大学物理课刚体的定轴转动

会计学1大学物理课刚体的定轴转动本章内容本章内容ContentsChapter3运动学刚体的定轴转动机械能守恒定律角动量守恒定律kinematicsrotationofrigid-bodywithafixedaxislawofconservationofmechanicalenergylawofconservationofangularmomentum第1页/共46页刚体力学习题●

练习7刚体运动学、转动惯量●

练习8刚体转动定律●

练习9转动的功和能、刚体角动量

第2页/共46页

Kinematics运动学3-1ssss第1节运动学第3页/共46页刚体及其平动rigidbodyanditstranslation刚体及其平动刚体及其平动形状固定的质点系（含多个质点、不形变、理想固体）。刚体rigidbody平动translation

刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的

相同，可当作质点处理。rrva第4页/共46页刚体定轴转动rigidbodyrotationwithafixedaxis刚体定轴转动刚体定轴转动刚体的定轴转动

刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且该转轴空间位置及方向不变。OO第5页/共46页平动

刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的相同，可当作质点处理。rrva定轴转动

刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且转轴空间位置及方向不变。平面运动

刚体质心限制在一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面且通过质心定点运动

刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动。一般运动

复杂的转动与平动的混合。motationofrigidbody刚体的定轴转动刚体的运动刚体其它运动第6页/共46页定轴转动物理量刚体定轴转动的运动方程qq()t,wdq转动方向用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则wdq1.角位置q描述刚体定轴转动的物理量描述刚体（上某点）的位置2.角位移qr描述刚体转过的大小和方向rt0rqdq,dq,刚体转轴转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)参考方向Xpp刚体中任一点pOOrqqqrqrpp(t+△t)w3.角速度wtdqwdw0静止w常量匀角速w变角速描述刚体转动的快慢和方向，常量是转动状态量。第7页/共46页刚体定轴转动的运动方程qq()t,wdq转动方向用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则wdq1.角位置q描述刚体定轴转动的物理量描述刚体（上某点）的位置2.角位移qr描述刚体转过的大小和方向rt0rqdq,dq,刚体转轴转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)参考方向Xpp刚体中任一点pOOrqqqrqrpp(t+△t)w3.角速度wtdqwdw0静止w常量匀角速w变角速描述刚体转动的快慢和方向，常量是转动状态量。续描述刚体转动状态改变4.角加速度b的快慢和改变的方向tddwbtddq22常量b匀角加速b0匀角速变角加速b()tb常量因刚体上任意两点的距离不变，故刚体上各点的相同。wb,OO定轴转动的只有wdq,同和反两个方向，故OOwdq,,b也可用标量wdq,,b（其中的正和负表方向）代替。第8页/共46页定轴转动参量刚体转轴1.角位置q转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)pp(t+△t)qrqrqqrp参考方向Xpp刚体中任一点p刚体定轴转动的运动方程qq()t2.角位移qrrt0rqdq3.角速度wwtdqwdw0w常量静止匀角速()tww变角速4.角加速度btddwb变角加速b()tb常量b匀角加速b0匀角速,wdq转动方向用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则wdq描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量第9页/共46页转动方程求导例题单位：qrqdqrad,w-1rads,b-2rads例已知求()tqp+05t21p+pt2w()tb()trad)(

50p

51p

52p

53pw1rads0213tsqrad100p150p03st

50pp12b2rads0213tsp解法提要tdqwd05p+ptw()ttddwb-1rads()b()tp-2rads(),,匀角加速定轴转动第10页/共46页线量与角量的关系定轴转动刚体在某时刻t的瞬时角速度为，瞬时角加速度为，例bw已知求刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P

