《大学物理实验》第二部分 误差理论与有效数字

PAGEPAGE25第1章误差理论与有效数字1.1测量与误差在物理实验中，总要进行大量的测量工作。测量包含两个必要的过程，一是对许多物理量进行检测，二是对测量的数据进行处理。在实验前，必须对所观测的对象进行分析研究，以确定实验方法和选择具有适当精度的测量仪器。在实验后，对测得的数据加以整理、归纳，用一定的方式(列表或图解)表示出它们之间的相互关系，并对实验结果给予合理的解释，做出正确判断。以上这些过程都与误差理论密切相关。例如，计算中取几位有效数字，作图时选多大的比例值等。若处理数据不当，就会影响测量结果的准确度，因此不能随心所欲。否则，实验中精细的测量都是徒劳的。1.1.1测量的基本概念1.测量的含义任何实验都离不开测量，没有测量就没有科学。在一定条件下，任何物理量都必然具有某一客观真实的数据。所谓测量就是把待测物理量与作为计量单位的同类已知量相比较，找出待测物理量是单位多少倍的过程。这个倍数叫做测量的读数，读数加上单位记录下来就是数据。任何物理量都是有单位的。因此，在物理实验中测量物理量记录数据时，一定要记录单位。在完成测量时，必须明确测量对象、测量单位、测量方法和测量准确度，通常把这四点称为测量的四要素。2.测量的分类按测量方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量；按测量条件的不同，测量又分为等精度测量和不等精度测量。=1\*GB2⑴、直接测量和间接测量直接测量是把一个量与同类量直接进行比较以确定待测量的量值。一般基本量的测量都属于此类，如用米尺测量物体的长度，用天平称铁块的质量，用秒表测量单摆的周期等。仪表上所标明的刻度或从显示装置上直接读取的值，都是直接测量的量值。在物理实验中，能够直接测量的量毕竟是少数，大多数是根据直接测量所得数据在一定的函数关系下，通过运算得出所需要的结果。例如，直接测出单摆的长度和单摆的周期，应用公式，以求重力加速度，这种测量称为间接测量。=2\*GB2⑵、等精度测量和不等精度测量对某一量进行多次测量，得个数值：如果每次测量都是在相同的条件下进行的，则没有理由认为所得的个值中，某一个值比另一个值要测得准确些。在这种情况下，所进行的一系列测量称为等精度测量。所谓相同条件的含义，是指同一个人，用同一台仪器，每次测量的周围条件都相同(如测量时环境、气温、照明情况等未变动)。这种情况就可认为各测量值的精确程度是相同的。对某一量，进行了次测量，得到个值：如果每次测量的条件不同，那么这些值的精确程度不能认为是相同的。在这种情况下，所进行的一系列测量叫做不等精度测量。例如，同一实验者用精度不同的3种天平称量某一物体质量，得到3个值、、，或者用3种不同的方法测量某一物质的密度，得3个值、、，这都是不等精度测量。大学物理实验中一般都采用等精度测量。1.1.2误差的基本概念1.1.2.1真值任何一个物理量在某一时刻和某一位置或某一状态下，都存在着一个客观值，这个客观值称为真值。1.1.2.2绝对误差与相对误差1.绝对误差测量当然希望得到真值，但测量总是在一定的环境（温度、湿度等)和仪器条件下进行的，由于测量条件（环境、温度、湿度等）的变化以及仪器精度的不同，因而在任何测量中，测量结果与待测量客观存在的真值之间总存在着一定的差异。测量值与真值的差值叫做测量误差简称误差。即 (1-1)由于是测量值对真值的绝对偏离，通常把它称为绝对误差。显然，绝对误差除大小外，还有正负（方向）。2.相对误差绝对误差的大小能够反映对同一被测量的测量效果的好坏。例如，对一长度为1m左右的物体进行测量，绝对误差为5cm的就比为10cm的测量效果好。但对不同的被测量就很难确定了，如测量长为1000m的物体的绝对误差是1m，测量长为100cm（1-2）由相对误差的大小就可以比较两个测量结果的好与坏，上述例中的第一个测量相对误差是0.1%，第二个测量相对误差是1%，显然第一个测量比第二个测量效果好。