理论应力集中因数尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。2.13剪切和挤压的实用计算剪切的实用计算铆钉连接螺栓连接销轴连接平键连接通过观察，发现剪切的特点：作用于构件某一截面两侧的力，大小相等，方向相反，且相互平行，使构件的两局部沿这一截面〔剪切面〕发生相对错动的变形。FF得切应力计算公式：假设切应力在剪切面〔m-m截面〕上是均匀分布的切应力强度条件：常由实验方法确定剪力的正负：使截开局部杆件产生顺时针方向转动者为正，逆时针方向转动者为负。+_练习：习题2.56P68挤压的实用计算FF假设应力在挤压面上是均匀分布的得实用挤压应力公式*注意挤压面面积的计算挤压强度条件：常由实验方法确定挤压强度条件：切应力强度条件：脆性材料：塑性材料：为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足图示接头，受轴向力F作用。F=50kN，b=150mm，δ=10mm，d=17mm，a=80mm，[σ]=160MPa，[τ]=120MPa，[σbs]=320MPa，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。2.板的剪切强度解：1.板的拉伸强度例题3.铆钉的剪切强度4.板和铆钉的挤压强度结论：强度足够。本章小结计算轴力、轴力图内力和应力的关系拉伸压缩试验：低碳钢、铸铁许用应力强度关系拉压变形超静定问题剪切和挤压的实用计算P61题2.29解答设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设P=20kN，试求刚索的应力和C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。解：1〕求钢索内力：以ABCD为对象2)钢索的应力和伸长分别为：800400400DCPAB60°60°PABCDTTYAXACPAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'C3〕变形图如左图,C点的垂直位移为：第三章扭转一、概述传动轴§3-1、概述汽车方向盘§3-1、概述丝锥攻丝§3-1、概述§3-1、概述圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；杆外表上的纵向线变成螺旋线。受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用变形特点：Me

Me

实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形。§3-1、概述直接计算§3-2、外力偶矩扭矩和扭矩图1.外力偶矩二、外力偶矩扭矩和扭矩图按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶每秒作功：轴转速－n转/分钟输出功率－P千瓦求：力偶矩Me§3-2、外力偶矩扭矩和扭矩图圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。扭矩大小可利用截面法来确定。11TTMe

Me

AB11BMe

AMe

11x2.扭矩和扭矩图扭矩正负规定右手螺旋法那么右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)§3-2、外力偶矩扭矩和扭矩图当只在轴的两个端截面上作用有外力偶矩，那么沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在轴上的外力偶矩；当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。扭矩图：扭矩沿杆轴线方向变化的图形。例3-1如下图，圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩大小和方向均示于图中，单位为N.m，轴的尺寸单位为mm。试画出圆轴的扭矩图。3151315211163486A1B2C3D解：1.确定控制面从圆轴所受的外加力偶分布可用确定出A、B、C、D均为控制面。在AB、BC、CD段内任意选取一横截面，如1-1，2-2，3-3截面。3151315211163486A1B2C3D2.应用截面法确定各段圆轴内的扭矩用1-1，2-2，3-3截面将圆轴断开，作出断开横截面上的扭矩，假设扭矩为正方向，分别如图b、c、d所示。3151A13151315211163486A1B2C3D图a图b由平衡方程：∑M=0得：T1+315=0T1=-315N.mT13151315211163486A1B2C3D图a图c31513152A1B2T2由平衡方程：∑M=0得：T2+315+315=0T2=-630N.m由平衡方程：∑M=0得：T3-486=0T3=486N.m34863D图dT33.建立T-x坐标系，画出扭矩图，如图e。3151315211163486A1B2C3D图a图eT1=-315N.mT2=-630N.mT3=486N.m315630480_+T/(N.m)x解:(1)计算外力偶矩由公式Pk/n例题3-2(2)计算扭矩(3)扭矩图§3-2、外力偶矩扭矩和扭矩图练习如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图。解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.mMB=MC=350N.m；MD=446N.m2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段轴的扭矩〔内力〕如图a)、b)、c);均有∑Mx=0得：T1+MB=0 T1=-MB=-350N.mMB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.mMD-T3=0 T3=MD=446N.m3)画出扭矩图如d)BCAD350700446Mx/(N.m)x_+3.3纯剪切一、薄壁圆筒扭转时的切应力——通常指的圆筒，可假定其应力沿壁厚方向均匀分布内力偶矩——扭矩T薄壁圆筒nnMeMe

dlTMe

nndr0圆周扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍为直线。横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪应力存在。各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直。推断结论：圆筒两端截面之间相对转过的圆心角相对扭转角外表正方格子倾斜的角度—直角的改变量切应变即薄壁圆筒受扭时变形情况：gABCDB1A1D1

