不定方程整数解

从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解谈起2009-07-2814:51:35说两句标签：不定方程五年级五年级奥数下册：第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解谈起第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数斛谈起对于形如'=1+-L的方程，寻找整蜘-y使之满足方程，称为求不定方11xy求不定方程的整数解.这里n是取定的一个自然数.对于方程1=-+-.⑴oky显见厂尸12是一个整数解.还有没有别的解？如何求解7有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有「•个成熟的方法去处理同一类问题.由!二十.二两边减去,二，得：.石比yX'1_1・通分：4=1：因此F=耳，这里区-6大于0.为了使右端的分数形■y^.-6式更简明，我们不妨把戈Y看成一个整体，即令tr-6,那么Qt+6.因此了二6乂（：+t）由于送整数，上式右边也是整数，所以?也必须是整数，这样我们推知：土是E2的因数（约数）・由于是求不定方程2=1+上的整数解，这样，原先岬曼无边际”的找两oxy个未知数取？的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了.一个完全平方数的因子必然是奇数个；如6士有因子6、1和36,2和1比3和1Z4和9.6称为自补的因子.后面的?和金等都称为互补因子,这样）不妨记为:t—6,t=1,11=36；t=2tt-'=18jt=3itrx=12；t=4iLA士，。由di..62=Jtj=g也即一=J笈=8+Ly=—+6=t7+6这里t和t'是苧二36的互补因子匕当t=t』=6时自补因子也包括在内）所以!=工+］一的全部整数解为：6K.y0111f111t"=t.3=6,—=一+一；H0&1212-、1&斗犷&4H——一--I67426；*1245［；£+2跖111f11\=b；H1$9IS1"36+12J111(1116101父I超十46十9」由于圣明位对笔；弓的解与9M青况我们都看成一种了。以上情况推广到一般情况；求不定方程⑶^-/PGN0195.TTXT/PGN>iixy的整数解，只要找出点的全部成组互补因子t和t「则就可得到全部解.例如，求不定方格111TOC\o"1-5"\h\z=+...12Ky（班门二1办的整数解，首先分解1力二（22•3）2=24*克，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表.」2°■.21223,24¥124S16.3612■■2448求9L&3G72144TOC\o"1-5"\h\z按照互补或自补因子配对有：Civ1445V<2v72）『f办婴）（4,3©,（6；24）,（爪18）：,（16.,,（12，1邕「所以J=:+1共有8种解的因，个数+1=&：12版y2J13156,14弘'1560-?164E十■十-十-十1S'36"'20m’212S2424以上是忖馆L■2中L的全部解自然会想到如果把上式的,再分解成两今nxyx,『单位分数”［分子为1分母为整数）的和，那么我们相当于求：1111—=—+—+—mxyz的整数解，例如求解1111—=—+——+—J6xyz可以利用已经解过的;二工一1的3种解，再把其中3分解成1+L例如1=6岑yyyzq1+方5］唱如此等等。总之，求解1=上+3+!也是有路可循的了.特别，如n是质数，n=p,nxyzTOC\o"1-5"\h\z2=丁•除了P=2以外，P+1是合数.再分裂一［，例如p2Pzpp-blp+pp+1」利用"）口有因子丽m'因此六=+十一二厂产”工」+^+―5—.⑷"p"2r（p7坪’例恤99七+总二9得+白1111111—=—+-I-=—++,575次6&汶q730醛_=_++=—+——+——797x88><99567T在这些基本训练基酬上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。分成两部分，唯一方式：£-1C1.分成三部分，只有3种方式：明显的有1=£十;十上先有gg十;，再借用;=占+与=义+与这两种分解形式（因为2口有互补因子（1,4）,蹶霸,可有并且可断言只有这三种形式.为证明这一论断，先介绍“推广的抽展原理冉飞称之为平均值原理更确切）；一个（正买数，分放于几个拍屋中，必有一个抽雇内存放的数大于■或等于平均值注意，这里的数不局限于整数）1分拆为三个单位分数之和，必有一部分>；,而》:的单位分数只有只有?和二［不妨设L则！.二期二；问题转化成;23'"xyzx2宜3对于前一种情况，1-3=再用推广的抽屉原理，-二上中，不-22y-Eyz妨设匕工，必有一个只有如上两种情况（显然工卢卜.对于，TOC\o"1-5"\h\zyz4yA3y2yu：和分别必有和;归类成i=1%：*：和J%J的情况。34z64236244,对于后一种情况.1-）.十工，同样用推广的抽屉原理，有又3yzy2工《工=：,所以由看=工十）得）=!"_；=；,也归类成三种形式之中.§.忘3333yzz333：故推断正确口在某些问题研究申，并不要求马上找出全部解，只要能将一个单位分数分拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看nn+1n（n+1）、（我们这里是在讨论单位分数问题时用到Q）式.其实（5）式又可以改变形式写成；_11n::打+1;n七+1'它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它的具体应用请看习题）。公式（5）在将整数1分裂成若干个单位分数和的求解中，用起来很方便.例如可将1分裂为3年分母不等的单位分数之和.111fl1）1111=—H=FF=—H1.222{32^3）2361而且,只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1分裂成任意多个单位分数之和，如CW111=—+—+—-2362-41262-4126（4项）2-412742111—+111—+—4——+■2520一+——4一12142（6项）2630加1,2S5642作项）—十一十十十十一十十十2和3020129125542（1。项）口1111111111

_+_4--4-+4-4-+-4-（1。项）口26-3020121090125642如果要求你用两种不同的方式把1写成1。个单位分数之和，你不妨在分裂成9项时，另选一种方式用公式[一工十一如选）=3+上，即可口nn+1n（n+1）2021420实际上:,：公式工=々十只是最初济的1=1+1=^+上的nn+1n[ii+1）n.区yti+七ti+t