任何测量都不可避免地存在误差，所以，一个完整的测量结果应该包括测量值和误差两个部分。1.1.2.3.误差的分类误差按其性质和产生原因可分为三大类：系统误差、随机误差和粗大误差。1.系统误差系统误差的特征是：在同一条件下，多次测量同一个量时，误差的大小和方向保持恒定，或在条件改变时，误差的大小和方向按一定规律变化。增加测量次数并不能减少这种误差对测量结果的影响。=1\*GB2⑴、系统误差的主要来源①仪器误差这是由于测量工具或仪器本身的缺陷而产生的，如天平臂不等长,砝码标称质量不准确，尺子刻度偏大，表盘刻度不均匀等。②方法误差这是由于实验方法或理论不完善而导致的。如采用伏安法测电阻时，电表的内阻产生的误差，采用单摆周期公式测量周期时，摆角引起的误差，这些都是方法误差。③环境误差这是由于周围环境与实验要求不一致而引起的误差。如测量时实际温度与所要求的温度有偏差，测量过程中温度、湿度、气压等按一定规律变化的因素引起的误差。④人身误差这是由于测量者本身的生理特点或固有习惯所引起的误差，例如某些人在进行动态测量记录某一信号时有滞后的倾向等。系统误差一般都有较明显的原因，因此可以采用适当的措施加以限制或消除它对测量结果的影响。系统误差是测量误差的重要组成部分，所以发现系统误差，弄清其产生原因，进而消除它对测量结果的影响则是物理实验的一项重要任务。=2\*GB2⑵、发现系统误差的方法提高测量精度，首要问题是发现系统误差，然而在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，目前还没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法，只有根据具体测量过程和测量仪器进行全面的仔细分析，针对不同情况合理选择一种或几种方法加以校验，才能最终确定有无系统误差。下面简单介绍几种适用于发现某些系统误差的常用方法。=1\*GB3①实验对比法。这种方法主要适用于发现固定系统误差，其基本思想是改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量。例如，采用不同方法测同一物理量，若其结果不一致，表明至少有一种方法存在系统误差。还可采用仪器对比法、参量改变对比法，改变实验条件对比法、改变实验操作人员对比法等，测量时可根据具体实验情况选用。②理论分析法。主要进行定性分析来判断是否有系统误差。如分析仪器所要求的工作条件是否满足，实验所依据的理论公式所要求的条件在测量过程中是否满足，如果这些要求没有满足，则实验必有系统误差。③数据分析法。主要进行定量分析来判断是否有系统误差。一般可采用残余误差观察法、残余误差校验法、不同公式计算标准差比较法、计算数据比较法等方法。=3\*GB2⑶、系统误差的减小和消除在实际测量中，如果判断出有系统误差存在，就必须进一步分析可能产生系统误差的因素，设法减小和消除系统误差。由于测量方法、测量对象、测量环境及测量人员不尽相同，因而没有一个普遍适用的方法来减小或消除系统误差。下面简单介绍几种减小和消除系统误差的方法和途径。①从产生系统误差的根源上消除。从产生系统误差的根源上消除误差是最根本的方法，通过对实验过程中的各个环节进行认真仔细分析，发现产生系统误差的各种因素。可以从下面几个方面采取措施从根源上消除或减小误差：:采用近似性较好又比较切合实际的理论公式，尽可能满足理论公式所要求的实验条件，选用能满足测量误差所要求的实验仪器装置，严格保证仪器设备所要求的测量条件，采用多人合作，重复实验的方法。②引入修正项消除系统误差。通过预先对仪器设备将要产生的系统误差进行分析计算，找出误差规律，从而找出修正公式或修正值，对测量结果进行修正。③采用能消除系统误差的方法进行测量。