必修五余弦定理

会计学1必修五余弦定理直角三角形中的边角关系：CBAabc1、角的关系：A+B+C=180°A+B=C=90°2、边的关系：

a2+b2=c23、边角关系：

sinA=—=cosBsinB=—=cosAacbc复习2第1页/共46页CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2＞

a2+b2c2

＜

a2+b2看一看想一想

直角三角形中的边a、b不变，角C进行变动勾股定理仍成立吗？天啊！c2=

a2+b23第2页/共46页是寻找解题思路的最佳途径c=?AcbCBa∣AB∣c2=∣AB∣2=??ABABAB=?AC+CBABAB=(AC+CB)(AC+CB)算一算试试！联想4第3页/共46页证明：向量法若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：bcABCa证明5第4页/共46页同理可证：

格式二：逆用公式证明6第5页/共46页bAacCB证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：xy解析法证明7第6页/共46页ABCabcD当角C为锐角时几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc

余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明8第7页/共46页证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,

作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有：

当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后自己完成。D9第8页/共46页余弦定理

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字说明吗？CBAabc

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。归纳10第9页/共46页变一变乐在其中CBAabc

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosCb2+c2-a22bccosA=c2+a2-b22cacosB=a2+b2-c22abcosC=变形归纳11第10页/共46页想一想：

余弦定理在直角三角形中是否仍然成立？

cosC=

a2+b2-c2

2abC=90°

a2+b2=c2

cosA=

b2+c2-a2

2bc

cosB=

c2+a2-b2

2cacosA=—cosB=—acbc12第11页/共46页问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;剖析定理（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）剖析13第12页/共46页思考：

已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？如：已知b=4,c=,C=60°求边a.14第13页/共46页（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？剖析定理剖析P14例3P15练习2,315第14页/共46页剖析定理（4）能否把式子转化为角的关系式？分析：剖析16第15页/共46页（1）已知三边求三个角；问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.剖析定理剖析P14例1、例217第16页/共46页18第17页/共46页会用才是真的掌握了

余弦定理在解三角形中能解决哪些问题？角边角角角边边边角边角边边边边正弦定理余弦定理运用19第18页/共46页练一练：P15练习1，4

1、已知△ABC的三边为、2、1，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1

则最大内角为∠A由余弦定理cosA=12+22-()22×2×1=-—12∴A=120°变一变：若已知三边的比是

:2:1,又怎么求？20第19页/共46页再练：

2、已知△ABC中AB=2、AC=3、A=，求BC的长。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7∴BC=21第20页/共46页思考：（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状分析：三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积分析：三角形的面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出sinC(sinA或sinB）代入面积公式即可。22第21页/共46页2.余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222223.由余弦定理知1.证明定理:课堂小结向量法、解析法、几何法23第22页/共46页（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.5.余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222224.余弦定理适用于任何三角形24第23页/共46页作业布置

P16-171,5,6,1025第24页/共46页例4在长江某渡口处，江水以5km/h速度向东流。一渡船在江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达江北岸码头（如图）。设AN为正北方向，已知B码头在A码头的北偏东15o，并与A码头相距1.2km.该渡船应按什么方向航行？速度是多少千米/小时？（角度精确到0.1o，速度精确到0.1km/h)26第25页/共46页P16练习1,227第26页/共46页练习:P16练习3,428第27页/共46页练习:P177,1329第28页/共46页作业：P172，8，11，1230第29页/共46页31第30页/共46页提高性训练：1、在△ABC中，求证：c=acosB+bcosA2、在△ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB边的中线长。32第31页/共46页

例2、在三角形ABC中，已知a=2.730,b=3.696,c=,

解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到）分析：已知两边和两边的夹角解：33第32页/共46页例2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，

C＝82°28′，解这个三角形.解：由c2=a2＋b2－2abcosC,得c≈4.297.b2＋c2－a22bc∵cosA＝≈0.7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.asinC

c∵sinA＝≈0.6299，∴A=39°或141°(舍).()34第33页/共46页ABCOxy例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、

(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∵AB＝√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC＝√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA＝＝,2ABACAB2＋AC2－BC22√365∴∴A≈84°.35第34页/共46页ABCOxy例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、

(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴A≈84°.∴cosA＝

＝＝.AB·ACABAC(–8)×(–2)＋3×(–4)√73·2√52√365∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).36第35页/共46页ABCOxy例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、

(–2，8)、(4，1)，求A.αβ分析三：A=α+β,tanα=?tanβ=?tan(α+β)=37第36页/共46页解：在AOB中，∵|a–b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos120°

＝61,∴|a–b|＝√61.例4：已知向量a、b夹角为120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b与a的夹角.a－ba＋bBbACa120°O38第37页/共46页∴a＋b

＝√21.∴∠COA即a＋b与a的夹角约为49°.∵cos∠COA＝≈0.6546,a

2＋a＋b

2–b

22aa＋b例4：已知向量a、b夹角为120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b与a的夹角.a－ba＋bBbACa120°O在OAC中，∵|a+b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos60°

＝21,39第38页/共46页例5已知四边形ABCD的四边长为AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30°,

求C.解:BD2=AB2+AD2–2AB·ADcosA≈2.60,cosC==–0.30,DC2+BC2–BD22DC·BCA30°DCBC≈107.5°.思考：若A=θ,

怎样用θ表示四边形ABCD的面