AH决策的基本原理与计算方法

第8章AHP决策分析方法

本章主要内容AHP决策分析的基本原理与计算方法AHP决策分析方法应用实例

美国运筹学家T.L.Saaty于20世纪70年代提出的AHP决策分析法（analytichierarchyprocess，简称AHP方法），是一种定性与定量相结合的决策分析方法。它常常被运用于多目标、多准则、多要素、多层次的非结构化的复杂决策问题，特别是战略决策问题的研究，具有十分广泛的实用性。AHP决策分析法，是一种将决策者对复杂问题的决策思维过程模型化、数量化的过程。通过这种方法，可以将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案重要性程度的权重，从而为决策方案的选择提供依据。AHP决策分析法，是解决复杂的非结构化的地理决策问题的重要方法，是计量地理学的主要方法之一。

第1节AHP决策分析的基本原理与计算方法

基本原理AHP决策分析方法的基本过程

一、基本原理

AHP决策分析方法的基本原理，可以用以下的简单事例分析来说明。

假设有n个物体A1，A2，…，An，它们的质量分别记为W1，W2，…，Wn。现将每个物体的重量两两进行比较如下：A1A2AnA1W1/W1W1/W2…W1/WnA2W2/W1W2/W2…W2/Wn…………AnWn/W1Wn/W2…Wn/Wn若以矩阵来表示各物体的这种相互质量关系

A＝A称为判断矩阵。若取质量向量W＝[W1，W2，…，Wn]T，则有

AW＝n•WW是判断矩阵A的特征向量，n是A的一个特征值。根据线性代数知识可以证明，n是矩阵A的唯一非零的、也是最大的特征值。

上述事实告诉我们，如果有一组物体，需要知道它们的质量，而又没有衡器，那么就可以通过两两比较它们的相互质量，得出每一对物体质量比的判断，从而构成判断矩阵；然后通过求解判断矩阵的最大特征值λmax和它所对应的特征向量，就可以得出这一组物体的相对质量。这一思路提示我们——在复杂的决策问题研究中，对于一些无法度量的因素，只要引入合理的度量标度，通过构造判断矩阵，就可以用这种方法来度量各因素之间的相对重要性，从而为有关决策提供依据。这一思想，实际上就是AHP决策分析方法的基本思想，AHP决策分析方法的基本原理也由此而来。二、、AHP决策策分分析析方方法法的的基基本本过过程程AHP决策策分分析析方方法法的的基基本本过过程程，，大大体体可可以以分分为为如如下下6个基基本本步步骤骤：：(一）明明确确问问题题即弄弄清清问问题题的的范范围围，，所所包包含含的的因因素素，，各各因因素素之之间间的的关关系系等等，，以以便便尽尽量量掌掌握握充充分分的的信信息息。。（二）建立立层层次次结结构构模模型型（三）构造造判判断断矩矩阵阵（四）层次次单单排排序序（五）层次次总总排排序序（六）层次次总总排排序序的的一一致致性性检检验验转到到该该节节第第三三部部分分在这这一一个个步步骤骤中中，，要要求求将将问问题题所所含含的的要要素素进进行行分分组组，，把把每每一一组组作作为为一一个个层层次次，，并并将将它它们们按按照照：：最最高高层层（（目标标层层）——若若干干中中间间层层（（准则则层层）——最最低低层层（（措施施层层）的的次次序序排排列列起起来来。。这种种层层次次结结构构模模型型常常用用结结构构图图来来表表示示（（图）），，图图中中要要标标明明上上下下层层元元素素之之间间的的关关系系。。（二二））建立立层层次次结结构构模模型型AHP决策策分分析析法法层层次次结结构构示示意意图图如果某某一个个元素素与下下一层层的所所有元元素均均有联联系，，则称称这个个元素素与下下一层层次存存在有有完全层层次的关系系。如果某某一个个元素素只与与下一一层的的部分分元素素有联联系，，则称称这个个元素素与下下一层层次存存在有有不完全全层次次的关系系。层次之之间可可以建建立子层次次，子层层次从属于于主层层次中中的某某一个个元素素，它的的元素素与下下一层层的元元素有有联系系，但但不形成成独立立层次次。返回这一个个步骤骤是AHP决策分分析中中一个个关键的步步骤。。A1B1B2BnB1b11b12b1nB2b21b22b2nBnbn1bn2bnn（三）构造判断矩阵