对于某种固定的或有规律变化的系统误差，可以采用交换法、抵消法、补偿法、对称测量法、半周期偶数次测量法等特殊方法进行清除。采用什么方法要根据具体的实验情况及实验者的经验来决定。无论采用哪种方法都不可能完全将系统误差消除，只要将系统误差减小到测量误差要求允许的范围内，或者系统误差对测量结果的影响小到可以忽略不计，就可以认为系统误差已被消除。2.随机误差(偶然误差)在同一条件下多次测量同一物理量时，每次出现的误差时大时小，时正时负，没有确定的规律，但就总体来说服从一定的统计规律，这种误差称为随机误差。=1\*GB2⑴、随机误差产生的原因这种误差是由于人的感官灵敏度和仪器精密程度的限制，周围环境的干扰以及伴随着测量而来的不可预料的随机因素的影响而造成的。=2\*GB2⑵、随机误差的特征图1-1偶然误差的正态分布随机误差的特征是单个测量具有随机性，不可预知，多次测量呈现一定的统计规律。当测量次数很大时，可以认为近似服从正态分布（高斯分布），如图1-1所示。横坐标表示随机误差；纵坐标表示误差出现的概率密度函数。由图可知，随机误差具有下面的一些特性性。图1-1偶然误差的正态分布①单峰性。测量值与真值相差越小，其可能性越大；与真值相差很大，其可能性较小。②对称性。测量值与真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。③有界性。在一定的测量条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。④抵偿性。随机误差的算术平均值随测量次数的增加越来越小。3.粗大误差由于测量时，观测者不正确的使用仪器、粗心大意观察错误或记错数据而引起的不正确的结果。这种误差称为粗大误差。它实际上是一种测量错误，相应数据应当予以剔除。1.1.3直接测量的误差估计由于在测量过程中不可避免地存在有随机误差，因而对某一物理量进行多次测量的结果不会是完全相同的。设对某一物理量在相同条件下进行重复测量，获得了一组数据：，，…，。一般地讲，这个数据是彼此不同的，如果把它们全部写出来作为测量结果当然是不方便的，用其中任一个测量值作为测量结果显然也是不全面的，那么应该用怎样一个数来表达这一结果才合适呢？1.用算术平均值表示真值=1\*GB2⑴、算术平均值原理在相同条件下对某物理量进行次等精度重复测量，每次的测量值分别为，，…，，真值为，则任意一次测量的误差。对此式求和得：两边同除以，得：令：得（1-3）又根据随机误差的性质，当时，。因而当足够大时，算术平均值将趋近于真值，我们可以用算术平均值作为多次测量的最近真值，即多次测量的最佳值。=2\*GB2⑵、算术平均值在实验中的指导意义根据算术平均值原理，在多次重复测量时，由于偶然误差的抵偿性，使得算术平均值趋近于真值，即算术平均值的误差趋近于零。所以增加测量次数可以减小测量的随机误差，这对于提高测量结果的可靠性是有利的。因此，在实验中如有可能，都应当进行多次测量。但是并不是测量次数越多越好，因为增加测量次数必定要延长测量时间，这将给保持稳定的测量条件增加困难。同时，增加测量次数也会给测量者造成疲劳，这又可能引起较大的观测误差。所以实际测量次数不必过多，一般在科学研究中，取10至20次；而在我们的物理实验中由于时间有限可以取5到10次。2.测量列的标准误差（方差）测量列是指在相同的条件下对同一个物理量进行多次重复测量所得测量值的集合。由于随机误差的存在，测量列中各个测量数据相互稍有差异，标准误差就是对这组数据可靠性的一种评价。=1\*GB2⑴、测量列标准误差（方差）的概念测量列标准误差的定义为：测量列中各测量值误差的平方和的平均值的平方根。（1-4）由于被测量的真值是未知数，各测量值的误差也都无法求出，因此不可能按式（1-4）计算标准误差。