大一高数微分实用

会计学1大一高数微分实用一、微分的概念

引例:

一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x

在取得增量时,变到边长由其机动目录上页下页返回结束第1页/共24页的微分,定义:

若函数在点的增量可表示为(A

为不依赖于△x

的常数)则称函数而称为记作即定理:

函数在点可微的充要条件是即在点可微,机动目录上页下页返回结束第2页/共24页说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,(4)当故当机动目录上页下页返回结束第3页/共24页定理:函数证:

“必要性”

已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即机动目录上页下页返回结束第4页/共24页定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则机动目录上页下页返回结束第5页/共24页二、微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记机动目录上页下页返回结束第6页/共24页例如,求基本初等函数的微分公式(见P136表)又如,机动目录上页下页返回结束第7页/共24页三、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数机动目录上页下页返回结束第8页/共24页例1.求解:机动目录上页下页返回结束第9页/共24页例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例3.

在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:

上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意目录上页下页返回结束注意:数学中的反问题往往出现多值性.第10页/共24页数学中的反问题往往出现多值性,例如注意目录上页下页返回结束第11页/共24页四、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:机动目录上页下页返回结束第12页/共24页例4.有一批半径为1cm的球

,为了提高球面的光洁度,解:

已知球体体积为镀铜体积为V

在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,机动目录上页下页返回结束第13页/共24页的近似值.解:

设取则例5.求机动目录上页下页返回结束第14页/共24页特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得机动目录上页下页返回结束第15页/共24页的近似值.解:例6.计算机动目录上页下页返回结束第16页/共24页内容小结1.微分概念

微分的定义及几何意义

可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u

是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差*机动目录上页下页返回结束第17页/共24页思考题机动目录上页下页返回结束第18页/共24页思考题解答说法不对.

从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.机动目录上页下页返回结束第19页/共24页导数与微分的区别:★机动目录上页下页返回结束第20页/共24页练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.机动目录上页下页返回结束第21页/共24页2.机动目录