D不定积分的换元积分法

会计学1D不定积分的换元积分法2023/1/18一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)机动目录上页下页返回结束第1页/共42页例1.

求解:

令则故原式

=注:

当时机动目录上页下页返回结束第2页/共42页例2.

求解:令则想到公式机动目录上页下页返回结束第3页/共42页例3.

求想到解:(直接配元)机动目录上页下页返回结束第4页/共42页例4.

求解:机动目录上页下页返回结束类似第5页/共42页例5.

求解:∴原式

=机动目录上页下页返回结束第6页/共42页常用的几种配元形式:万能凑幂法机动目录上页下页返回结束第7页/共42页例6.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束第8页/共42页例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束第9页/共42页例9.

求解法1解法2两法结果一样机动目录上页下页返回结束第10页/共42页例10.

求解法1机动目录上页下页返回结束第11页/共42页解法2同样可证或(P196例16)机动目录上页下页返回结束第12页/共42页例11.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束第13页/共42页例12.

求解:机动目录上页下页返回结束第14页/共42页例13.

求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束第15页/共42页例14.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束分析:

第16页/共42页例15.

求解:原式机动目录上页下页返回结束第17页/共42页小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动目录上页下页返回结束利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如第18页/共42页思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?机动目录上页下页返回结束第19页/共42页2.

求提示:法1法2法3作业目录上页下页返回结束第20页/共42页二、第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，第21页/共42页定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则机动目录上页下页返回结束则有换元公式第22页/共42页例16.

求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束第23页/共42页例17.

求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束第24页/共42页例18.

求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束第25页/共42页令于是机动目录上页下页返回结束第26页/共42页说明:被积函数含有时,除采用采用双曲代换消去根式,所得结果一致.(参考书上P201-P202)或或机动目录上页下页返回结束三角代换外,还可利用公式第27页/共42页原式例19.

求解:

令则原式当

x<0时,类似可得同样结果.机动目录上页下页返回结束第28页/共42页小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或机动目录上页下页返回结束第四节讲第29页/共42页机动目录上页下页返回结束2.常用基本积分公式的补充(P203)(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令第30页/共42页机动目录上页下页返回结束第31页/共42页解:

原式(P203公式(20))机动目录上页下页返回结束例20.

求例21.

求解:(P203公式(23))第32页/共42页例22.

求解:

原式=(P203公式(22))机动目录上页下页返回结束例23.

求解:

原式(P203公式(22))第33页/共42页例24.

求解:

令得原式机动目录上页下页返回结束第34页/共42页例25.

求解:

原式令例16例16目录上页下页返回结束第35页/共42页思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令机动目录上页下页返回结束第36页/共42页2.已知求解:

两边求导,得则(代回原变量)

机动目录上页下页返回结束第37页/共42页作业P2042(4),(5),(8),(9),(11),(16),(18),(19),(21),(25),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(40)第三节目录上页下页返回结束第38页/共42页备用题1.求下列积分:机动目录上页下页