第五节函数极值与最值

1一、函数的极值及其求法第五节函数的极值与最值2定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.注：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大.

3定理1(极值的必要条件)由费马引理可知，所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。

但反之不然，驻点不一定是极值点.x

yO4此外,不可导点也可能是极值点,

x

yO函数的不可导点也不一定是极值点，

x

yO5

这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一.

我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点.

下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点是否为极值点.

6定理2(极值的第一充分条件)一阶导数变号法7定理3(极值的第二充分判别法)称为“二阶导数非零法”(1)记忆:几何直观；

说明：(2)此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点；

8例1解法一列表讨论极大值极小值9例1解法二10例2解11例3解12例4解列表讨论极大值极小值13例5解注意定义域！导数左负右正，14例6解两边关于x求导,得

对(1)式再求导，得

15根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).例7解xyo(A)

一个极小值点和两个极大值点.(B)

两个极小值点和一个极大值点.(C)

两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.16(1)确定函数的定义域；

(4)用极值的第一或第二充分条件判定.注意第二充分条件只能判定驻点的情形.

求极值的步骤:(3)求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或一阶导数不存在的点)；

17二、函数的最值极值是局部性的,而最值是全局性的.

18具体求法：

19例8解计算比较得20在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述方法：

21将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？

设小正方形的边长为x，则方盒的容积为

例9解axa-2x

22将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？

求导得设小正方形的边长为x，则方盒的容积为

例9解23将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？

求导得设小正方形的边长为x，则方盒的容积为

解例924

要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？hr设底半径为r,高为h，总的表面积为例10解即表面积最小.

即高与底面直径相等.

即为最小值点

.

导数左负右正，是极小值点，25例11解利用最值证明不等式26例12解分析数列是离散函数,不能求导,应把n改为x,转化为连续函数,再求导.

利用对数求导法,得

导数左正右负，27经济应用举例1.平均成本(AC)最低问题

例13设成本函数为

则平均成本为得驻点

此时平均成本和边际成本均为4.

一般,当平均成本最低时,平均成本与边际成本相等.

282.最大利润问题

例14利润函数为

解得驻点

29一般,利润函数为

其中Q为产量,

时,利润最大,其中MR和MC分别表示边际收益和边际成本(Marginalrevenue,Marginalcost),“生产商为获得最大利润,应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平”.这是微观经济学的一个重要结论.

30某厂生产某种商品,其年销售量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件商品的库存费为0.05元.如果年销售率是均匀的(即商品库存数为批量的一