第一章 空间向量与立体几何 期末练习题-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

试卷第=page55页，共=sectionpages66页试卷第=page66页，共=sectionpages66页第一章空间向量与立体几何期末复习题一、单选题（12题）1．已知向量，，且，那么实数的值为（）A． B． C． D．2．在长方体中，（）A． B． C． D．3．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，则（）A． B．C． D．4．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（）A． B．C． D．5．三棱柱中，为棱的中点，若，则（）A． B．C． D．6．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（）A． B． C． D．7．定义．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知空间向量，，且，则（）A．9 B． C．1 D．9．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、和AB的中点，点D是线段AC上的动点不包括端点若，则线段AD的长度是（）A． B． C． D．110．如图，等边三角形的边长为3，分别交AB，AC于D，E两点，且，将沿DE折起（点A与P重合），使得平面平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为（）A． B． C． D．11．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（）A． B． C． D．12．在直三棱柱中，，，是的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．二、填空题（4题）13．已知，，若与共线，则_________.14．如图，在四面体中，，，，D为的中点，E为的中点，若，其中x，y，，则___________，___________，___________．15．若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为__________16．在直三棱柱中,,且,,,点在棱上,且三棱锥的体积为,则直线与平面所成角的正弦值等于___________．三、解答题（6题）17．如图，平行六面体中，，，，点满足(1)求的长度(2)求18．如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线．(1)若AB＝2，求圆柱的侧面积；(2)设AB与CD是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC与所成角的大小．19．已知．(1)若，求的值．(2)若，且，求的值．20．已知空间三点，，，设，.(1)求与的夹角的余弦值；(2)若向量与互相垂直，求的值.21．如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，平面，且，的中点为．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值．22．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的正切值；(3)求点到平面的距离.答案第=page1717页，共=sectionpages1212页答案第=page1818页，共=sectionpages1212页参考答案：1．B【分析】根据平行关系可知，由向量坐标运算可构造方程求得结果.【详解】，，，解得：.故选：B.2．B【分析】根据空间向量加法的几何意义，结合长方体的性质进行求解即可.【详解】，故选：B3．D【分析】根据空间向量基本定理，用表示出即可.【详解】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，因此.故选：D.4．B【分析】根据空间基底的概念，空间向量基本定理结合条件即得.【详解】因为，所以共面，故A不合题意；因为，所以共面，故C不合题意；因为，所以共面，故D不合题意；对于B，假设共面，则存在，使，则，无解，所以不共面，可以作为空间的一组基底，故B适合题意.故选：B.5．D【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可．【详解】．故选：D．6．A【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.【详解】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底；对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底；对于C选项，，故不能构成空间的另一个基底；对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底.故选：A.7．B【分析】根据，利用空间向量的数量积和模的公式求解.【详解】解：由题意知．设与的夹角为，则．又，．,故选：B．8．C【分析】根据空间向量共线的充要条件即可求解.【详解】因为空间向量，，且，所以，解得：，故选：.9．A【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出向量，利用求得点坐标，再求线段AD的长度即可．【详解】在直三棱柱中，，以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，由于，所以，解得，所以线段AD的长度为.故选：A10．D【分析】分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成角的余弦值，再得正弦值．【详解】由题意可知DB，DE，DP两两垂直，分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，由已知，到直线的距离为，则，，，，从而，.故，因此是钝角，.故选：D．11．C【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，因为，所以，，，，，所以点P到AB的距离．故选：C.12．B【分析】设，求的坐标，利用向量垂直坐标表示列方程求值，再写出，利用空间向量夹角公式得到向量夹角，最后得到异面直线夹角.【详解】设，则，，，，，，，，因为，所以，解得.因为，，所以，故异面直线与夹角的余值为.故选：B.13．##【分析】由向量共线的坐标表示得出的值.【详解】因为与共线，所以，所以，，则.故答案为：14．

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##【分析】根据空间向量的线性运算可得，从而可求解.【详解】因为D为的中点，E为的中点，所以.因为，所以.故答案为:.15．3【分析】由向量的夹角公式列方程求解.【详解】向量，，∴，，．又夹角的余弦值为，∴，解得．故答案为:．16．【分析】根据题意建立空间直角坐标系,根据三棱锥的体积求出点的位置,进而求出各个点的坐标,求出平面的法向量,再求出夹角的余弦值的绝对值,即线与面夹角的正弦值.【详解】解:由题知直三棱柱中,,所以以为原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴,建立如图所示空间直角坐标系:,,,又有三棱锥的体积为4,即,,,记平面法向量为,则,即,令可得,,故直线与平面所成角的正弦值等于.故答案为:17．(1)；(2).【分析】（1）由线段的空间位置关系可得，应用向量数量积的运算律求即可；（2）由，结合（1）并应用向量数量积的运算律求值.【详解】（1）如下图，，又，所以，故.（2）如下图，，所以.18．(1)；(2).【分析】（1）由已知得到底面半径以及母线的值，代入公式即可求出；（2）用向量、、来表示出、，进而求出它们的夹角，即可求出结果.【详解】（1）由已知可得，底面半径，母线，所以圆柱的侧面积.（2）由已知可得，两两垂直，且相等，设，则，，.又，，则.所以，又，所以，所以异面直线AC与所成角的大小为.19．(1)；(2).【分析】（1）利用向量的线性运算和向量平行的坐标运算，列方程求解.（2）利用向量垂直的充要条件和向量模的坐标运算，列方程求解.【详解】（1），．，，解得（2）由，得，∴

，由，有，即，，解得20．(1)(2)或【分析】（1）根据空间向量夹角公式求解即可.（2）根据题意得到，再解方程即可.【详解】（1），..（2），.因为向量与互相垂直，所以，即，解得或.21．(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明，即可证明（2）分别求出面和面的法向量即可求出二面角的余弦值.【详解】（1）由题意证明如下在平行四边形中，，∴，∴在四棱锥中，平面，∵∴∵，，∴∵∴（2）由题意及（1）得，平面，的中点为在平行四边形中，，，建立空间直角坐标系如下图所示由几何知识得，，，，，在面中，其一个法向量为在面中，，设其一个法向量为∴即，解得：当时，，二面角的余弦值为：22．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，根据即可解决；（2）设平面的一个法向量为，根据空间向量方法解决面面角即可；（3）由题得，由点到平面的距离为解决即可.【详解】（1）根据题意，建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