=2\*GB2⑵、测量列标准误差（方差）的计算公式根据算术平均值原理，我们知道，测量列中测量值的算术平均值是该测量列表示的待测量真值的最佳值。因此，在实验中我们用算术平均值代表真值，这样我们就可以得到测量列中各个测量值与算术平均值的差，称之为偏差。即（1-5）如果用偏差来计算测量列的方差，理论分析表明，偏差与误差的关系为：（1-6）将式（1-6）代入（1-4）式，就得到用偏差表示的标准误差的计算公式：(1-7)=3\*GB2⑶、测量列标准误差（方差）的统计意义标准误差不是测量值的实际误差，也不是误差范围，它只是对一组测量数据可靠性的估计。标准误差小，测量的可靠性就大一些。反之，则测量不大可靠。那么，标准误差和各测量值的实际误差之间有什么关系呢？按照随机误差的高斯理论，测量列的标准误差为时，此测量列中任一测量值的误差有68.3%的可能性落在[-，+]区间之内。我们把区间[-，+]称为置信区间，其相应的概率P()=68.3%称为置信概率。=4\*GB2⑷、算术平均值的标准误差（方差）根据算术平均值原理，当测量次数无限增多时，其算术平均值就无限接近真值。然而，实际测量次数总是有限的，因而有限次测量的算术平均值与真值之间总是有一定的偏离的。换句话说，有限次测量的算术平均值也是有误差的。例如我们通过测量获得了一组数据，并得出一个算术平均值作为测量的结果。那么以后别人，甚至我们自己再按完全相同的情况重复这种测量时，由于随机误差的影响，不一定能得出完全相同的平均值。这种现象就是算术平均值误差的具体表现。理论分析表明，一组个测量值的测量列标准误差与其算术平均值标准误差之间的关系是：（1-8）用偏差表示则为：（1-9）它表示在范围内包含真值的概率为68.3%。由式（1-8）可知，随着测量次数增加减小，这就是通常所说的增加测量次数可以减小随机误差。但由于与成反比，的下降比的增长速率慢得多，后变化极慢，所以实际测量次数一般取5～20次。但时，要获得时同样的测量置信概率，应乘一因子。例1-1：用单摆测重力加速度公式为，对摆长l测量10次，测得值如下表：测量次序12345678910l/cm100.299.899.9100.2100.0100.199.9100.099.9100.1对周期T测量5次，测得值如下表：测量次序12345T/s2.0012.0021.9982.0031.997求和的算术平均值，算术平均偏差，某一次测量结果的的标准偏差，算术平均值的标准偏差。解:1.1.4.1仪器的最大误差测量是用仪器或量具进行的。有的仪器比较粗糙或灵敏度较低；有的仪器比较精确或灵敏度较高，但任何仪器都存在误差。仪器误差就是指在正确使用仪器的条件下，测量所得结果的最大误差，用符号表示。仪器精度的级别通常是由制造工厂和计量机构使用更精确的仪器、量具，检定比较后给出的。下面列出常见仪器的最大误差。表1-1物理实验教学中正确使用仪器时仪器的最大误差仪器备注米尺0.5mm最小刻度1mm游标卡尺取卡尺分度值螺旋测微计0.004mm量程在0～50mm物理天平0.05g感量0.1g电表量程,准确度等级数字式仪表仪器最小读数直流电阻箱为示值，是直流电阻箱准确度等级，是与准确度等级有关的系数，是所使用的电阻箱的旋钮数其它仪器由实验室给出2.仪器的标准误差.仪器的标准误差与仪器的最大误差有如下关系 =1\*GB2⑴、仪器误差密度函数呈均匀分布时S= (1-10)=2\*GB2⑵、仪器误差密度函数呈正态分布时（1-11）1.1.5间接测量的误差传递直接测量所得的结果都是有误差的，由直接测量值经过运算而得到的间接测量值也有误差。估算间接测量误差的方法叫做误差传递。1.误差的一般传递公式设 (1-12)若各直接测量值的绝对误差分别为，则间接测量值的绝对误差为，其计算方法如下：将式(1-12)求全微分，得 (1-13)由于分别相对于是一个很小量，将式(1-13)中用代替，则 (1-14)由于具体误差的符号并不知道，为谨慎起见，只能作最不利考虑，认为各项误差将累加，这样可能导致误差估算偏大，因此将式(1-14)中各项分别取绝对值相加。