复杂应力状态强度问题

Page1黄海明工程力学Page2第九章复杂应力状态下强度问题

§9-1

引言

§9-2

关于断裂的强度理论

§9-3

关于屈服的强度理论

§9-4

弯扭组合与弯拉(压)扭组合

§9-5

薄壁圆筒的强度计算Page3一、问题的提出

复杂应力状态建立强度条件的困难实验量大、难度大（三向加载困难），总结规律困难。

单向拉伸强度条件实验易测无数组合无数组合§9－1引言Page4利用简单应力状态实验结果建立复杂应力状态强度条件二、研究目的三、研究途径四、强度理论——关于材料破坏或失效规律的假说寻找引起材料破坏或失效的共同规律确定复杂应力的相当（单向拉伸）应力Page5五、两类强度理论1.两类破坏形式脆性材料：断裂塑性材料：屈服铸铁拉伸曲线2.两类强度理论关于断裂的强度理论关于屈服的强度理论o低碳钢拉伸曲线Page6§9-2关于断裂的强度理论一、最大拉应力理论（第一强度理论）断裂条件：（σ1>0）强度条件：该理论认为：引起材料断裂的主要因素是最大拉应力

不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力1达到材料单向拉伸时的强度极限b，材料即发生断裂。r1为第一强度理论的相当应力单向拉伸强度极限工作应力第一主应力Page7

第一强度理论的应用

铸铁试件拉伸断裂

铸铁试件扭转断裂

铸铁试件压缩试验

第一强度理论适用范围：第一强度理论失效Page8二、最大拉应变理论（第二强度理论）断裂条件：

当脆性材料存在压应力，而且σ->σ+时，试验与第一强度理论结果不符合。该理论认为：引起材料断裂的主要因素是最大拉应变

不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应变1达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应变1u，材料即发生断裂。工作应变：单拉极限应力单拉极限应变Page9二、最大拉应变理论（第二强度理论）强度条件：第二强度理论的相当应力断裂条件：工作应变：单拉极限应力转换为由应力表示的断裂条件

第一强度理论适用范围：Page10三、第一、二强度理论综合示意图（平面应力状态）双拉拉压第一强度理论极限曲线σxσy

第一强度理论的极限曲线σxσyσbσxσyσbσbσbσxσyPage11拉压σxσyσxσy

第二强度理论的极限曲线（平面应力状态）双压σxσyσxσyσbσb第一强度理论极限曲线第二强度理论极限曲线Page12某些试验观测结果及相关讨论（1）石块、混凝土等压缩：纵向开裂（2）铸铁拉压强度的关系

直接实验

第二强度理论预期大致与实验符合，开裂机理尚存争论Page13（3）脆性材料与的关系

由第一强度理论

由第二强度理论

工程通常取铸铁扭转断裂铸铁拉伸断裂纯剪：Page14铸铁二向断裂试验

在二向拉伸以及压应力值超过拉应力值不多的二向拉伸－压缩应力状态下，最大拉应力理论与试验结果相当接近

当压应力值超过拉应力值时，最大拉应变理论与试验结果大致相符第一、二强度理论的实验验证200100Page15§9-3关于屈服的强度理论一、最大切应力理论（第三强度理论）屈服条件:强度条件：简单，被广泛应用。缺点：未计及σ2的影响。该理论认为：引起材料屈服的主要因素是最大切应力

不论材料处于何种应力状态，只要最大切应力max达到材料单向拉伸屈服时的最大切应力S

，材料即发生屈服。单向拉伸屈服时相应最大切应力工作应力最大切应力第三强度理论的相当应力Page16二、畸变能理论（第四强度理论）屈服条件：该理论认为：引起材料屈服的主要因素是畸变能密度

不论材料处于何种应力状态，只要畸变能密度vd达到材料单向拉伸屈服时的畸变能密度vdS

，材料即发生屈服。单向拉伸屈服时畸变能工作应力的畸变能(单向拉伸屈服)Page17二、畸变能理论（第四强度理论）强度条件:屈服条件：应力表示的屈服条件：Page18三、第三和第四强度理论之比较

第三强度理论屈服条件及极限曲线屈服条件：平面应力状态:1、双拉a，xy2、双拉b，

σsσxσy0σs①②(一象限①)(一象限②)Page195、拉压a，xy(四象限⑤)4、双压b,

6、拉压b，3、双压a，xy(三象限③)平面应力状态下的极限曲线(三象限)(二象限⑥)σs-σs-σsσsσxσy①②③④⑥⑤Page20平面应力状态屈服条件为：或作此椭圆，它为第三强度理论极限曲线(六边形)的外接椭圆，非屈服区稍大“四强”与实验结果符合的更好“三强”偏于安全，最大偏差为15.47％（纯剪情况）σxσy0⑥①②③④⑤σsσs-σs-σs椭圆方程第四强度理论屈服条件及极限曲线

