2023年内蒙古自治区兴安盟普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年内蒙古自治区兴安盟普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.A.A.3yx3y-1

B.yx3y-1

C.x3ylnx

D.3x3ylnx

3.微分方程y'+y=0的通解为()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

4.一飞机做直线水平运动，如图所示，已知飞机的重力为G，阻力Fn，俯仰力偶矩M和飞机尺寸a、b和d，则飞机的升力F1为()。

A.(M+Ga+FDb)／d

B.G+(M+Ga+FDb)／d

C.G一(M+Gn+FDb)／d

D.(M+Ga+FDb)／d—G

5.

6.设函数在x=0处连续，则等于()。A.2B.1/2C.1D.-2

7.设y=2x3，则dy=()

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

8.当x→0时，x2是2x的A.A.低阶无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.高阶无穷小9.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面10.设()．A.A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与a有关D.上述三个结论都不正确

11.

12.A.A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.收敛性与k有关13.设函数f(x)=则f(x)在x=0处()A.可导B.连续但不可导C.不连续D.无定义14.设y=cosx，则y''=（）A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx

15.

16.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)17.A.A.3

B.5

C.1

D.

18.

19.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

20.函数y=x2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日中值定理的ξ=A.A.-3/4B.0C.3/4D.1二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.如果函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=________。

28.

29.

30.

31.32.

33.34.

35.

36.37.

38.

39.40.微分方程y'+9y=0的通解为______．三、计算题(20题)41.42.

43.44.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

45.

46.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

47.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

48.证明：49.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．50.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．51.

52.求微分方程的通解．53.求曲线在点(1，3)处的切线方程．54.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．55.

56.

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．59.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．60.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则四、解答题(10题)61.将f(x)=sin3x展开为x的幂级数，并指出其收敛区间。

62.

63.设64.

65.

66.求微分方程y"+4y=e2x的通解。

67.

68.69.求垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程．70.求方程y''2y'+5y=ex的通解.五、高等数学(0题)71.∫(2xex+1)dx=___________。

六、解答题(0题)72.求微分方程y"-y'-2y=ex的通解。

参考答案

1.D

2.D

3.D可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解。解法1将方程认作可分离变量方程。分离变量

两端分别积分

或y=Ce-x解法2将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为r+1=0，特征根为r=-1，方程通解为y=Ce-x。

4.B

5.B

6.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。由于f(x)在点x=0连续，因此，故a=1，应选C。

7.B

8.D

9.C本题考查的知识点为二次曲面的方程。

将x2+y2-z=0与二次曲面标准方程对照，可知其为旋转抛面，故应选C。

10.D

11.D

12.C

13.A因为f"(x)=故选A。

14.Cy=cosx，y'=-sinx，y''=-cosx.

15.C

16.C

17.A本题考查的知识点为判定极值的必要条件．

故应选A．

18.B解析：

19.C

20.D

21.解析：

22.

23.11解析：

24.63/12

25.

解析：

26.5/2

27.f"(ξ)(b-a)由题目条件可知函数f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此必定存在一点ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。

28.22解析：

29.ex2

30.

31.

32.

33.本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．所给级数为缺项情形，由于

34.

35.036.ln(1+x)本题考查的知识点为可变上限积分求导．

37.±1．

本题考查的知识点为判定函数的间断点．

38.

39.40.y=Ce-9x本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．

分离变量

两端分别积分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．

41.

42.

则

43.

44.函数的定义域为

注意

45.

46.

47.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

48.

49.

50.由二重积分物理意义知

51.由一阶线性微分方程通解公式有

52.53.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

54.

55.

56.

57.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

58.

59.

列表：

说明

60.由等价无穷小量的定义可知

61.

62.

63.本题考查的知识点为参数方程形式的函数的求导．

只需依公式，先分别求出即可．64.解如图所示，将积分区域D视作y-型区域，即

65.

66.

67.

68.69.由于直线2x-6y+1=0的斜率k=1/3，与其垂直的直线的斜率k1=-1/k=-3．对于y=x3+3x25，y'=3x2+6x．由题意应有3x2+6x=-3，因此x2+2x+1=0，x=-1，此时y=(-1)3+3(-1)2-5=