D对坐标曲面积分ok

会计学1D对坐标曲面积分ok其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,侧的规定

指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xOy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定第1页/共31页二、对坐标的曲面积分的概念与性质

1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面

的流量

.分析:若是面积为S

的平面,则流量法向量:

流速为常向量:

第2页/共31页对一般的有向曲面

,用“大化小,常代变,近似和,取极限”

对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则第3页/共31页设

为光滑的有向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R

叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对的任

则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义：第4页/共31页引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q

在有向曲面上对

z,x

的曲面积分;称为R

在有向曲面上对

x,

y

的曲面积分.称为P

在有向曲面上对

y,z

的曲面积分;若记

正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式第5页/共31页3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用

¯

表示的反向曲面,则第6页/共31页三、对坐标的曲面积分的计算法定理:

设光滑曲面取上侧,是

上的连续函数,则证:∵

取上侧,第7页/共31页

•

若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则第8页/共31页例1.

计算其中

是以原点为中心,边长为

a

的正立方体的整个表面的外侧.解:

利用对称性.原式的顶部取上侧

的底部取下侧第9页/共31页解:

把分为上下两部分例2.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第八卦限部分.第10页/共31页第11页/共31页例3.设S是球面的外侧,计算解:

利用轮换对称性,有第12页/共31页四、两类曲面积分的联系对于有向曲面如果取上侧则曲面在任意点处的法向量为其中而第13页/共31页因此，有即第14页/共31页如果曲面取下侧，则曲面上任意一点处的单位法向量为其中第15页/共31页因此，有因此，无论曲面取哪侧，我们总是有第16页/共31页同理可得因此有第17页/共31页令向量形式(A在

n上的投影)第18页/共31页例5.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:第19页/共31页例6.

计算曲面积分其中

解:

利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.第20页/共31页∴原式=原式=第21页/共31页内容小结定义:1.两类曲面积分及其联系

第22页/共31页性质:联系:第23页/共31页2.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分转化(1)当时，（上侧取“+”,下侧取“”)第24页/共31页(2)当时，（前侧取“+”,后侧取“”)(3)当时，（右侧取“+”,左侧取“”)第25页/共31页第26页/共31页思考与练习1.P227题2提示:

设则

取上侧时,

取下侧时,2.P244题13.P227题3(3)第27页/共31页是平面在第四卦限部分的上侧,计算提示:求出的法方向余弦,转化成第一类曲面积分P227题3(3).

设作业

P2273