导数概念及其几何意义北师大选修

会计学1导数概念及其几何意义北师大选修课程目标设置第1页/共59页第2页/共59页第3页/共59页主题探究导学第4页/共59页第5页/共59页第6页/共59页1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δx=0时的平均变化率”.这种说法对吗？提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于0时，平均变化率无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时的值，实际上，在平均变化率的表达式中，Δx≠0.第7页/共59页2.函数f(x)在x=x0处的导数与Δx趋近于0的方式有关吗？提示：没有关系.无论Δx从一侧趋近于0还是从两侧趋近于0，其导数值应相同.否则f(x)在该点处导数不存在,如函数f(x)=|x|在x=0处导数不存在.第8页/共59页第9页/共59页第10页/共59页第11页/共59页1.过曲线y=f(x)上的某一点作曲线的切线有且只有一条吗？提示：不一定.可能不存在，如y=|x|，在点（0，0）处无切线；也可作多条，如图所示的曲线中，过点A可作两条切线.第12页/共59页2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快?提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大，函数值变化越快，即切线“越陡”.第13页/共59页典型例题精析第14页/共59页第15页/共59页第16页/共59页第17页/共59页【例2】某物体按照s(t)=3t2+2t+4的规律作直线运动，求物体运动4s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.思路点拨：解答本题可先求出函数值的增量Δs,自变量的增量Δt,再利用公式求解，最后说明运动状况.第18页/共59页第19页/共59页【练一练】1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为（）（A）6（B）18（C）54（D）81第20页/共59页2.一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T（单位:℃）与时间t(单位:min）间的关系，由函数T=f(t)表示.(1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？第21页/共59页第22页/共59页第23页/共59页第24页/共59页第25页/共59页第26页/共59页2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直线方程为________.第27页/共59页第28页/共59页3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.第29页/共59页知能巩固提高第30页/共59页一、选择题（每题5分，共15分）1.函数在某一点的导数是（）(A)该点的函数的改变量与自变量的改变量的比(B)一个函数(C)一个常数，不是变数(D)函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率【解析】选C.函数的导数是函数的平均变化率，当Δx→0时的极限值，是无限接近的一个常数.第31页/共59页第32页/共59页2.（2010·河源高二检测）曲线y=4x-x3在点（-1，-3）处的切线方程是（）(A)y=7x+4(B)y=7x+2(C)y=x-4(D)y=x-2第33页/共59页【解析】第34页/共59页3.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则切线方程为（）(A)y=4x(B)y=4x-4(C)y=4x-8(D)y=4x或y=4x-4第35页/共59页【解析】选D.设P(x0,y0)，则f′(x0)∵点P处的切线与直线y=4x-1平行，∴3x02+1=4∴x0=1或-1，则P点坐标为（1,0)或(-1,-4),∴所求切线方程为y=4x-4或y=4x.第36页/共59页二、填空题（每题5分，共10分）4.曲线y=在点（3,3）处的切线的倾斜角为________.【解析】答案：第37页/共59页第38页/共59页5.如图，函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9，P点的横坐标是4，则f(4)+f′(4)=__________.第39页/共59页【解析】由导数的几何意义知f′(4)=-2,由点P在切线y=-2x+9上知yP=-2×4+9=1.∴点P的坐标为（4，1），∴f(4)=1,∴f(4)+f′(4)=1+(-2)=-1.答案：-1第40页/共59页三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）6.（2010·漳州高二检测）求曲线y=x3+x在点（1,)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.

【解题提示】求切线的斜率k=f′(1)→求切线方程→求切线与两坐标轴的交点→求切线与坐标轴围成三角形的面积.第41页/共59页【解析】第42页/共59页7.在曲线y=上求一点P，使得曲线在该点处的切线满足下列条件.（1）平行于直线y=x+1.(2)垂直于直线2x-16y+1=0.(3)倾斜角为135°.第43页/共59页【解析】第44页/共59页（1）∵切线与直线y=x+1平行，∴由导数几何意义知f′(x0)=1,即=1,∴x0=-2,y0=1，即P(-2,1).(2)∵切线与直线2x-16y+1=0垂直，∴有f′(x0)·()=-1,∴∴x0=1,y0=4,即P(1,4).(3)∵切线倾斜角为135°,∴f′(x0)=tan135°=-1,∴=-1,∴x0=2,y0=1,即P(2,1).第45页/共59页第46页/共59页1.（5分）（2010·邯郸高二检测）已知曲线f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点（1，g(1)）处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率为（）(A)4(B)(C)2(D)【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即求f′(1),可借助g′(1)求解.第47页/共59页【解析】第48页/共59页2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方程一般形式为_______.【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为∴所求直线的斜率为-3.设切点坐标为（x0,y0),=3x02+6x0,第49页/共59页∴3x02+6x0=-3.∴x0=-1,∴切点坐标为（-1,1)∴切线方程为y-1=-3(x+1)即3x+y+2=0.答案：3x+y+2=0第50页/共59页第51页/共59页第52页/共59页3.（5分）曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴，直线x=2所围成的三角形的面积为_____.【解析】第53页/共59页∴切线方程为y-1=3(x-1)即3x-y-2=0.如图所示易求得直线x=2与直线3x-y-2=0的交点为（2，4）∴S△=答案：第54页/共59页4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.第55页/共59页在点P处的切线方程是y=(x21+2x1)+(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x21①曲线C2在点Q（x2,