线性代数3学分

§5向量空

1 定义设集合VVRn,若V对加法和数乘封闭(2)对kR,V有kV

例

Vx2x ,xRnR : :则称V为向量空间(或称为线性空间

11

所以V对加法不封定义:设V为向量空间,若 ,是V的最大无关组,则称

xy

xy

因为

2

2

2

所以V不是向量空 ,为V的基,r称为V的维数.记之为dim(V),并称V为r维向量空间.若V0},则规定dim(V)0.例1.Rn是向量空间.dim(RnnRn的任何nRn的基

x xnn n例4齐次线性方程组AmnX

,,0 x

0

S为AX0的解空间.dimSnR例5.非齐次线性方程组AmnX的解集S不是向量空间.,例.,

V2x ,ne是V的基: :

0

11

证因为若S,则A,但是A(22所以dim(V)n

所以S对数量乘法不封闭所以S不是向量空 1 m 例6.设 , | , 例8.设向量 1 m 1 一个向量空间.称之为 ,1

mm|1 ,m

1

例

设V0

1

,

ll|1 ,l1

2 0

设L,则可由 ,线性 m m

1

1 ,与1 ,l等价1 ,m可由1 ,l 则0,1是V的一组基,所以dimV

表示所以L.所以LL.同理LL可由所以L.所以LL.同理LL .所以L1.性质 设1 ,r是向量空间V的基. krr|k1 ,kr

性质2.设1 ,r是向量组1 ,m的最大无关组,L是由 1 ,m生成的向量空间.则1 ,r是L的一组基,dim根据R性质我们如果知道了一个向量空间的一组基那么它的结构也就清楚了,这个向量空间就是这组基生成的向量. krr|k1 ,kr.因为iV,V对加法和数乘封闭,所以L,,反之对任何 因为1 ,r是V的一个最大无关,,.所以根据最大无关组的等价定义知道可由1 ,r线性.

根据这个性质,一个向量组的任何一个最大无关组是它生成的向量空间的一组基,一个向量组的秩是它生成的向量.,1m ,线性.,1m... 所以V 所以V...

为 ,是向量组 ,的最大, 组根据最大无关组的等价定义知道1 ,m可由, ...所以根据线性表示的传递性知道可由1 ,r线性表.例

1 2 1 1

1定义.设 ,是V的一组基.V,存在唯一的Rr设1,2,3,2,2生成的向 1 2 3 4 r 0 1 0 1

空间为V.求向量空间V的维数,并求它的一组基

使 ( ,),称解 记A(,,,,

1 r

r A变换

B(,,,,

1

向量空间的基的作用相当于平面解系几何里的坐标系的作用 则RAR(B3.1,2,4,5是1,2,3,4,5的最大无关组所以dimVRA4.1,2,4,5是V的一组基

4

4例10.A(,,)

2,B1,2 3

3 2

2

证明,,是R3的一个基并求在 证:要证,,是R3的一个基只要证R(,,

所以R(1,2,3)

且X

1223 要求1,2在1,2,3下的坐标只要求解矩阵方程(1,2,3X12

1 41 32

23 2

43 (,,变换最简形矩阵

1

在,,下的坐标是

.2在1,2,3下的坐标是1

3

2 2

1 3 3 ,例11.取定R3的一组基,,再取一个新基,

, x1

,, y1

设

A(1,2,3),B(1,2,

2.,x.,

2y求用1,2,3表示1,2,3的表示式(基变换公式),并

3 3我们在平面解系几何里面要研究平面上的同一个点在不同坐解 A,B都是可逆矩阵

x1 x1

y1 y1(因为(

,和

这两个向量组都线性无关

(,,)

By

则1,2,3)x2Ax2

3

2 2...(,,)BEB(AA1)BA(A1B)(,,)(A...

x x

y y

3 3

3 3..记P 则基变换公式就是(1,2,3)(1,2,3..

x1 y1

y1 x1

x1.x其中矩阵PA1B称为从旧基到新基的过渡.x

所以AxBy 所以yB1Ax

P1x. 2 2.

2 2

2 .(

3 3

3 3(坐标变换公(

.)3.)例12.(3学分)求向量,使它在下列基下有相同的坐标1 0 0 0 2 5 0 1 0 0 1

小结:由向量组生成的向量空间1,2,3,4与1 ,2,3,40 0 1 0 1 1 解:设=x11x22x33x44x11x22x33x1 x12x x2

向量空间的基和维数计算由若干个列向量生成的向量空间的基和维数的问性质.设1, ,r是向量组1, (,,,

2(,,,)

记B

4x 4x

,生成的向量空间.则 ,

是L的一组基3 3

x1x(BE)2

x4 x411解得k ,其中k是任何实数

向量空间基变换公式,坐标变换公式x3x x4

1 ,m线性相关,且

0,

例2.(108页Ex17)设向量组B:1 ,r能由向量组A (2km),

可由, ,

线性表示为(1 ,r)(1 ,s)K,其中K为srk表示证:因为, ,

线性相关

k

A组线性无关.证明B组线性无关的充要条件是R(K B组线性无关(1 ,r)X0只有零

)KX0只有所以存在一组不全为零的数1,2 ,m,

因为1 ,s)KX0与KX0 2 m

kmax{i|i

所以

,

则k

k

0且k

R(K)否则k1,110,且10,所以1 kk

因为0,所以1

kk1 23

例4.(Ex19)已知3阶矩阵A与3维列向量X满足A3X3AXA2X 例3.(Ex18)设 n.证明 , 0 11 1

且向量组X,AX,A2X线性无关记YAX,ZAY,PX,YZ),求3阶矩阵B,使AP求|A|证1)APAXAYAZ)AXA2XA3X证:(1 ,n)(1 ,n)K,其中

只要证K可逆

(AX,A2X,3AXA2X 1 0

0

0 n1

n

所以AP(X,AX,A2X)

3.所以B 3cc n

1rr(2i

|K|

1

n1(n 所以|K|0,所以K可逆

因为AP 所以APAPPB=PB,所以|A||B|a1 c1例5.(Ex29)设a,b,c2 2 2 3