的大小rPPrOOw

瞬时线速度v瞬时切向加速度atna瞬时法向加速度()batdtdvdtdrwrvdstdqdrtdwrnavr2(wr)2rrw2这是定轴转动中线量与角量的基本关系qdqddsds解法提要dsqdr第11页/共46页积分求转动方程例已知求w()t()tq任意时刻的b()tkk0恒量且

t

=0时w0wq0q()ttddwb,tddwbwwbw0dw0ttdk0ttd得解法提要t+w0kdqwtd,dqwtd)(t+w0ktd0tdqqq0)(t+w0ktd得qrqq0t+w0kt212或()tqq0+t+w0kt212匀角加速定轴转动的角位移方程匀角加速定轴转动的运动方程第12页/共46页公式对比质点直线运动或刚体平动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt匀速直线运动ssvt匀角速定轴转动qwt匀变速直线运动匀变角速定轴转动s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt第13页/共46页第2节刚体定轴转动动力学

RotationofRigid-bodywithaFixedAxis刚体的定轴转动3-2ssss第14页/共46页刚体转动定律引言刚体的转动定律刚体的转动定律质点的运动定律或刚体平动F

=

m

a惯性质量合外力合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？主要概念使刚体产生转动效果的合外力矩刚体的转动定律刚体的转动惯量第15页/共46页FrM叉乘右螺旋M

=

r

×

F222M

=

r

F

sinj222大小2r2=2Ftd2=2F合外力矩

外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动M

=

r

×

F111力矩切向1Ft1M2M1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM

=

r

F

sinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向一、外力矩与合外力矩方向第16页/共46页转动定律某质元rmirmifi受内力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t其切向投影式为ijFisin+ifcosqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬时角速度w角加速度瞬时b等式两边乘以ri

并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifcosqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=二、刚体的转动定律第17页/共46页某质元rmirmifi受内力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t其切向投影式为ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmirib等式两边乘以ri

并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=与刚体性质及质量分布有关的物理量，用表示称为转动惯量I转动惯量tnrmirmiFiOrifiijqi瞬时角速度w角加速度瞬时b二、刚体的转动定律Mbrrmirmii∑2()=bIM刚体的转动定律即bMIMI刚体所获得的角加速度

的大小与刚体受到的

b合外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比。第18页/共46页转动惯量的计算转动惯量及其计算Mb=I将刚体转动定律与质点运动定律F=am对比转动惯量是刚体转动惯性的量度II∑rmiriri2

与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关质量连续分布的刚体用积分求Ir

为体积元

dV

处的密度rVdVrmdIr2m2I的单位为m2kg第19页/共46页分立质点的算例转动惯量的计算举例可视为分立质点结构的刚体m12m转轴Or1r2

若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则Irmiriri2∑m1r12+2mr22转轴O2mm1601l2lIrmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)第20页/共46页直棒算例质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的ILmOdmrdrI2rdmL2L22rmLdr3mL1r3L2L2211mL2匀直细杆对端垂轴的ILmOdmrdrI2rdmL2rmLdr0mL31r3L031mL22IOIC+mrmCO质心新轴质心轴r,L

平行轴定理对新轴的转动惯量IO对质心轴的转动惯量ICr新轴对心轴的平移量例如：rL2时代入可得I端31mL2第21页/共46页圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的I

取半径为微宽为的窄环带的质量为质元rdrdm2dmmpR2pdrr2mRdr2rOrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2m第22页/共46页球体算例匀质实心球对心轴的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量的迭加Id距为、半径为、微厚为Oyydr的薄圆盘的转动惯量为dmrdVpr2ryd2rdmId21其中IId212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()第23页/共46页常用结果LRmm匀质薄圆盘匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22I=m

R123I=m

L1转轴通过端点与棒垂直第24页/共46页其它典型RRRR12RRLba匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I

=

m

R

2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I

=2m

R匀质厚圆筒转轴沿几何轴I

=(R1

+

R2

)22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI

=

R

+

22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I

=2m

R3第25页/共46页转动定律例题一三、转动定律应用选例bIM合外力矩应由各分力矩进行合成。合外力矩与合角加速度方向一致。bM在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为负。MMb与时刻对应，何时何时b则何时，M00b则何时M恒定恒定。例