即 (1-15)相对误差为 (1-16)式(1-13)和(1-14)称为误差传递的一般公式，或称为误差的算术合成。2.标准误差的传递公式若各直接测量值的绝对误差分别为标准误差、、、…、等，则间接测量值的误差估算需要用误差的方根合成，即绝对误差为 (1-17)相对误差为 (1-18)式(1-17)和式(1-18)称为标准误差的传递公式。表1-1列出了一些常用函数的标准误差传递公式。误差传递公式不仅可以用来计算间接测量值的误差，而且还可以用来分析各直接测量值的误差对最后结果影响的大小。对于那些影响大的直接测量值，预先考虑采取措施，以减小它们的影响，从而为合理选用仪器和实验方法提供依据。表1-2常用函数的标准误差传递公式函数表达式标准误差传递公式1.2实验不确定度及测量结果的表示在科学、工程、工农业生产和商业贸易等各个领域都需要提供测量结果及其测量结果可信任度的数据。以往人们习惯于用误差来表示测量结果的可信任度。由于误差是测量结果与被测量（真）值之差，而被测量（真）值大多数情况下是未知量，从而使得这种表示方法受到质疑。1993年国家标准化组织（ISO）在国际计量局、国际电工委员会、国际理论物理与应用物理联合会、国际理论化学与应用化学联合会、国际临床化学联合会等7个国际组织的支持下出版了《测量不确定度表示法则》，建议用“不确定度”(Uncertainty)一词，取代误差(Error)来表示实验结果，用以评定实验测量结果的质量，表征被测量真值在某个量值的范围。每个测量结果总存在着不确定度，作为一个完整的测量结果不仅要标明其量值大小，还要标出测量不确定度，以表明该测量结果的可信赖程度。1.2.1不确定度的分类不确定度根据其性质和估算方法不同，可分为类不确定度和类不确定度。类不确定度是被测量列能用统计方法估算出来的不确定度分量，用表示；类不确定度则是不能用统计方法估算的所有不确定度分量，用表示。1.2.2直接测量不确定度的简化估算测量次数时，类不确定度分量的估算我们知道测量次数较多时，偶然误差呈现正态分布。可用来估算测量结果的标准误差，因此，在不确定度表示中，可以用它作为类分量。对有限次测量，由误差理论可知，要得到与无限次测量相同的置信概率，类分量应在前乘一因子，即类不确定度为 (1-19)因子的值，在置信概率及测量次数确定后，可从专门的数学表中查到。在置信概率时，相应的部分与的数值，如下表所示。表1-3时不同测量次数下的值测量次数2345678910自由度1234567891.841.321.201.141.111.091.081.071.06类不确定度分量的简化估算类不确定度原则上应考虑影响量的各种可能值，作为基础训练，我们简化处理，主要考虑仪器标准误差。由1.1.4小节可知，仪器误差的概率密度函数遵循正态分布时，其“等价标准误差”（），此时类分量为：() (1-20)对于均匀分布，因为，且置信概率，要得到的置信概率，应乘上系数0.683/0.577，即对于均匀分布，的B类分量为： （） (1-21)为了简便，在以后的计算中，我们不考虑它是什么误差分布，都认为是均匀分布，且取置信概率，此时类分量为：。合成不确定度=1\*GB2⑴、单次测量的合成不确定度作为单次测量，不存在采用统计方法计算的不确定度类分量。因此，单次测量的合成不确定度就等于不确定度类分量。=2\*GB2⑵、多次测量的合成不确定度多次测量的合成不确定度，即类和类不确定度的总和，其合成公式为(1-22)式中,为多次测量量N的合成不确定度；是该测量量的类不确定度分量；为它的类不确定度分量。上式为合成不确定度的计算公式，它是由两个彼此间相互独立的统计和非统计不确定度的方根和。合成不确定度表明在测量过程中所有不确定度因素对测量结果的合成影响。