①判断矩阵表示针对上一层次中的某元素而言，评定该层次中各有关元素相对重要性程度的判断。其形式如下：……………………②其中，，bij表示对对于Ak而言，，元素素Bi对Bj的相对对重要要性程程度的的判断断值。一般取取1，3，5，7，9等5个个等级级标度度，其其意义义为：：1表表示Bi与Bj同等重重要；；3表表示Bi较Bj重要一一点；；5表表示Bi较Bj重要得得多；；7表表示Bi较Bj更重要要；9表示示Bi较Bj极端重重要。。而2，，4，，6，，8表表示相相邻判判断的的中值值，当当5个个等级级不够够用时时，可可以使使用这这几个个数。。③显然，，对于任任何判判断矩矩阵都都应满满足④一般而而言，，判断矩矩阵的的数值值是根据据数据资资料、、专家家意见见和分分析者者的认识识，加加以平平衡后后给出出的。。⑤如果判判断矩矩阵存存在关关系bij＝（i，j，k＝1，，2，，3，，…，，n）则称它它具有有完全一一致性性。为了考考察AHP决策分分析方方法得得出的的结果果是否否基本本合理理，需需要对对判断断矩阵阵进行行一致性性检验验。返回向量。。即对对于判判断矩矩阵B，计算满满足））①目的：确定定本层次次与上上层次次中的的某元元素有有联系系的各各元素素重要要性次次序的的权重重值。。②任务：计算算判断断矩阵阵的特征根根和特特征（四））层次次单排排序在（8.1.5）式式中，，λmax为判断断矩阵阵B的最大特特征根根，W为对应应于λmax的正规化化特征征向量量，W的分量量Wi就是对对应元元素单排序序的权重值值。③检验判判断矩矩阵的的一致致性:通过前前面的的分析析，我我们知知道，，如果果判断断矩阵阵B具有完完全一一致性性时,λmax＝n。但是，，在一一般情情况下下是不不可能能的。。为了了检验验判断断矩阵阵的一一致性性，需需要计计算它它的一致性性指标标））在（8.1.6）式式中，，当CI＝0时，判判断矩矩阵具具有完完全一一致性性；反反之，，CI愈大，，就表表示判判断矩矩阵的的一致致性就就越差差。时，就就认为为判断断矩阵阵具有有令人满满意的的一致致性；否则则，当当CR0.1时，就就需要要调整整判断断矩阵阵，直直到满满意为为止。。为了检验判断矩阵是否具有令人满意的一致性，需要将CI与平均随机一致性指标RI（表8.1.1）进行比较。一般而言，1或2阶的判断矩阵总是具有完全一致性的。对于2阶以上的判断矩阵，其一致性指标CI与同阶的平均随机一致性指标RI之比，称为判断矩阵的随机一致性比例，记为CR。一般地，当（8.1.7）

平平均均随机机一致致性指指标返回（五））层次次总排排序①定义：利用用同一一层次次中所所有层层次单单排序序的结结果，，就可可以计计算针对上上一层层次而而言，，本层层次所所有元元素的的重要要性权权重值值，这就称称为层次次总排序序。②层次总排排序需要要从上到下下逐层顺序进行行。对于于最高层层而言，，其层次次单排序序的结果果也就是是总排序序的结果果。假如上一一层的层层次总排排序已经经完成，，元素A1，A2，…，Am得到的权权重值分分别为a1，a2，…，am；与Aj对应的本本层次元元素B1，B2，…，Bn的层次单单排序结结果为[]T（当Bi与Aj无联系时时，＝＝0）；；那么，，B层次的总总排序结结果见表。。层层次次总排序序表显然=1（））即层次总总排序是是归一化的的正规向向量。返回CI＝式中：CI为层次总总排序的的一致性性指标；；CIj为与aj对应的B层次中判判断矩阵阵的一致性指指标。（六)层层次总排排序的一一致性检检验为了评价价层次总总排序结结果的一一致性，，类似于于层次单单排序，，也需要要进行一致性检检验。为此，，需要分分别计算算下列指指标式中：RI为层次总总排序的的随机一一致性指指标；RIj为与aj对应的B层次中判判断矩阵阵的随机一致致性指标标；CR为层次总总排序的的随机一致致性比例例。RI＝CR＝当CR<0.10时，则认认为层次次总排序序的计算算结果具具有令人人满意的的一致性性；否则则，就需需要对本本层次的的各判断断矩阵进进行调整整，直至至层次总排序的的一致性性检验达达到要求求为止。。返回三、计算算方法通过前面面的介绍绍，我们们知道，，在AHP决策分析析方法中中，最根根本的计计算任务务是求解解判断矩矩阵的最大特征征根及其所对对应的特征向量量。这些问题题可以用用线性代代数知识识去求解解，并且且能够利利用计算算机求得得任意高高精度的的结果。。但事实实上，在在AHP决策分析析方法中中，判断断矩阵的的最大特特征根及及其对应应的特征征向量的的计算，，并不需需要追求求太高的的精度。。这是因因为判断矩阵阵本身就就是将定定性问题题定量化化的结果果，允许许存在一一定的误误差范围围。常常用如如下两种近似似算法求解判断断矩阵的的最大特特征根及及其所对对应的特特征向量量。(一)方方根法法计算判断断矩阵每一行元元素的乘乘积计算的的n次方根将向量＝＝归一化则即即为所求求的特征向量量。计算最大特征征根表示向量量AW的第i个分量。。(二)和和积法法将判断矩矩阵每一列归归一化对按列归归一化的的判断矩矩阵，再再按行求和和将向量＝＝归归一化化则即即为所所求的特征向量量。计算最大特征征根表示向量量AW的第i个分量。。四、对AHP方法的简简单评价价优点思路简单单明了，，它将决决策者的的思维过过程条理理