特殊情况，只是心士的互补因子选为i和川而已所以基本功在于L的nzy分解。上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分解成的因子，而只要求分解n的所有因子，还以数字12为例；1=[-工，把12（注意不是12勺）的所有因子由小到大排列：1、2、3、4、6、12,6个因子任取2个配成一个组合，共有15种：C1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,6）,（1,12）（2,3）,（2,。,（2,6）,（2,12）（3,4）,（36）,（3,12）（4,6）,（4,12）（6.12）对于每一组合（a,b）,写成1=士+」■，则有；a.十ba+b1a.b=十1212(a+b)12(a+t)11=十1212C-)心+切(V)("b)ab例如1_1V2~~\22J例如1_1V2~~\22J=_|_=_|_6乂54乂53020’所以工=1+工有1$种方式，但这里有重复，如由（1,2）配出的工=焉二12.k.y1212：X；p+前由（2,4）配出的工=昌。是相同的.只要在因子的配组中筛去这种情况即可.以上讨论相应于不定方程-=-+-对于其他分数形式的不定方程，分nxy子不是L的，例如11+*y，一般同学都可“猜”出W+葭当然还有N326333.:那么请问是否只有两种方式？答：是.理由呢？因为由推广的抽屉原理，L和工中至少有一个“，"二义cb），也即至少有一个或为〈，或二歹332-Q''''2为《从而归于两种形式.那么难度再增加一些，对不定方程（=1+1求整数：5=耳y求整数解呢V用“灵感来摸明卜学是一种解，最容易的是-1;if3113-1那么还有第三种解吗？用推广的抽屉原理分析：■!分拆成两个部分，当u时：（不妨设j襄y设即裒7）必有3>；,1只有洲可能；从而k.y屏］底I我5WJ3.4-=14-或工=§—9，合理情况只有在前一种中的工=1一种，所以y」JV4yId的整数解只有卜卜:及两种口5zy5555315习题习题七111.求不定方程与一刀,亍的全部整数解口-L」十二.求不定方程而-7+3的整数解中，使叶y为最小以及最大的两组解.1_113,应用公式双用十1）内斯十1（5）,证明：TOC\o"1-5"\h\z1；1；1.…1_99W2+>5+99^100—100。-4.证明,.111111111111117_+_++44++4+++4=一361015.212836455566：789110512087111=—十——十一5.求不定方程10*y胃的整薮解，你能求出全部整数解并证明再役有别的角嗡总计算1111+++■■■十习题解答

习频七解答2.3伊=2/30我为找出它的全部因子,我们这里介绍“字典法则期大案都知道英语字典排序规则，先有区部，再看第二个字母的顺序，第二个字母相同时，看第三个字母的顺序，等等这里因子的嘉值正好借用作顺序编号《当烝上题每个因子恰济是?次氟,如别的也一样,4口：23X22*51的因子字典法排序为：20•30*$吐］2°*31•51=15,20•习频七解答2.3伊=2/30我为找出它的全部因子,我们这里介绍“字典法则期大案都知道英语字典排序规则，先有区部，再看第二个字母的顺序，第二个字母相同时，看第三个字母的顺序，等等这里因子的嘉值正好借用作顺序编号《当烝上题每个因子恰济是?次氟,如别的也一样,4口：23X22*51的因子字典法排序为：20•30*$吐］2°*31•51=15,20•32•51=4工21*30*22,21*3^*于二1。,7一*5£0,2--35♦5^1821•32•51二如,乃♦30•51=202—30-5MQQ,22*31•5==63先排加的有&个再排团的也有&个最后”的也有e个"共有《茄？流注24个」2—T5,J0*期•5工=75,必乎•5M721-3一5吐6,回到本题,302的27个因子从小到大捷方向“Q”排序为；TOC\o"1-5"\h\z.12.345691012.151&20啰30ji'44||4||||+4++4:90045030022518015010090756050453630.其实只要排出3。以下，另一头用3乎的互补因子即可，利用11,1_1,1W~30+t+30+t?~X+7立即知什v=60+tR1现在问题转化成求t+t的最大最小值问题了一道里要求小学生会联想和类比，大家知道等积问题的一种结论；面枳固定的长方形中，正方形的周长最小.或者两数乘积不变的情况下，两数相等时和最小口现在Lf=3W固定，要t+t,最小了当然是H=3"所以:「最小为12”那么火打最大，也即60+t忙最大，经前面3F排成二行的表一看就知为60+900+1=951o决•按照公式二^二一工可得：M口+D口n+11_111_11百7一二于2X3=2~3)111111■■■T软4一与""99^100-99Too5因此1111+十+,■,+1嵬22：^,33^499裁1。。111111111=]_—+一__十一—一.十•一-十———十——•22334939999100,199=1=O100100,11,111111111'362'10152于22834111111_1111_113?+45"?"5*55-+66=5"6"和‘小石一T11_11记卜而=厂鼠因此11111111111111一十一十一.十—十—+—十—+—十—十—十—+—十十36,10152128364555667891105120,11=I=曼首先设笛因为显然不会有元=y=i的解由推广的抽屉原理:又因也须是整数，所以x可前的值只有।匕*4①如意1=2r--；---=----=—+1U阳。y工利用前面知银52只有两组互补因子（L25）,（5,5）,所以推知利G只有两组解；］G只有两组解；］11i,i+=--I-■1010830②文明=3,5一1111=②文明=3,5一1111=+30yz运用推广的抽履原理。手＜福*5十半y为整.口播取值为：，4、5一如y=3,詈-1=［一＜=所以L=1=.是一组解£30y30330y3z3-0如？=4,3-1=?._!==；,E要