1.2.3.间接测量不确定度的估算1.不确定度传递公式由直接测量量的不确定度引起的间接测量量的不确定度传递公式，如同标准差传递公式一样。设间接测量量的函数为其中则间接测量量的最佳估计值为当间接测量的函数式为和差形式时，相应的不确定度为 (1-23)当间接测量的函数式为积商形式（或含和差的积商形式）时，其不确定度的简便运算式为(1-24)其中式中，为被测量的合成不确定度；、、为各直接测量量的不确定度；为被测量的平均值。式（1-23）适用于间接测量量与直接测量的函数关系是和差形式，而式（1-24）则适用于积商形式的函数关系，它实际上是相对不确定度的传递公式。表1-2常用函数的标准误差传递公式中的标准误差，换成不确定度的符号，就是常用函数间接测量不确定度的传递公式。在物理实验中一般都采用这种传递公式计算间接测量的不确定度。1.2.4不确定度取舍原则不确定度一般保留1～2位数字，当首位数字等于或大于3时，取一位；小于3时，取两位，其后面的数字取舍法则为“只进不舍”（非零即进）。如应保留为0.5cm；应保留为0.22mm。计算过程中，不确定度可以多保留一位。1.2.5用不确定度表示测量结果测得值取几位，由不确定度来决定。即测得值保留的最后一位数与不确定度的末位对齐，后面的尾数则采用“小于5舍，大于5进，等于5将保留的数字凑成偶数”的原则取舍。1.直接测量结果的表示=1\*GB2⑴、直接单次测量结果的表示由于是单次测量，计算不确定度时只须考虑仪器本身带来的误差，故其测量结果的表达式可写为(1-25)=2\*GB2⑵、直接多次测量结果的表示对于直接多次重复测量，其测量结果的表达式为(1-26)如某长度的测量平均值为，合成不确定度为，则结果为2.间接多次测量结果的表示当所测物理量需通过测量其它相关量来间接获得时，测量的合成不确定度是由多方面的因素合成的。设间接测量量的函数为则相应的不确定度为 (1-27)测量结果的最后表达式为(1-28)1.3有效数字及简算方法1.3.1有效数字的概念一般来说，实验所处理的数值有2种：一种是没有误差的准确值(如测量的次数，公式中的纯数等)；另一种是测量值。测量值总含有一定的误差，因此它的测量数据就不应无止境地写下去。要由不确定度来决定。例如，测量值=(1.39423±0.0028)，由误差可知其第三位小数“4”是不可靠的，其后的数字就没有全部表示出来的必要。结果应写成，其中“1”、“3”和“9”是可靠数字，后面“4”和“2”是反映误差的可疑数字。一般规定，数值中的可靠数字与所保留的1位(或2位)可疑数字，统称为有效数字。测量仪器与有效数字的关系测量结果的有效数字一方面反映了被测物理量的大小，同时也反映了测量仪器的测量精度。如用米尺测得一物体的长度为=(26.3±0.5)mm，最后1位数“3”是估读出来的，是可疑数字，测量值为3位有效数字。如果同样这个物体用游标尺测量其长度，得=(26.30±0.02)mm，是4位有效数字，测量准确度要高些。测量方法与有效数字的关系有效数字位数的多少，还与测量方法有关。例如用秒表测量单摆的周期，一般其误差为0.1s。如只测一个周期，得到；若连续测100个周期，其大小为191.2s，则周期的平均值。可见，由于采用了不同的测量方法，结果的有效数字位数也随之变化了。3.“0”有效数字中的“0”不同于其它九个数字，“0”的位置不同，其性质不同。要切记有效数字的位数是从第一个不为零的数字算起的，末位为“0”和数字中间出现的“0”都属于有效数字。例如，10.30中的2个零，虽然其中一个处在中间，一个处在末尾，但因它们都反映了被测量的大小，故都属于有效数字。4.有效数字的科学计数法有效数字的位数与小数点位置或单位的换算无关。如1.20m可以写成120cm，它仍然是三位有效数字，但不能写成1200mm，因为它是四位有效数字，它们表示的测量精度并不相同。