C1

D'D1'C1'C'gjABDCMe

Me

Me

Me

1、横截面上无正应力；2、只有与圆轴相切的切应力，且沿圆筒切向均匀分布；薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：gjABDCgABCDB1A1D1

C1

D'D1'C1'C'

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r0xt3、对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚也均匀分布。薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：静力学条件因薄壁圆环横截面上各点处的切应力相等得tdAnnMe

r0xdr0二、剪应力互等定理圆轴扭转时，横截面上存在剪应力，通过轴线的纵截面上也存在剪应力。xyzτττ’τ’微元上与横截面对应的一对面上存在的剪应力τ与其作用面的面积相乘后组成一绕z轴的力偶，其力偶矩为(τdydz)dx。为了保持微元平衡，与纵截面对应的一对面上必然存在剪应力τ’也组成一个力偶矩为(τ’dxdz)dy的力偶。这两个力偶矩大小相等、方向相反，微元才能平衡。剪应力互等定理〔成对定理〕三、剪切胡克定律由前述推导可知薄壁圆筒的扭转实验曲线Me

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gjABDC钢材的切变模量值约为：这就是剪切胡克定律其中：G——材料的切变模量tp——剪切比例极限对各向同性材料，可以证明：§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算应用平衡方法可确定横截面上的扭矩，但不能确定横截面上各点剪应力的大小。必须知道横截面上剪应力的分布情况。变形应变分布应力分布应力公式平面假定物性关系静力方程应力分析方法与过程 圆轴扭转的平面假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。1.变形协调方程Tdxrρ说明：在dx长度上，所有圆柱的两端面均转过相同的角度；半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径越小者剪应变越小。设到轴线任意远ρ处的剪应变为γ(ρ)，那么变形协调方程为：对应两个相邻的横截面，该值为常量。故：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截面中心之间的距离成正比。称为单位长度相对扭转角假设在弹性范围内加载，即剪应力小于某一极限值时，对于大多数各向同性材料，剪应力与剪应变之间存在线性关系。2.物理关系将变形协调方程带入剪切胡克定律得到：对于确定的横截面是一个不变的量。上式说明：横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。方向如下图。3.静力学方程作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化结果为一力偶，其力偶距即为该截面上的扭矩。于是有：即静力学方程。τ(ρ)TTτ(ρ)将代入积分后得到：GIp称为圆轴的扭转刚度。4、圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式将代入得到：这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表达式。对于T由平衡条件确定。Ip由 积分求得。对于直径为d的实心截面圆轴：对于内、外直径分别为d和D的空心截面圆轴，极惯性矩为：最大剪应力：发生在横截面边沿上各点，其值为：其中，称为圆截面的扭转截面系数。对于直径为d的实心圆截面，对于内外直径分别为d和D的空心截面圆轴，τ(ρ)Mx实心轴与空心轴Ip与Wp比照§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算变形协调方程物理关系静力学方程推导过程123TtmaxtmaxtmaxtmaxT〔实心截面〕〔空心截面〕工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。应力分布情况讨论题两根长度相等，直径不等的圆轴受扭后，轴外表上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上最大切应力分别为τ1max和τ2max，材料的切变模量分别为G1和G2。关于τ1max和τ2max的大小，请判断哪一个是正确的。Aτ1max>τ2max Bτ1max<τ2maxC假设G1>G2，那么有τ1max>τ2maxD假设G1>G2，那么有τ1max<τ2max讨论题由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如下图。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中ABCD四种结论，请判断哪一个是正确的。d2dG1G2TOO O O OA B C D例题3-3实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如下图，轴的转速n=100r/min，传递的功率P=7.5kW。实心圆轴直径d1=45mm；空心圆轴内、外直径之比〔d2/D2〕=a=0.5，D2=46mm。试确定实心轴与空心圆轴横截面上的最大剪应力。解：由题知二传动轴转速与功率相等，故承受的外加扭转力偶距也相等，横截面上的扭矩因而也相等。扭矩T=Me=〔9549*7.5/100〕实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如下图，轴的转速n=100r/min，传递的功率P=7.5kW。实心圆轴直径d1=45mm；空心圆轴内、外直径之比〔d2/D2〕=a=0.5，D2=46mm。试确定实心轴与空心圆轴横截面