(设x,y,z轴方向为主方向）Page21钢、铝二向屈服试验最大切应力理论与畸变能理论与试验结果均相当接近，后者符合更好四、第三、四强度理论的实验验证Page22五、塑性材料与的关系直接实验ⅰ).根据第三强度理论考察纯剪状态ⅱ).根据第四强度理论ⅲ).工程中一般取Page23六、强度理论的适用范围（1）一般情况

脆性材料：抵抗断裂的能力小于抵抗滑移的能力适宜用第一与第二强度理论

塑性材料：抵抗断裂的能力大于抵抗滑移的能力适宜用第三与第四强度理论

相当应力：（塑性材料）（塑性材料）（脆性材料）（脆性材料）Page24（2）工作条件的影响材料的失效形式，不仅与材料性质有关，且与应力状态形式、温度与加载速率有关

三向等压

脆塑，深海岩层

金属低温

塑脆

三向等拉

塑脆，低碳钢拉伸圆试件 中心呈脆性断裂特征低碳钢拉伸断口Page25七、一种常见平面应力状态的相当应力根据第三强度理论：根据第四强度理论：Page26ABCz

例：讨论尺寸与承载相同的铸铁梁与钢梁的强度校核两梁危险截面是否相同？两梁截面危险点是否相同？两梁各采用何强度理论校核？思考题（后面回答）从力学角度，两梁各用何种截面较佳？Page27

讨论丁字形铸铁悬臂梁的强度校核

分析：1.危险截面位置及其内力危险截面xMFl-xFsF+①画剪力弯矩图判断危险截面②计算危险截面内力Page28

讨论丁字形铸铁悬臂梁的强度校核2.危险点位置危险截面画截面正应力与切应力分布图可能危险点为A、B、C、D四点Page294.强度校核：A、B、C三点，用第一强度理论D点，用第二强度理论3.危险点应力计算Page30ABCz尺寸与承载相同的铸铁梁与钢梁的危险截面是否相同？对上下对称截面，相同；上下不对称面，不一定同。图示铸铁梁可能有两危险截面。两梁截面危险点是否相同？

讨论：对上下对称截面，相同（铸铁梁危险点在受拉区）；上下不对称截面，不一定同。图示铸铁截面可能有四危险点。Page31ABCz对钢梁采用第一、二强度理论；铸铁梁采用第三、四强度理论。

讨论：对钢梁采用对称截面；对铸铁梁采用上下不对称截面。（自行分析为什么）两梁各采用何强度理论校核？从力学角度，两梁各用何种截面较佳？Page32例:钢梁,F=210kN,[s]

=

160MPa,h

=

250mm,b

=

113mm,t

=10mm,d

=

13mm,Iz

=

5.25×10-5m4,校核强度解：1.问题分析危险截面～截面C+Page332.上下边缘smax与中性轴处tmax强度校核采用第三强度理论危险点：横截面上下边缘；中性轴处；腹板翼缘交界处Page343.腹板翼缘交界处强度校核如采用第三强度理论Page35

腹板翼缘交界处4.讨论对短而高薄壁截面梁,除应校核smax作用处的强度外,还应校核tmax作用处,及腹板翼缘交界处的强度上下翼缘处中性轴处结论Page36§9-4弯扭组合与弯拉(压)扭组合变形

组合变形：由外力引起的变形，包括两种或三种基本变形（拉压、扭转、弯曲）的组合

组合变形强度计算步骤：

外载分解：

分解为基本变形组合

内力计算：画轴力、扭矩与（或）弯矩图，确定危险面

应力分析：各基本变形应力分析

强度计算：（应力叠加）Page37

一、外力分解：分解为拉压、扭转和弯曲载荷

平行轴向的载荷向轴线简化

垂直轴向载的荷向剪心简化

(对称截面剪心与形心重合)一般斜向载荷如何简化?外力偶如何简化?轴向载荷＋弯曲力偶对称截面剪心与形心重合（过剪心）横向力＋扭转力偶横截面Page38

二、内力计算：轴力、扭矩、剪力、弯矩图；危险截面

三、应力分析：三种基本变形应力公式1.拉压（合外力过截面形心）2.扭转圆管非圆管*开口薄壁*闭口薄壁tFPage39薄壁截面：3.弯曲（对称弯曲）矩形截面：Page40

四、强度分析：

1.弯拉（压）组合拉弯叠加（危险点b）

适用范围

与横截面高度相比可忽略应用强度条件

应力叠加确定危险点求相当应力线弹性Page412.弯扭组合(圆轴)危险截面危险点应力状态－单向＋纯剪切强度条件（塑性材料,圆截面）－截面A－a与bPage423.弯拉扭组合危险截面－截面A危险点－

a应力状态－单向＋纯剪切强度条件（塑性材料）Page43

分析：危险点a、b求:

危险点（考虑弯曲切应力）

例：闭口矩形薄壁杆的强度计算。已知：强度条件（塑性材料）Page44（2）危险点b切应力最大（3）一般校核a，b两点，通常a点危险

解：（1）危险点a正应力最大Page45例：圆轴在F1,F2的作用下处于平衡状态。已知F1的大小，F2作用的角度，轴的直径D和结构尺寸a，R1,R2。分别按第三和第四强度理论校核轴的强度。zyxF1M1F2zF2yM21、外力分析：将各横向力向轴线简化，根据平衡方程，求出各外载荷的大小zyF2F1aaa/2xR1R2求出所有支座反力Page46zyxF1M1F2zF2yM22、内力分析：

M1、M2为扭力矩，使轴发生扭转

F2y使轴在铅垂面(x-y面)内弯曲

F1、F2z使轴在水平面(y-z面)内弯曲弯弯扭组合Page47

画内力图：xTxMz+M2xMzzyxF1M1F2zF2yM2ABCF2za/2FAaCBF2ya/2CB确定危险截面：CB段中的某处，何处？弯弯扭组合对于圆轴：Page48xMzxMzF2za/2FAaCBF2ya/2CB可以证明：CB段的合弯矩图为凹曲线xM总CB危险截面必为C或B截面3、强度校核：

计算危险截面的总弯矩和扭矩

代入弯扭组合的相当应力计算公式中，求出相当应力Page49例：标语牌重P＝150N，风力F＝120N，钢柱D＝50mm，d＝45mm，＝80MPa，a＝0.2m，l＝2.5m，按第三强度理论校核强度。解：（1）受力简图：见图b（2）危险截面：B截面（3）内力：轴力扭矩xy平面弯矩yz平面B点弯矩Page50（4）应力计算（5）强度校核B端合弯矩风压内力比自重内力大得多Page51§9-5矩形截面杆组合变形一般情况

内力分析应力分析强度条件Page52例：图示钢质曲柄，试分析截面B的强度解：1.内力分析Page532.应力分析弯矩与轴力对应正应力a点正应力最大（叠加）扭矩与剪力对应切应力b、c两极值点Page54危险点a,b,c应力计算Page55a点处b点处c点处3.强度条件Page56§9-6薄壁圆筒的强度计算薄壁圆筒实例Page57ppδD1.受内压的薄壁圆筒的应力

D——内直径

δ——壁厚

tx

σx

——轴向正应力

σt——周向正应力一、薄壁圆筒的应力分析受内压薄壁圆筒横与纵截面上均存在的正应力，对于薄壁圆筒，可认为沿壁厚均匀分布当δD/20时称为薄壁圆筒Page58ppδD2.

薄壁圆筒的轴向应力：根据平衡条件：轴向正应力：假定σx、σt沿壁厚均布（薄）p取部分圆筒联通内部气体为研究对象Page59ppδD3.薄壁圆筒的周向应力：周向正应力：根据截取部分平衡：P(l·D)l轴向内力未画出Page60第三强度理论：tx4.强度条件：关于径向应力第四强度理论：

Page61根据平面应力状态之广义胡克定律：轴向正应变：周向正应变：

受内压薄壁圆筒的变形分析：Page62解：

（1）横截面应力由内压与弯矩引起（2）纵截面应力由内压与扭矩引起例：已知塑性材料，，校核强度，求AB的伸长。或Page63（3）危险点：（4）确定主应力（解析法）最下处Page64（6）强度条件（7）AB应变AB伸长（5）确定主应力（图解法）OC（平面应力状态）Page65例：上例无弯矩M，扭矩m，圆筒位于两刚性壁之间，计算圆筒应力。解：（1）设圆筒受内压后与 两壁接触，计算应力（2）计算AB的应变（3）变形协调条件若求得为拉力，怎么办？Page66解：设筒套间分布压力为p，分别考虑筒和棒的受力。例：铝棒、钢筒套在一起，无间隙，无摩擦，钢，铝求筒内应力。变形协调条件：棒侧面受均匀外压p筒侧面受均匀内压pPage67变形协调条件：棒侧面受均匀外压p筒侧面受均匀内压p对于铝棒，根据广义胡克定理：其中Page68变形协调条件：棒侧面受均匀外压p筒侧面受均匀内压p对于钢套：对于铝棒，根据广义胡克定理：其中∴钢筒是单向应力状态(1)由式（1）解出p，然后求解筒、棒内应力Page69题:9-19如图所示：

l=300mm,d=40mm,b=20mm,h=60mm,E=210GPa,G=84GPa;铅垂载荷F=1kN计算轴AB的危险点r32.

计算截面D转角D

和挠度wD（A、B为固定端）。思考：如何解组合变形的静不定问题。如何应用叠加法。Page70FlFl/2Fl/2TFl/2Fl/2+-（1）先解扭转静不定问题解：

1.计算轴AB的危险点r3研究思路：叠加法——分解为扭转与弯曲静不定问题FBACllFl思考：能否不用变形协调条件求解?对称性的运用。Page71(2)求解弯曲静不定问题

CMMFl/4Fl/4Fl/4--+协调条件：

A＝0M=F