同样，可以1.20m可以写成0.00120km，不能写成0.0012km。因此，在有效数字作单位换算时，一般用科学计数法表示，即1.3.2有效数字的运算为获得实验结果，往往需要对测得的数据进行运算。运算结果的有效数字位数的多少，由误差（或不确定度）计算结果来确定。但在做误差计算以前的测量值运算过程中，可由有效数字运算规则进行初步的取舍，以简化运算过程。下面将分别介绍有效数字的运算规则。1.加减运算几个数相加减时，最后结果的可疑数字所占位数与参加运算的各数值中可疑数字所占位数最高的相同。下面例题运算过程中数字下画线的是可疑数字。例1-2已知，式中A=(103.3±0.5)cm，B=(13.561±0.012)cm，C=(1.652±0.005)cm，试问计算结果应保留几位数字?解：先观察一下具体的运算过程：一个数字与一个可疑数字相加或是相减，其结果必然是可疑数字。本例各数值中最先出现可疑数字的位置在小数点后第一位(即103.3)，按照运算结果保留一位可疑数字的原则，上例的简算方法为Y=103.3＋13.6-1.7=115.2(cm)结果表示为Y=(115.2±0.5)cm，=0.5％2.乘法运算两个数相乘的积，其有效数字的位数与参与运算的各数值中有效数字位数最少的一个相同，但如果它们的最高位相乘的积大于或等于10，其积的有效数字位数应比参与运算的有效数字中位数最少的多一位。例1-31.1111×1.11=?试问计算结果应保留几位数字?解：先观察一下具体的运算过程：见运算式，因为一个数字与一个可疑数字相乘，其结果必然是可疑数字，所以，由上面的运算过程可见，小数点后面第二位的“3”及其以后的数字都是可疑数字。按照保留1位可疑数字的原则，计算结果应写成1.23，为3位有效数字。即在此例中，5位有效数字与3位有效数字相乘，计算结果为3位有效数字。上例简化为例1-4试问计算结果应保留几位数字?解：先观察一下具体的运算过程：由上面的运算过程可见，小数点后面第一位的“9”及其以后的数字都是可疑数字。按照保留1位可疑数字的原则，计算结果应写成359.9，为4位有效数字。此例中，4位有效数字与3位有效数字相乘，因为最高位相乘的积大于10，计算结果为4位有效数字。上例简化为3.除法运算两个数相除，一般情况商的有效数字的位数应和被除数及除数中位数较少者的位数相同，但若被除数有效数字的位数小于或等于除数的有效数字位数，并且它的最高位的数小于除数的最高位的数，则商的有效数字位数应比被除数少一位。例1-5解：例1-6解:4.乘方、开方运算乘方、开方运算法则和乘法运算法则相同。如，。5.函数运算有效数字取位规定=1\*GB2⑴、对数运算对数运算分两种情况，对常用对数其运算结果由首数和尾数构成，规定其尾数的位数与真数的有效数字的位数相同。如；对自然对数其运算结果的有效数字位数与真数的有效数字的位数相同。如。=2\*GB2⑵、指数运算指数运算结果的有效数字位数与指数的小数点后的位数相同（包括小数点后的零）。例如：，小数点后有二位，所以，，小数点后有七位，则。=3\*GB2⑶、三角函数运算通常三角函数运算结果的有效位数由角度的有效数字决定。一般当角度精确至时，三角函数可以取5位有效数字；当角度精确至时，三角函数可以取6位有效数字；当角度精确至时，三角函数可以取7位有效数字；当角度精确至时，三角函数可以取8位有效数字。如，。6.常数和系数的有效数字位数在运算过程中，公式中的常数（如等）和系数（如纯数2），可以认为其有效数字是无限多的，它们的有效数字位数只要取到不降低运算结果的有效数字位数即可。如计算圆周长，时，取，取参与运算即可。7.计算的中间过程计算的中间过程，有效数字可暂保留二位可疑数字，即多保留一位有效数字，但最终计算结果仍要按前面的规定处理有效数字。应该强调的是，在上述的近似计算规则中，由于具体问题所要求的准确度或采用的方法不同，可能得出具有不同