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文档简介

会计学1成都理工大学高数下重修D对坐标曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xOy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.第1页/共19页1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在第2页/共19页3)“近似和”4)“取极限”(其中为n

个小弧段的最大长度)第3页/共19页2.定义.设

L

为xOy

平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L

称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作第4页/共19页若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,第5页/共19页3.性质(1)若L

可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!第6页/共19页二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有第7页/共19页特别是,如果L

的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理第8页/共19页例1.计算其中L为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点的一段.第9页/共19页例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则第10页/共19页例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第11页/共19页例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为第12页/共19页例5.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程第13页/共19页三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L

以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第14页/共19页类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是第15页/共19页例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周第16页/共19页2.

已知为折线ABCOA(如图),计算提示:第17页/共19页1.解:线移动到向坐标原点

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