D凹凸性与曲率

会计学1D凹凸性与曲率定理.(凹凸判定法)(1)在

I内则f(x)在I

内图形是凹的;(2)在

I内则f(x)在

I

内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函数在区间I上有二阶导数证毕第1页/共24页例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,第2页/共24页例2.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸第3页/共24页对应例3.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上是凹的,是凸的,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸第4页/共24页三、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M

开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点

M

处的曲率注意:

直线上任意点处的曲率为0!转角为第5页/共24页例4.

求半径为R

的圆上任意点处的曲率.解:

如图所示,可见:R

愈小,则K

愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R

愈大,则K

愈小,圆弧弯曲得愈小.第6页/共24页有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由第7页/共24页说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则第8页/共24页例5.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放\暂停说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且

l<<R.

其中R是圆弧弯道的半径,l

是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.第9页/共24页例5.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且

l<<R.

处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径,l

是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点解:显然第10页/共24页例6.

求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K

最大最小求驻点:第11页/共24页设从而

K

取最大值.这说明椭圆在点处曲率计算驻点处的函数值:最大.K

最大最小第12页/共24页四、曲率圆与曲率半径设M

为曲线C

上任一点,在点在曲线把以D为中心,R

为半径的圆叫做曲线在点

M

处的曲率圆(密切圆),R

叫做曲率半径,D

叫做曲率中心.在点M

处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D

使第13页/共24页设曲线方程为且求曲线上点M

处的曲率半径及曲率中心设点M

处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式.第14页/共24页满足方程组由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点M(x,y)沿曲线移动时,的轨迹G

称为曲线C的渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线C称为曲线G

的渐伸线

.屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停第15页/共24页例7.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.例3第16页/共24页内容小结1.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点曲线在I

上是凹的曲线在I

上是凸的第17页/共24页2.弧长微分或3.曲率公式4.曲率圆曲率半径曲率中心第18页/共24页

.1.

曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及

;

;第五节思考与练习第19页/共24页2.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:

有公切线;凹向一致;曲率相同.3.求双曲线的曲率半径

R,并分析何处R

最小?解:则利用第20页/共24页有位于一直线的三个拐点.1.求