匀直细杆一端为轴水平静止释放OLm,qmgMmgL21qcos,m2I31LbMI23Lgqcos2pq,q0,bMmgL21,23LgM0,b0第26页/共46页转动定律例题二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Iba=RbI=mR22转动平动线-角联立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考虑有转动摩擦力矩

Mr,则转动式为(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ib再联立求解。第27页/共46页转动定律例题三例Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度b细绳线加速度a求解法提要（A）bMIFR21mR22FmRabR2Fm（B）bIRT21mR2bam1gTm1m1Rbbm121mm1+()RgabRm121mm1+()g第28页/共46页转动定律例题四Rm1m2m例已知m=12kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2baa解法提要对m1m2m分别应用和质点运动和刚体转动定律m1

g–T1=

m1aT2–

m2

g=

m2a(

T1

–

T2)

R=Ib及a=RbI=mR221得b

=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量qdqt00dtw(m1-m2)gR(m1+m2+m2)0ttdtwtb故tdqdwqdwtd由,qt(m1-m2)gR(m1+m2+m2)222

(rad)gt求()tqq物体从静止开始运动时，滑轮的转动方程第29页/共46页转动定律例题五例已知qqmB()A()LmLL2LOOq从等倾角处静止释放两匀直细杆地面求两者瞬时角加速度之比bb解法提要MbIbbMIMI213singmLq1mLsingmLq1mL32122根据1L1LLL2短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关第30页/共46页第3节机械能守恒定律

LawofConservationofMechanicalEnergy机械能守恒定律3-3ssss第31页/共46页转动动能wOviviririrmirmi∑刚体中任一质元的速率rmirmiviviririw该质元的动能Erik21rmivi221rmiririw22对所有质元的动能求和EkErik21rmiriri2w2()∑转动惯量

IEk21Iw2得刚体转动动能公式转动动能第32页/共46页含平动的转动问题功能原理

+rE机械A外A非保守内力(E动+)E势(E动+)E势00()E平动+E转动()E+E00平动转动平动动能重力势能转动动能Ek21mv2Ek21Iw2Epmgch转动力矩所做元功dAhMqd第33页/共46页动能定理例题二解法提要外力作的总功gmA02pL2qdcosq从水平摆至垂直由Aw212I0w212I得w2AI代入得wgmL2LmI231本题gL3利用vrw的关系还可算出此时杆上各点的线速度已知例水平位置静止释放求摆至垂直位置时杆的wGqw00wgmO？Lm,()匀直细杆一端为轴第34页/共46页第4节角动量守恒定律

lawofconservationofangularmomentum角动量守恒定律3-4ssss第35页/共46页角动量定理角动量定理角动量定理角动量定理（微分形式）（积分形式）0ttdLMdtL0LLL0ddtLrFM第36页/共46页定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量

所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量mri其角动量大小Limriviriw2mririvimriOriwviriw全部质元的总角动量L∑Liw∑2mriri()wI对质量连续分布的刚体L∑LiwwIm2r()d定轴转动刚体的角动量LwI定轴转动刚体的角动量大小方向L与同绕向wLw或与沿轴同指向角动量是刚体所有质点对公共转轴的角动量的叠加第37页/共46页刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律角动量守恒定律刚体的角动量定理由MLtdd所受合外力矩M0若则Ltdd0即LIw常矢量

当刚体所受的合外力矩等于零时，MIw

刚体的角动量保持不变。刚体的角动量守恒定律第38页/共46页角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，乘积保持不变，Iw变大则Iw变小。收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w第39页/共46页花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，乘积保持不变，Iw变大则Iw变小。收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w花样滑冰收臂大小Iw张臂Iw大小先使自己转动起来收臂大小Iw第40页/共46页共轴系统的角动量守恒共轴系统若0IMwS外则LSi恒矢量Sii轮、转台与人系统I轮I人台初态全静LSi初0人沿某一转向拨动轮子w轮末态w人台I轮w轮LSi末+I人台w人台