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会计学1D一阶线性方程和伯努利方程对应齐次方程通解一阶齐次线性微分方程通解一阶非齐次线性微分方程特解2.解一阶非齐次线性微分方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动目录上页下页返回结束第1页/共11页例1.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次的方程得解得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束第2页/共11页8.3.2伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利目录上页下页返回结束第3页/共11页例2.求方程的通解.解:这是n=2的伯努利方程,令代入原来已知方程得到这是一阶线性微分方程，其通解为将代入,得原方程通解:机动目录上页下页返回结束则或此外方程还有解y=0.第4页/共11页例3.解方程解若把所给方程变形为即为一阶线性方程,则按一阶线性方程的解法可求得通解.也可用变量代换来解所给方程:令则代入原方程,得分离变量得常利用变量代换把微分方程化为可解的另一类微分方程。第5页/共11页两端积分得以代入上式,即得或第6页/共11页内容小结1.一阶线性方程方法1先解一阶齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程机动目录上页下页返回结束第7页/共11页思考与练习判别下列方程类型:提示:

可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程机动目录上页下页返回结束第8页/共11页P357

1(1),(3),(5);2(1),(3);3(2).作业第五节目录上页下页返回结束第9页/共11页(雅各布第一·伯努利)

书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1

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